1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修+选修） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1复数(2 )12iii+等于（ ） A i B i C 1 D 1 2已知全集 12345U = ， ， ， ， ，集合2| 3 2 0Axx x= +=， | 2 B xx a a A= =， ，则集合 ()UABU 中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3 ABC 的内角 ABC， 的对边分别为 abc， ，若 2 6 120cbB=o， ，则 a等于（ ） A 6 B 2 C 3
2、 D 2 4已知 na 是等差数列，124aa+=，7828aa+ = ，则该数列前 10 项和10S 等于（ ） A 64 B 100 C 110 D 120 5直线 30xym+=与圆22220xy x+=相切，则实数 m 等于（ ） A 3 或 3 B 3 或 33 C 33 或 3 D 33 或 33 6 “18a = ”是“对任意的正数 x ， 21axx+ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知函数3() 2xfx+= ，1()f x是 ()f x 的反函数，若 16mn = （ mn+R， ） ，则11() ()f mfn+ 的
3、值为（ ） A 2 B 1 C 4 D 10 8双曲线22221xyab=（ 0a ， 0b ）的左、右焦点分别是12FF， ，过1F 作倾斜角为 30o的直线交双曲线右支于 M 点，若2MF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A 6 B 3 C 2 D339 如图， lA B AB =I， 到 l 的距离分别是 a 和 b ， AB 与 ，所成的角分别是 和 ， AB 在 ， 内的射影分别是 m 和 n ，若 ab ，则（ ） A mn ， B mn ， 10已知实数 x y， 满足121yyxx ym+，如果目标函数 zxy= 的最小值为 1 ，则实数 m 等于（ ） A 7 B
4、5 C 4 D 3 11定义在 R 上的函数 ()f x 满足 ()()()2f xy fx fy xy+ =+（ xyR， ） ， (1) 2f = ，则 (3)f 等于（ ） A 2 B 3 C 6 D 9 12为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为012 iaaa a， 0 1 ， （ 012i = ， ， ） ，传输信息为00121haaah ，其中00110 2haahha= =， ， 运算规则为： 000 = ， 011 = ， 101 = ， 110=，例如原信息为 111，则传输信息为 01111传输信息在传输过程中受到干扰
5、可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A 11010 B 01100 C 10111 D 00011 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分） 13(1 ) 1lim 2nanna+=+，则 a = 14 长方体111 1ABCD A B C D 的各顶点都在球 O 的球面上，其中1: : 1:1: 2AB AD AA = A B， 两点的球面距离记为 m ，1AD， 两点的球面距离记为 n ，则mn的值为 15关于平面向量 ，abc有下列三个命题： 若 nullnullab=ac，则 =bc若 (1 ) ( 2 6)k
6、= =， ，ab， ab，则 3k = 非零向量 a 和 b 满足 | |=abab，则 a 与 +ab的夹角为 60o 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 16某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火A B a b l 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种 （用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 17 （本小题满分 12 分） 已知函数2() 2sin cos 23sin 344 4xx xfx=+ （）求函数 ()f
7、x 的最小正周期及最值； （）令()3gx f x=+，判断函数 ()gx的奇偶性，并说明理由 18 （本小题满分 12 分） 某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第 i 次击中目标得4-i (123)i = ， ， 分， 3 次均未击中目标得 0 分已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次射击结果互不影响 （）求该射手恰好射击两次的概率； （）该射手的得分记为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 19 （本小题满分 12 分） 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111ABC ，90BAC=o，1AA平面 ABC ，13AA= ， 2A
8、B = ， 2AC = ，111AC = ，12BDDC= （）证明：平面1AAD平面11BCC B ； （）求二面角1ACC B的大小 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 C ：22y x= ，直线 2y kx= + 交 C 于 A B， 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N （）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （）是否存在实数 k 使 0NA NB =uuur uuurnull ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由 A1 AC1 B1B D C 21 （本小题满分 12 分） 已知函数21()kxfxx c+=+（
9、0c 且 1c ， k R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 x c= （）求函数 ()f x 的另一个极值点； （）求函数 ()f x 的极大值 M 和极小值 m ，并求 1Mm 时 k 的取值范围 22 （本小题满分 14 分） 已知数列 na 的首项135a = ，1321nnnaaa+=+， 12n = L， （）求 na 的通项公式； （）证明：对任意的 0x ，21121(1)3n naxxx + ， 12n = L， ； （）证明：2121nnaa an+L 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修+选修）参考答案 一、 1 D 2 B 3
10、D 4 B 5 C 6 A 7 A 8 B 9 D 10 B 11 C 12 C 二、 13 1 141215 16 96 三、 17解： （）2() sin 3(1 2sin )24x xfx=+Q sin 3 cos22x x=+2sin23x=+ ()f x 的最小正周期2412T = 当sin 123x+=时， ()f x 取得最小值 2 ；当sin 123x+ =时， ()f x 取得最大值 2 （）由（）知() 2sin23xfx=+又()3gx f x=+ 1 () 2sin233gx x=+2sin22x=+2cos2x= Q ( ) 2cos 2cos ( )22xxgx g
11、x= = = 函数 ()gx是偶函数 18 （）设该射手第 i 次击中目标的事件为 (123)iAi= ， ， ，则 ()0.8 ()0.2iiPA PA=， ， ( ) ( ) ( ) 0.2 0.8 0.16ii i iPAA PAPA= （） 可能取的值为 0， 1， 2， 3 的分布列为 0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8 2.752E= + + + = . 19解法一： （） Q1AA平面 ABC BC ， 平面 ABC ， 1AA BC 在 Rt ABC 中， 22 6AB AC BC=， ， 0 1 2 3 P 0.008 0.032 0.16 0.8 :1
12、:2BD DC =Q ，63BD = ，又33BDABAB BC=， DBA ABC ， 90ADB BAC=o，即 AD BC 又1AA AD A=I ， BC 平面1AAD， BC Q 平面11BCC B ， 平面1AAD平面11BCC B （）如图，作1AE C C 交1CC于 E 点，连接 BE ， 由已知得 AB 平面11ACC A AE 是 BE 在面11ACC A 内的射影 由三垂线定理知1BECC ， AEB 为二面角1ACC B的平面角 过1C 作1CF AC 交 AC 于 F 点， 则 1CF AC AF=，113CF AA=， 160CCF=o 在 Rt AEC 中，3s
13、in 60 2 32AE AC=o 在 Rt BAE 中，26tan33ABAEBAE= 6arctan3AEB= ， 即二面角1ACC B为6arctan3 解法二： （）如图，建立空间直角坐标系， 则11(000) ( 200) (020) (00 3) (01 3)AB CA C， ， ， ， ， ， ， ， ， ， :1:2BD DC =Q ，13BDBC =uuur uuur A1 A C1 B1 BD CF E （第 19 题， 解法一）A1 A C1 B1 BD C zyx（第 19 题，解法二）D 点坐标为222033， 222033AD=uuur， ，1( 220) (00
14、3)BC AA= =uuur uuur， ， ， ， 10BC AA =uuur uuurQnull ， 0BC AD =uuur uuurnull ，1BCAA ， BCAD ，又1AA AD A=I ， BC 平面1AAD，又 BC 平面11BCC B ， 平面1AAD平面11BCC B （） BAQ 平面11ACC A ，取 ( 200)AB=uuur， ，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为 ()lmn= ，n ，则100BC CC= =uuur uuuurnullnull，nn 22 030lmmn+=+ =，323lmn m =， ， 如图，可取
15、1m = ，则3213=， ，n ， 2222 22322010153cos53(2) 0 0 (2) 13+时， 0k ；当 01c 时， ()f x 在 ()c ， 和 (1 )+， 内是减函数，在 (1)c ， 内是增函数 1(1) 012kkMfc+ =+， 221() 02( 2)kc kmfccc k+ = = ，解得 2k （ ii）当 2k +， (1) 02kmf= =+， 21121(1)3nxxx+2112111(1)3nxxx= +2111(1 )1(1)nxxxa= +211 2(1 ) 1nax x= +null 2111nnnaaax= +na ， 原不等式成立
16、（）由（）知，对任意的 0x ，有 12 222112 111(1)3 1(1)3naa a x xxx xx + + + + L 21121(1)3nxxx+ + +L 22122 21(1)33 3nnnxxx= +L 取221112 2 2 1 1331133 3 313nnnxnnn =+= = L ， 则2212111 111133nnnnnnaa annn+ = +L 原不等式成立 解法二： （）同解法一 （）设2112()1(1)3nf xxxx= +， 则222 222(1 ) 2(1 ) 21 33()(1 ) (1 ) (1 )nnx xx xfxxx + + = =+ +null0x Q ， 当23nx ；当23nx 时， () 0fx ， 当23nx = 时， ()f x 取得最大值212313nnnf a= =+ 原不等式成立 （）同解法一
