1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 一、选择题：本大题共8 小题，每题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1若2log 0a ，则【 D 】 A 1a , 0b B 1a , 0b D. 01a取函数 ()f x = 2xx e 。若对任意的(,)x+，恒有 ()Kf x = ()f x ，则【 D 】 AK 的最大值为 2 BK的最小值为 2 CK 的最大值为 1 DK的最小值为 1 二、填空题：本大题共7 小题，每小题 5分，共35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 9某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，1
2、0 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _ . 10在3333(1 ) (1 ) (1 )x xx+ + 的展开式中， x的系数为_7_ (用数字作答). 11若 (0, )2x ，则 2tan tan( )2x x+的最小值为 22 . 12已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为 60o，则双曲线 C 的离心率为 6213一个总体分为 A，B两层，其个体数之比为 4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 40 。 14
3、在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面 ABC 的距离为 12 ； （2）过，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角（锐角）的正切值为 3 . 15 将正 ABC 分割成2*(2, )nn n N个全等的小正三角形 （图2， 图3 分别给出了 n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别依次成等差数列.若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 ()f n ，则有 (2) 2f = ， (3)f = 1
4、03， ， ()f n = 1(1)(2)6nn+ + . BACABC图3图2三解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，已知2233AB AC AB AC BC= =uuuruuur uuur uuur uuur，求角 A，B，C 的大小 解： 设 ,BCaACbABc= 由 23AB AC AB AC= uuur uuur uuur uuur得 2cos 3bc A bc= ，所以3cos2A= . 又 (0, ),A 因此6A= 由233AB AC BC=uuuruur uur得23bc a= ，于是2
5、3sin sin 3sin4CB A= =. 所以53sin sin( )64CC=，13 3sin ( cos sin )22 4CC C+ =， 因此22sin cos 2 3sin 3,sin 2 3cos2 0CC C C C+ = =，既 sin(2 ) 03C=. 由6A= 知506C0. ()f x 在区间（64，640）内为增函数. 所以 ()f x 在 x=64 处取得最小值，此时640119.64mnx= = = 故需新建 9个桥墩才能使 y 最小。 20（本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3，0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的
6、距离的 3 倍之和记为 d. 当点 P 运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 （）求点P 的轨迹C； （）设过点 F 的直线 l与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最大值。 解：（）设点 P 的坐标为（x，y），则224( 3) 3| 2|.dx yx=+ 由题设， 18dx=+，即224( 3) 3| 2|18x yx x+ =+. 当 x2 时，由得221(3) 6 ,2x yx+= 化简得221.36 27xy+=当 2x 时，由得22(3 ) 3 ,x yx+=+ 化简得212y x= . 故点 P 的轨迹 C 是椭圆221:136 27xyC +=在直线
7、 x=2 的右侧部分与抛物线22:12Cy x= 在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线，参见图 1. （）如图 2 所示，易知直线 x=2 AB图1x=2Foyx与1C ，2C 的交点都是 A（2， 26），B（2， 26 ）， 直线 AF，BF的斜率分别为AFk = 26 ，BFk =26. 当点 P 在1C 上时，由知162PF x= . 当点 P 在2C 上时，由知 3PF x=+. 若直线 l的斜率 k 存在，则直线 l的方程为 (3)ykx= . （） 当kAFk ， 或kBFk ， 即k 26 或k 26时，直线 l与轨迹 C 的两个交点11 2
8、2(, ), (, )M xy Nxy都在1C 上，此时由知 116,2MFx=2162NF x= ， 从而MN= MF+ NF= （6 -121x ）+（6 - 122x ）=12 - 12( 1x +2x ). 由22(3),136 27ykxxy=+=得22 2 2(3 4 ) 24 36 108 0kx kx k+=. 则1x ，1y 是这个方程的两根， 所以1x +2x =222434kk+， MN=12 -12（1x +2x ） =12 -221234kk+. 因为当226, 6 , 24,kkk 或2时 所以 22212 12 12 10012 12 12 .3334 11442
9、4kMNkk= = =+当且仅当 26k = 时，等号成立。 （）当 ,26 26AF AFkkk k 时，直线 l与轨迹 C 的两个交点 11 2 2(, ), (, )M xy Nxy分别在12,CC上，不妨设点 M 在1C 上，点 N 在2C 上， 则由知，1216, 32MFxNFx= =+. 设直线 AF 与椭圆1C 的另一交点为 E00 0 12(, ), , 2.xy x xx 则 10 21166 ,33222MFxxEFNFx AF= = =+ += ， 所以 MNMFNFEFAFAE=+=。而点 A，E 都在1C 上， AB图2x=2EFMNoyx且 26,AEk = 由（
10、）知100 100,11 11AE MN=所以 若直线 l的斜率不存在，则1x =2x =3，此时 121 10012 ( ) 9211MN x x= + = . 综上所述，线段 MN 长度的最大值为10011. 21（本小题满分 13 分） 对于数列 nu ,若存在常数 M0,对任意的*nN ，恒有 1121nnnnuuuu uuM+ +L , 则称数列 nu 为 B数列. （）首项为 1，公比为 (1)qq 的等比数列是否为 B-数列？请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （）设nS 是数列 nx 的前 n项和
11、，给出下列两组论断； A 组：数列 nx 是B-数列, 数列 nx 不是 B-数列; B 组：数列 nS 是B-数列, 数列 nS 不是 B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论 组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论； ()若数列 ,nnab都是 B数列，证明：数列 nnab 也是 B数列。 解:（）设满足题设的等比数列为 na ,则1nnaq= ，于是 21211, 2nnnnnaa q q q q n= . 因此1121|nn nnaa aa aa+ + +L =211 (1 . ).nqqqq+ 因为 1,q 所以211111nnqqq qqq+
12、+ = L 即 112111nnnnqaaaa aaq+ +L . 故首项为1，公比为 q (1)q 的等比数列是 B-数列。 （） 命题1： 若数列 nx 是 B-数列，则数列 nS 是B-数列. 此命题为假命题。 事实上，设 1,nx nN=，易知数列 nx 是B-数列，但nSn= , 1121nnnnSSSS SSn+ +=L . 由 n的任意性知，数列 nS 不是 B-数列。 命题2： 若数列 nS 是 B-数列，则数列 nx 是B-数列. 此命题为真命题. 事实上，因为数列 nS 是 B-数列，所以存在正数 M，对任意的 ,nN 有 1121nnnnSSSS SSM+ +L ， 即1
13、2nnx xxM+L 。于是 1121nnnnx xxx xx+ +L 112112 2 . 2 2nnnx xx xxMx+ +， 所以数列 nx 是 B-数列。 （注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） （III）若数列 ,nnab是 B数列，则存在正数12,M M ，对任意的 ,nN 有 11211nnnnaaaa aaM+ +L ； 11212nnnnbbba bbM+ +L ， 注意到112 211nnnnnaaaaa aaa= + + +L 112 21111nn n naa a a aa aMa + +L . 同理，21nbMb+ . 记111KMa= + ，222KMb=+， 则有11 11 1 1nn nn nn nn nn nna b ab a b ab ab ab+ + + += 11 1 21 11nnnnnn nn nnbaaabbKaaKbb+ + + +. 因此11 11 22 11n n nn nn n na b ab ab a b ab ab+ + +L 21 1 21()nnnnKa a a a a a+L 11 1 21 2112nnnnKb b b b b b kM kM+L . 故数列 nnab 是 B数列.
