1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第卷 3至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 （选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
2、。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1在复平面内，复数 (1 2 )zi i=+对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 B 【解析】 本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. (1 2 ) 2 2zi i i i i=+=+=+，复数 z 所对应的点为( )2,1，故选 B. 2已知向量 a、 b 不共线， c k= a+b(kR),d=ab,如果 c / d，那么 （ ） A 1k = 且 c 与 d 同向 B 1k = 且 c 与 d 反向 C 1k = 且 c 与 d 同向 D 1k = 且 c 与
3、d 反向 【答案】 D 【解析】 本题主要考查向量的共线（平行） 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取 a ()1, 0= ， b ()0,1= ，若 1k = ，则 c=a+b ( )1,1= ， d=ab ()1, 1=， 显然， a 与 b 不平行，排除 A、 B. 若 1k = ，则 c= a+b ( )1,1= ， d= a+b ( )1,1= ， 即 c / d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D. 3 为了得到函数3lg10xy+= 的图像， 只需把函数 lgy x= 的图像上所有的点 （ ） A向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B向右平
4、移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【答案】 C 【解析】 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A () ()lg 3 1 lg10 3yx x=+= +， B() ()lg 3 1 lg10 3yx x=+= ， C ()3lg 3 1 lg10xyx+=+= ， D()3lg 3 1 lg10xyx= . 故应选 C. 4若正四棱柱111 1ABCD ABC D 的底面边长为 1，1AB 与底面 ABCD成 60角，则11AC 到底面 A
5、BCD的距离为 （ ） A33B 1 C 2 D 3 【答案】 D 【解析】 本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第 4 题解答图） 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，160BAB=，如图， 11tan60 3BB= = ，故选 D. 5 “ 2( )6kkZ=+ ”是“1cos 22 = ”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当 2( )6kkZ=+ 时，1cos 2 co
6、s 4 cos332k= += =， 反之，当1cos 22 = 时，有 ()2236kkkZ =+=+， 或()2236kkkZ =，故应选 A. 6若5(1 2 ) 2 ( ,ab ab+=+ 为有理数） ，则 ab+ = （ ） A 45 B 55 C 70 D 80 【答案】 C 【解析】 本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ()() () ( ) ( ) ( ) ()50123450123455555512 2 2 2 2 2 2CCCCCC+= + + + + + 1 5 2 20 20 2 20 4 2 41 29 2=+ + + =+ ， 由已知
7、，得 41 29 2 2ab+=+， 41 29 70ab+ =+=.故选 C. 7用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A 324 B 328 C 360 D 648 【答案】 B 【解析】 本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有2998 72A = = （个） ， 当 0 不排在末位时，有1114884 8 8 256AAA= （个） ， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有 72 256 328+ = （个）.故选 B. 8点 P 在直
8、线 :1ly x=上，若存在过 P 的直线交抛物线2y x= 于 ,AB两点，且 |PA AB= ，则称点 P 为“ 点” ，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线 l上的所有点都是“ 点” B直线 l上仅有有限个点是“ 点” C直线 l上的所有点都不是“ 点” D直线 l上有无穷多个点（但不是所有的点）是“ 点” 【答案】 A 【解析】 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设()( ), , 1Amn Pxx ， 则()2,2 2Bmxnx， 2,AB y x=在上， 2221(2)nmn
9、x mx =+= 消去 n,整理得关于 x 的方程22(4 1) 2 1 0xmxm + = （ 1） 22 2(4 1) 4(2 1) 8 8 5 0mmmm= = + 恒成立， 方程（ 1）恒有实数解，应选 A. 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 第卷（共 110 分） 注意事项： 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2答卷前将密封线内的项目填写清楚。 三 题号 二 15 16 17 18 19 20 总分 分数 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 91lim1xx xxx=_. W【答案】12【
10、解析】 本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查. ()( )()()211 1 111lim lim lim lim121111xx x xxxxx x xx x xxxxxx = =+，故应填12. 10若实数 ,x y满足2045xyxy+则 syx= 的最小值为 _. 【答案】 6 【解析】 本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当 4, 2xy=时， 24 6syx=为最小值 . 故应填 6 . 11设 ()f x 是偶函数，若曲线 ()yfx= 在点 (1, (1)f 处的切线的斜率为 1，则该曲线
11、在(1, (1)f处的切线的斜率为 _. 【答案】 1 【解析】 本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查. 取 ()2f xx= ，如图，采用数形结合法， 易得该曲线在 (1, (1)f处的切线的斜率为1 . 故应填 1 . 12 椭圆22192xy+=的焦点为12,FF， 点 P 在椭圆上，若1|4PF = ，则2|PF =_；12FPF 的小大为 _. 【答案】 2, 120【解析】 本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. 229, 3ab=， 2292 7cab=， 1227FF
12、 = ， 又1124, 2 6PF PF PF a=+=， 22PF = ， 又由余弦定理，得( )2221224 271cos224 2FPF+= =， 12120FPF=，故应填 2, 120. 13若函数1,0()1(), 03xxxfxx，则当1,xk时， ( )0fx ，函数 ( )f x 单调递增， 若 0k ，函数 ( )f x 单调递增， 当1,xk +时， ( )0fx ， 则当且仅当11k ， 即 1k 时， 函数 ()f x 在 ()1,1内单调递增； 若 0k 的离心率为 3 ，右准线方程为33x = （）求双曲线 C 的方程； （） 设直线 l是圆22:2Ox y+=
13、上动点00 00(, )( 0)Px y xy 处的切线， l与双曲线 C交于不同的两点 ,A B，证明 AOB 的大小为定值. 【解法 1】 本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 （）由题意，得2333acca=， 解得 1, 3ac=， 2222bca=， 所求双曲线 C 的方程为2212yx = . （）点 ()( )00 00,0Px y xy 在圆222xy+ = 上， 圆在点()00,Px y 处的切线方程为()0000xy yxxy= ， 化简得002xx yy+ = 由2200122yxxx yy
14、=+=及22002xy+ = 得( )22 200034 4 82 0xxx x +=， 切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B，且2002x ， 设 A、 B 两点的坐标分别为( ) ( )11 2 2,x yxy， 则20012 122248,34 34x xxx xxxx+= =， cosOA OBAOBOA OB=uuur uuuruuur uuur ， 且 ()()12 12 12 01 0220122OA OB x x y y x x x x x xy= + = + uuur uuur， ()212 0 1 2 012201422x xxxxx =+ + ( )222200
15、0022008282 814342 34 34x xxxxx =+ + 2200220082 2 803434xxxx=+=. AOB 的大小为 90.w.k.s.5.u.c.o.m 【解法 2】 （）同解法 1 （）点 ()( )00 00,0Px y xy 在圆222xy+ = 上， 圆在点()00,Px y 处的切线方程为 ()0000xy yxxy= ， 化简得002xx yy+=. 由2200122yxxx yy=+ =及22002xy+ = 得 ()22 200034 4 82 0xxx x+= ()22 200034 8 82 0xyyx x+= 切线 l与双曲线 C 交于不同的
16、两点 A、 B，20340x ， 设 A、 B 两点的坐标分别为( ) ( )11 2 2,x yxy， 则220012 1282 2 8,34 34xxxx yy=， 12 120OA OB x x y y= + =uuuruuur， AOB 的大小为 90. （22002xy+ = 且000xy ，220002,02xy ，故nnaa A . 从而 1nnaAa=，11a = 121naa a= ，故 ( )2,3, ,knaa Ak n=L . 由 A 具有性质 P 可知 ()1, 2, 3, ,nkaAk na= L . 又121nn nnnnaa aaaa aa=，34aa A ， 由 A 具有性质 P 可知43aAa . 由224 3aa a= ，得3 423a aAaa=，且3321aaa ，34232aaaaa= = ， 534224321aaaaaaaaa=， 即12345,aaaaa是首项为 1，公比为2a 成等比数列.
