1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试试卷题 文科数学 第卷（选择题） 本卷共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表 面积公式 ( ) () ()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 343VR= n次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R表示球的半径 () (1 ) ( 01,2 )kk
2、nknnPk CP P k n=L， 一、选择题 （1） 已知全集 U =1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， M =1， 3， 5， 7， N =5， 6， 7， 则 ()UM NU = (A) 5，7 （B） 2，4 （C）2.4.8 （D）1，3，5，6，7 （2）函数 y= x (x0)的反函数是 （A）2y x= （x 0） （B）2y x= （x 0） （B）2y x= （x 0） （D）2y x= （x 0） （3） 函数22log2xyx=+的图像 （A） 关于原点对称 （B）关于主线 yx= 对称 （C） 关于 y 轴对称 （D）关于直线 yx= 对称 （4）已知
3、ABC 中，12cot5A= ，则 cos A= (A) 1213(B) 513(C) 513 (D) 1213 （5） 已知正四棱柱111 1ABCD ABC D 中，1AA =2AB， E为1AA 中点，则异面直线 BE与1CD 所形成角的余弦值为 （A）1010(B) 15(C) 31010(D) 35（6） 已知向量 a = (2,1)， ab = 10， a + b = 52，则 b = （A） 5 （B） 10 （C）5 （D）25 （7）设2lg , (lg ) , lg ,aeb ec e= =则 （A） abc （B） acb （C） cab （D） cba （8）双曲线 1
4、3622=yx的渐近线与圆 )0()3(222=+ rryx 相切，则 r= （A） 3 （B）2 （C）3 （D）6 （9）若将函数 )0)(4tan( += xy 的图像向右平移6个单位长度后，与函数)6tan( += xy 的图像重合，则 的最小值为 (A)61(B)41(C)31(D)21（10）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 （A）6 种 （B）12种 （C）24 种 （D）30 种 （11）已知直线 )0)(2( += kxky 与抛物线 C: xy 82= 相交 A、B 两点，F 为 C 的焦点。若 FBFA 2= ,则k=
5、 (A)31(B)32(C)32(D)322（12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是 （A）南 （B）北 （C）西 （D）下 上 东第卷（非选择题） 本卷共 10 小题，共 90 分。 二、填空题：本大题共4 小题，每 5分，共20 分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上. （13）设等比数列na 的前 n 项和为ns 。若3614,1 ssa = ，则4a = （14）4)( xyyx 的展开式中33yx 的系数为 （15）已知圆O： 522=+ yx 和点A（1，2）
6、 ，则过 A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 （16）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的面积等于47，则球 O 的表面积等于 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。 （17） （本小题满分 10 分） 已知等差数列na 中， ,0,166473=+= aaaa 求na 前n 项和nS （18） （本小题满分 12 分） 设ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，23cos)cos( =+ B
7、CA , acb =2，求B. （19） （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱111ABC ABC 中， AB AC ， DE、 分别为11AA BC、 的中点，DE 平面1BCC （）证明： ABAC= （）设二面角 ABDC为60,求1BC与平面 BCD所成的角的大小 （20） （本小题满分 12 分） 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核。 （）求从甲、乙两组各抽取的人数； （）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （）求抽取的
8、 4 名工人中恰有 2名男工人的概率。 （21） （本小题满分 12 分） 设函数321() (1 ) 4 243f x x a x ax a=+，其中常数 1a ()讨论 ()f x 的单调性; ()若当 x0时， () 0fx 恒成立，求 a的取值范围。 （22） （本小题满分 12 分） A C BA1 B1 C1 DE已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为33，过右焦点 F 的直线 l与 C相交于A、 B两点，当 l的斜率为 1是，坐标原点 O到 l的距离为22（）求 ,ab的值； （） C 上是否存在点 P，使得当 l绕 F 转到某一位置时，有 OP OA OB=+u
9、uuruur uuur成立？ 若存在，求出所有的 P的坐标与 l的方程；若不存在，说明理由。 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考 一选择题 （1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B 二填空题 （13）3 （14）6 （15）254（16）8 三解答题 17 解： 设 na 的公差为 d ，则 ()()11112616350adadadad+ + =+=即 22111812 164ada dad +=解得 118, 82, 2aadd= =或 因此 ()() ( ) ( )8
10、19 81 9nnS n nn nn S n nn nn= + = = = ，或 （18）解： 由3cos( ) cos2AC B+ =及 ()B AC= +得 3cos( ) cos( )2AC AC += 3cos cos sin sin (cos cos sin sin )2AC AC AC AC+ = 3sin sin4AC= 又由2bac= 及正弦定理得 2sin sin sin ,B AC= 故 23sin4B = ， 3sin2B= 或 3sin2B = （舍去） ， 于是3B= 或23B= . 又由2bac= 知 ab 或 cb 所以3B= （19）解法一： （）取 BC中点
11、F，连接 EF，则 EF121B B，从而 EF DA。 连接AF， 则ADEF 为平行四边形， 从而AF/DE。 又 DE平面1BCC ， 故 AF平面1BCC ， 从而 AFBC，即 AF 为 BC 的垂直平分线， 所以AB=AC。 （） 作AGBD， 垂足为 G， 连接CG。 由三垂线定理知 CGBD， 故AGC 为二面角 A-BD-C的平面角。由题设知，AGC=600. 设AC=2，则AG=23。又AB=2，BC= 22，故 AF= 2 。 由 ABAD AGBD=得2AD=222.23AD + ，解得 AD= 2 。 故 AD=AF。又 ADAF，所以四边形 ADEF 为正方形。 因
12、为 BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面 BCD平面DEF。 连接AE、DF，设AEDF=H，则EHDF，EH平面BCD。 连接CH，则ECH 为1BC与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形，AD= 2 ，故EH=1，又EC=112BC =2， 所以ECH=300，即1BC与平面 BCD 所成的角为 300. 解法二： （）以 A为坐标原点，射线 AB为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz。 设 B（1，0，0） ，C（0，b，0） ，D（0，0，c） ， 则1B （1，0，2c）,E（12，2b，c）. 于是 DEuuur=（12，2b，0）
13、 ， BCuuur=（-1，b,0）.由DE平面1BCC 知DEBC， DE BCuuur uuurnull =0，求得b=1， 所以 AB=AC。 （）设平面 BCD 的法向量 (, ,),ANxyz=uuur则 0, 0AN BC AN BD =uuur uuur uuur uuur又 (1,1,0), (1,0,)BCBDc= =uuur uuur故00xyxcz+ =+ =令 1x = , 则111, , (1,1, )uz ANcc= =uuur又平面 ABD的法向量 (0,1,0)AC =uuur由二面角 CBDA 为 60知， ACAN， =60， 故 |cos60AN AC A
14、N AC= ouuur uuur uuur uuur，求得12c= 于是 11 2AN =uuur（， ，） ， 1(1 1 2CB =uuur，） 1111cos2|AN CBAN CBAN CB=uuur uuuruuur uuuruuur uuur， ， 1,60AN CB =ouuur uuur所以 CB1与平面 BCD所成的角为 30 （20）解： （）由于甲、乙两组各有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取 2 名工人。 （）记 A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则 158)(2101614=CCCAP （）i
15、A 表示事件：从甲组抽取的 2名工人中恰有 i名男工人， 210 ，=i jB 表示事件：从乙组抽取的 2名工人中恰有 j名男工人， 210j ，= B表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。 iA 与jB 独立， 210 ， =ji ，且021120BABABAB += 故 )()(021120BABABAPBP += )()()()()()(021120BPAPBPAPBPAP += 11 11 2 22246 64 6 64422 2 2 2 210 10 10 10 10 10CC CC C CCCCC C C CC=+ + 7531= （21）解： （） )2)(2(4)1
16、(2)(2axxaxaxxf =+= 由 1a 知，当 2 xf ，故 )(xf 在区间 )2,( 是增函数； 当 ax 22 时， 0)( xf ，故 )(xf 在区间 ),2( +a 是增函数。 综上，当 1a 时， )(xf 在区间 )2,( 和 ),2( +a 是增函数，在区间 )2,2( a 是减函数。 （）由（）知，当 0x 时， )(xf 在 ax 2= 或 0=x 处取得最小值。 aaaaaaaf 2424)2)(1()2(31)2(23+= aaa 2443423+= af 24)0( = 由假设知 ,0)0(,0)2(1fafa即+.024,0)6)(3(34,1aaaaa
17、解得 16a 故 a的取值范围是（1，6） （22）解： （）设 (),0,cF 当 l的斜率为 1时，其方程为 Ocyx ,0= 到 l的距离为 2200cc=故 222=c， 1=c 由 33=ace 得 3=a ，22cab = = 2 （）C 上存在点 P，使得当 l绕 F 转到某一位置时，有 OBOAOP += 成立。 由（）知 C 的方程为22x +23y =6. 设 ).,(),(2211yxByxA () )1( = xkylxl 的方程为轴时，设不垂直当 C上的点 P 使 OP OA OB=+uuuruur uuur成立的充要条件是 P 点的坐标为1212,x xy y+（）
18、，且6)(3)(2221221=+ yyxx 整理得 6643232212122222121=+ yyxxyxyx 632,63222222121=+=+ yxyxCBA 上，即在、又 故 03322121=+ yyxx 将 22(1) 2 3 6ykx x y= +=代入 ，并化简得 0636)32(2222=+ kxkxk 于是 2221326kkxx+=+ , 21xx =223263kk+, 2221221324)2)(1(kkxxkyy+= 代入解得， 22=k ，此时2321=+ xx 于是 )2(2121+=+ xxkyy =2k ， 即 )2,23(kP 因此， 当 2=k 时， )22,23(P ， 022 =+ yxl的方程为 ； 当 2=k 时， )22,23( P ， 022 = yxl的方程为 。 （）当 l垂直于 x轴时，由 )0,2(=+OBOA 知，C 上不存在点 P 使OBOAOP += 成立。 综上，C 上存在点 )22,23( P 使 OBOAOP += 成立，此时 l的方程为 022 = yx
