1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修）(陕西卷) 第卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12 小题，每小题5 分，共60分） 1设不等式20xx的解集为 M，函数 () ln(1| |)f xx= 的定义域为 N，则 M N 为（A） （A）0，1） （B） （0，1） （C）0，1 （D） （-1，0 2.若 tan 2 = ,则2sin cossin 2cos +的值为 (B) （A）0 (B) 34(C)1 (D) 543.函数 () 2 4( 4)fx x x=的反函数为 (D) （A）121( ) 4( 0)2fx x
2、 x=+ (B) 121( ) 4( 2)2fx x x= + （C）121( ) 2( 0)2fx x x=+ (D) 121( ) 2( 2)2fx x x= + 4.过原点且倾斜角为 60的直线被圆 学2240xy y+ =所截得的弦长为 (D) （A） 3 （B）2 （C） 6 （D）2 3 5.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为 (B) （A）9 （B）18 （C）27 (D) 36 6.若2009 2009
3、0 1 2009(1 2 ) ( )x aax ax xR=+ L ,则2009122 200922 2aaa+L 的值为 (C) （A）2 （B）0 （C） 1 (D) 2 7.” 0mn”是”方程221mx ny+=表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 （C） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D) 既不充分也不必要条件 8.在 ABC 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足 学 2APPM=uuuruur,则 科网()APPBPC+uuuruuruur等于 （A） （A）49（B）43（C）43 (D) 49 9从 1，2，3，4，5，6
4、，7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 (C) (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108 10定义在 R 上的偶函数 ()f x 满足：对任意的12 1 2,0,)( )x xxx + ，有2121() ()0fx fxxx= = =+ +ggg（）115二面角A-A C-B的大小为arccos520 （本小题满分 12 分） 已知函数3() 3 1, 0fx x ax a= ( ) 求 ()f x 的单调区间； ()若 ()f x 在 1x= 处取得极值，直线 y=m 与 ()y fx= 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。
5、 解： （1）2 2() 3 3 3( ),f xxaxa= 当 0a 当 0a 时，由() 0fx 解得 x a ； 由() 0fx 时， ()f x 的单调增区间为 (, ),(,)aa + ； ()f x 的单调减区间为(,)aa 。 （2） Q ()f x 在 1x= 处取得极大值， 2(1) 3(1) 3 0, 1.faa = = 32() 3 1, () 3 3,fx x x f x x = = 由() 0fx= 解得121, 1xx=。 由（1）中 ()f x 的单调性可知， ()f x 在 1x = 处取得极大值 (1) 1f = ， 在 1x= 处取得极小值 (1) 3f =
6、 。 Q直线 ym= 与函数 ()yfx= 的图象有三个不同的交点，又 (3) 19 3f =， 结合 ()f x 的单调性可知， m的取值范围是 (3,1) 。 21 （本小题满分 12 分） 已知数列na 满足， *11212, ,2nnnaaaa a nN+=2 . ( ) 令1nn nba a+=，证明： nb 是等比数列； ()求 na 的通项公式。 （1）证1211,baa= 当 2n 时，1111,11()22 2nnnn n n nn naaba a a aa b+ += = = nb 是以 1 为首项，12 为公比的等比数列。 （2）解由（1）知111(),2nnn nba
7、a+= 当 2n 时，121 32 1()()( )naaaa aa aa=+ + + L 21111() ()22n=+ + +L 111( )2111( )2n=+22111()32n=+ 152 1(),33 2n= 当 1n= 时，11152 1() 133 2a =。 1*52 1()( )33 2nnanN = 。 22 （本小题满分 12 分） 已知双曲线 C 的方程为22221( 0, 0)yxabab= ，离心率52e= ，顶点到渐近线的距离为255。 （I） 求双曲线 C的方程； (II)如图，P是双曲线 C上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、
8、二象限，若1,23AP PB=uuuruur，求 AOB 面积的取值范围。 解答一（）由题意知，双曲线 C的顶点（0，a）到渐近线2505ax by=的距离为 ， 2225 2555ab abcab =+即 由22225525125abcacbaccab=+得 21x =2y双曲线C的方程为4（）由（）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 2yx= 设 (,2), ,2), 0, 0Am m B n n m n（ 由 ,),AP PB P =uuuruurm- n 2(m+ n)得 点的坐标为（1+ 1+将 P 点的坐标代入222(1 )1,44yx+=化简得mn=142 , tan( ) 2,
9、tan ,sin2225AOB= = =Q设 又 5, 5OA m OB n= 111sin2 2 ( ) 122AOBSOAOB mn =+ 记11 1() ( )1, ,223S =+ 则211() (1 )2S = 由 () 0 1S =得 又S（1）=2，18 9() ,(2)33 4SS= = 121833AOBAOB =当 时， 的面积取得最小值 ，当 时， 的面积取得最大值AOB8面积的取值范围是2,3解答二（）由题意知，双曲线 C的顶点（0，a）到渐近线2505ax by=的距离为 ， 2225 2555ab abcab =+即 由22225525125abcacbaccab=
10、+得 21x =2y双曲线C的方程为4（）设直线 AB 的方程为 ,ykxm=+ 由题意知 2, 0km 由2,),2 22ykxmmmAyx kk=+= 得 点的坐标为（ 由2,),2 22ykxmmmByx kk=+ = +得 点的坐标为（ 121,()()12 212 2mmAP PB Pkk kk + + +得 点的坐标为（uuuruur将 P 点的坐标代入21x=2y4得2224(1)4mk+=设 Q 为直线AB 与y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m） AOBS=AOQ BOQSS+ 22111()22114()22 2 2411()12ABABOQ x OQ x m x xmm mmkk k=+=+=+ =+ggg以下同解答一
