1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式
2、： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 343VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R表示球的半径 () (1 ) ( 01,2 )kk nknnPk CP P k n=L， 一、选择题 （ 1）o585sin 的值为 (A) 22 (B)22(C)32 (D) 32【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。 解：2245s
3、in)45180sin()225360sin(585sin =+=+=oooooo，故选择 A。 (2)设集合 A= 4， 5， 7， 9 ， B= 3， 4， 7， 8， 9 ，全集 UAB= U ，则集合 ()UABI 中的元素共有 (A) 3 个 （ B） 4个 （ C） 5 个 （ D） 6 个 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。 （同理 1） 解： 3, 4, 5, 7, 8, 9AB=U ， 4, 7,9 ( ) 3,5,8UAB AB= =II 故选 A。也可用摩根定律： ( )()()UUUAB A B=IU痧 （ 3）不等式 111=q ， 由3317ab+=得212 3
4、 17dq+ = 3312TS=得24qqd+= 由及 0q 解得 2,2 = dq 故所求的通项公式为112( 1) 2 1, 32nnnannb=+ = = 。 (18)(本小题满分 12 分 )（注意：在试用题卷上作答无效） 在 ABC 中，内角 ABC、 的对边长分别为 abc、 .已知222ac b=，且sin 4cos sinB AC= ，求 b . 【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 解：由余弦定理得 Abcbca cos2222= ， 又 0,222= bbca ， bAbcb 2cos22= ， 即 2cos2 += Acb 由正弦定理得sinsinbBcC= 又由已知得
5、 sin 4cos sinB AC= sin4cossinBAC= ， 所以 4cosbcA= 故由解得 4=b (19)(本小题满分 12 分 )（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD为矩形， SD 底面ABCD ， 2AD= ， 2DC SD=，点 M 在侧棱 SC 上，60ABM=o（）证明： M 是侧棱 SC 的中点； （）求二面角 SAMB的大小。 （同理 18） 解法一： （I） 作 ME CD交 SD于点 E，则 ME AB， ME 平面SAD 连接 AE，则四边形 ABME为直角梯形 作 MFAB ，垂足为 F，则 AFME 为矩形 设 ME
6、x= ，则 SE x= ，22 2(2 ) 2AE ED AD x=+=+ 2(2 ) 2, 2MFAE x FB x=+ = 由2tan 60 , (2 ) 2 3(2 )MFFB x x= += 。得 解得 1x= 即 1ME = ，从而12MEDC= 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （）222MB BC MC=+=，又 60 , 2ABM AB =o,所以 ABM 为等边三角形， 又由（）知 M 为SC 中点 2, 6, 2SM SA AM= =，故222,90SA SM AM SMA=+ =o取AM中点G， 连结BG， 取SA中点H， 连结GH， 则 ,BGAMGHAM ,由此知 BG
7、H为二面角 SAMB的平面角 连接 BH ，在 BGH 中， 22312 23, ,22BG AM GH SM BH AB AH=+= 所以2226cos23BG GH BHBGHBG GH+= =二面角 SAMB的大小为6arccos( )3 解法二: 以 D 为坐标原点，射线 DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设 ( 2,0,0)A ，则 ( 2,2,0), (0,2,0), (0,0,2)BCS （）设 (0)SM MC =,则 22 22(0, , ), ( 2, , )11 11MMB =+ +又 (0,2,0), , 60AB MB AB=o故 |cos6
8、0MB AB MB AB= o即22242(2) ( ) ( )111 =+解得 1 = ，即 SM MC= 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （II） 由 (0,1,1), ( 2,0,0)MA ，得 AM 的中点211(,)222G 又23 1( , , ), (0, 1,1), ( 2 ,1,1)22 2GB MS AM= 0, 0GB AM MS AM= = 所以 ,GB AM MS AM 因此 ,GB MS 等于二面角 SAMB的平面角 6cos ,3|GB MSGB MSGB MS=所以二面角 SAMB的大小为6arccos( )3 (20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷
9、上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2局中，甲、乙各胜 1 局。 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。 解：记“第 i 局甲获胜”为事件 )5,4,3( =iAi， “第 j 局乙获胜”为事件 (3,4,5)jBj= 。 （）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 4343BBAAA += ，由于各局比赛结果相互独立，故 34
10、34 34 34()( )()()PA PA A B B PA A PB B=+=+ 34 34()() ()()PAPA PB PB=+ 52.04.04.06.06.0 =+= （）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 54354343ABAAABAAB += ，由于各局比赛结果相互独立，故 )()(54354343ABAAABAAPBP += 648.06.04.06.06.06.04.06.06.0)()()()()()()()()()()(5435434354354343=+=+=+=AP
11、BPAPAPAPBPAPAPABAPAABPAAP（ 21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知函数42() 3 6fx x x= +. （）讨论 ()f x 的单调性； （）设点 P 在曲线 ()yfx= 上，若该曲线在点 P 处的切线 l通过坐标原点，求 l的方程 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。 解： （）366( ) 4 6 4 ( )( )22fx x x xx x= + 令 ( ) 0fx 得 026x ； 令 ( ) 0fx相交于 A、 B、 C、 D 四个点。 （）求 r的取值范围 （）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 A
12、C、 BD 的交点 P 的坐标。 解： （）将抛物线2:Ey x= 代入圆222:( 4) ( 0)Mx y rr += 的方程，消去2y ， 整理得22716 0xx r += E与 M 有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根12x x、 由此得2212212(7) 4(16 ) 07016 0rxxxx r = +=null解得215164r 所以 r的取值范围是15(,4)2（ II） 设四个交点的坐标分别为11(, )Ax x 、11(, )B xx 、22(, )Cx x 、22(, )Dx x 。 则由（ I）根据韦达定理有212 127, 16x xxx r+= =，15
13、(,4)2r 则21 1 2 21 1 212 | |( ) | |( )2S xxxxxxxx= + = + 22 221 2 12 1 2 12( ) 4 ( 2 ) (7 2 16 )(4 15)Sxx xxx x rr =+ + =+ 令216 rt=，则22(7 2 ) (7 2 )Stt=+ 下面求2S 的最大值。 方法 1：由三次均值有： 221(7 2)(7 2) (7 2)(7 2)(14 4)2Stt ttt=+ = + + 3317 2 7 2 14 4 1 28()23 3tt t+= 当且仅当 72 144tt+=，即76t = 时取最大值。经检验此时15(,4)2r
14、 满足题意。 方法 2：设四个交点的坐标分别为11(, )Ax x 、11(, )B xx 、22(, )Cx x 、22(, )Dx x 则直线 AC、 BD 的方程分别为 )(),(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy +=+= 解得点 P 的坐标为 )0,(21xx 。 设21xxt = ，由216 rt = 及（）得7(0, )2t 由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 |)22(212121xxxxS += 则 4)(2(2122122112xxxxxxxxS += 将 721=+ xx ， txx =21代入上式，并令2)( Stf = ，得 )270(34398288)27()27()(232；当67=t 时 ( ) 0ft= ；当2767 t 时， ( ) 0ft 故当且仅当67=t 时， )(tf 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P 的坐标为 )0,67(
