1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修）(陕西卷) 第卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12 小题，每小题5 分，共60分） 1设不等式20xx的解集为 M，函数 () ln(1| |)f xx= 的定义域为 N，则 M N 为 （A）0，1） （B） （0，1） （C）0，1 （D） （-1，0 答案：A 解析：不等式20xx 的解集是 01x ，而函数 () ln(1| |)f xx= 的定义域为 11x”是“方程221mx ny+=表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条
2、件 (D) 既不充分也不必要条件 答案：C 解析： 0mn说明 0ba 8.在 ABC 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足 学 2APPM=uuur uuuur,则 科网()PA PB PC+uuuruur uuur等于 （A）49 （B）43 （C）43(D) 49答案：A 2222 4 4() ()33 9 9PA PM P AMPA PB PC PA PH AM AM AM=+= = =uuur uuuuruuuruur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuurnullnull解析： 是 的一个三等分点，延长PM到H，使得MH=MP,9
3、从 0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 (A)300 (B)216 (C) 180 (D)162 答案：C 解析：分类讨论思想： 第一类：从 1，2，3，4，5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 243472CA= 第二类：取 0，此时 2 和 4 只能取一个，0 还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为 21 4 332 4 3 108CC A A= 共有，180 个数 10若正方体的棱长为 2 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (A)26(B) 23(C) 33(D) 23答案：B
4、 解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体高的一半， 底面面积是正方体一个面面积的一半，11 1 2222 232 2 3V = = 11若 x，y 满足约束条件1122xyxyxy+，目标函数 2zax y= + 仅在点（1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围是 (A) （ 1 ，2 ） (B) （ 4 ，2 ） (C) (4,0 (D) (2,4) 答案：B 解析：根据图像判断，目标函数需要和 1x y+ ， 22xy 平行， 由图像知函数 a 的取值范围是（ 4 ，2 ） 12定义在R 上的偶函数 ()f x 满足：对任意 的12 1 2,(,0
5、( )x xxx ，有21 2 1()()()0x x fx fx . 则当*nN 时,有 (A) () ( 1) ( 1)f n fn fn +nn-10,2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修 +选修）(陕西卷) 第卷 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4小题，每小题4 分，共 16分). 13设等差数列 na 的前 n项和为nS ,若6312aS= = ,则2limnnSn= . I1321-2 -1SR31 20yGI44B1C1D1F1G1H1答案：1 6 1 1223112 512 211(1) lim lim 112 12 2nnnnna
6、 ad aSSSnnsadd nn n n = += = +=+= =+=解析：14某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26，15，13，同时参加数学和物理小组的有 6人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 人。 答案：8 15如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，12OO= ，A、B 是圆1O 上两点，若 A，B 两点间的球面距离为23，则1AO B = . 答案：216 设曲线1*()ny xnN+=在点 （1， 1） 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为nx ,令 lgnn
7、ax= ，则12 9aa a+L 的值为 . 答案：-2 1*1112 9 129()( 1) | 1 1( 1)( 1)11 2 98 99 1. lg . lg . lg 22 3 99 100 100nnnxnyx nNyx y n x y n y n xnxnaa a xxx+= =+=+=+ = = = =nullnullnull null解析：点（1，1）在函数 的图像上，（1，1）为切点，的导函数为 切线是：令y=0得切点的横坐标：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6 小题，共74 分） 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 () sin( ),f
8、xA x xR =+（其中 0, 0,02A= = =+ +1AACBD 15二面角 的大小为arccos519(本小题满分 12 分) 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示，椐统计，随机变量 的概率分布如下： 0 1 2 3 p 0.1 0.3 2a a ()求a 的值和 的数学期望； （） 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2次的概率。 19 题，解（1）由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2 的概率分布为 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 0*0.1 1*0.3 2*0.4 3*0.2 1
9、.7E =+= （2）设事件A 表示“两个月内共被投诉 2 次”事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次，另外一个月被投诉 0 次” ；事件2A 表示“两个月内每月均被投诉 12 次” 则由事件的独立性得 11222212( ) ( 0) 2*0.4*0.1 0.08( ) ( 1) 0.3 0.09( ) ( ) ( ) 0.08 0.09 0.17PA CPPA PPA PA PA= = =+=+=故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17 20 （本小题满分 12 分） 已知函数1() ln( 1) , 01xfx ax xx= + +，其中 0a ( ) 若 (
10、)f x 在 x=1 处取得极值，求 a 的值； () 求 ()f x 的单调区间； （）若 ()f x 的最小值为 1，求 a 的取值范围。 20. 解（）222( ) ,1(1) ( 1)(1)aaxafxax x ax x+= =+ + ()f x 在 x=1 处取得极值，2(1) 0, 1 2 0,faa= +=null即 解得 1.a = （）222( ) ,(1)(1)ax afxax x+=+ 0, 0,xa 10.ax+ 当 2a 时，在区间 (0, ) ( ) 0,fx+ 上， ()f x 的单调增区间为 (0, ).+ 当 02a ，离心率52e= ，顶点到渐近线的距离为2
11、55。 （I）求双曲线 C 的方程； (II)如图，P是双曲线 C上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,23AP PB=uuuruur，求 AOB 面积的取值范围。 21 （本小题满分 14 分） 已知双曲线 C 的方程为22221( 0, 0),yxabab= 离心率5,2e= 顶点到渐近线的距离为25.5（）求双曲线 C 的方程； （）如图，P 是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若1,2,3AP PB=uuuruur求AOB 面积的取值范围. 解答一（）由题意知，双曲线 C的顶点 (,)Oa到渐近线
12、0ax by=25的距离为 ，52225 25,55ab abcab=+即 由22225,55,2abccacab=+得2,1,5,abc=双曲线 C 的方程为221.4yx = （）由（）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 2.yx= 设 (,2),( ,2), 0, 0.Am m B n n m n 由 AP PB=uuuruur得 P 点的坐标为2( )(, ,11mnmn +将 P 点坐标代入221,4yx=化简得2(1 ).4nmn+= 设AOB11 42 , tan( ) 2, tan ,sin ,sin 2 .22 5=Q 又4|5|5OA m OB n+= 111|sin22 (
13、 )1.22AOBSOAOB mn =+nullnullnull 记11 1() ( ) 1, ,2,23S =+ 由89( ) 0 1, ) , (2) ,34SS= = =1得 又S(1)=2,S(3当 1 = 时，AOB的面积取得最小值 2，当13 = 时，AOB 的面积取得最大值83.AOB 面积的取值范围是82, .3解答二（）同解答一 （）设直线 AB的方程为 ,ykxm= + 由题意知 |2, 0.km 由2y kx myx=+=得 A 点的坐标为2(,),22mmkk由2y kx my x=+=得 B 点的坐标为2(,).22mmkk+由 AP PB=uuuruur得 P 点的
14、坐标为121( ( ), ( ),12 212 2mmkk kk + + +将P点坐标代入22224(1)1.44ymxk+= =得 设 Q 为直线AB 与y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m）. 111|8| ( )222AOB AOQ BOQSSS OQXAOQxmxAxB= + = nullnullnullnullnullnull =221141() ()1.22 2 24 2mm mmkk k+= =+ null 以下同解答一. 22 （本小题满分 12 分） 已知数列 nx 满足， *11,21nnx xnNx+ . ( ) 猜想数列 nx 的单调性，并证明你的结论； ()证明：
15、1112|()65nnnxx+-| 。 22 题 证（1）由1n+1 244n11 51321 3821xx xxxx= =+=+及得 ， 由246x xx猜想：数列 2nx 是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当 n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k 时命题成立，即222kkx x+ 易知20kx ，那么23 2122 2421 23 21 231111 (1)()kkkkkk kkxxxxxx xx+ += =+ +=2222212 230(1 )(1 )(1 )(1 )kkkk k kxxxx x x+ + +即2( 1) 2( 1) 2kkxx+ 也就是说，当 n=k+1 时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当 n=1时，12116nnxxxx+=，结论成立 当 2n 时，易知1111101,12,12nnnnxxxx+111115(1 )(1 ) (1 )(1 ) 212nn n nnxx x xx +=+ +=+11111111 (1)(1)nnnnnn nnxxxxx xxx+ = =+ +2n-1112 21n-122 255 51265nn n nx xxx xx =K（） （）（）
