1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工农医科） 第卷 本试卷共 12小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 AB， 互斥，那么 球的表面积公式 24SR= ()()()PA B PA PB+= + 其中 R表示球的半径 如果事件 AB， 相互独立，那么 球的体积公式 343VR= ( ) () ()PAB PAPB=nullnull 其中 R表示球的半径 一、选择题： 1. 设集合 2|5, |4210,Sxx Txx x= 。则“ ab ”是“ acbd ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要
2、而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线2221( 0)2xybb =的左右焦点分别为12,FF，其一条渐近线方程为 yx= ，点0(3, )Py在该双曲线上，则12PF PFuuur uuuur= A. -12 B. -2 C. 0 D. 4 8. 如图，在半径为 3 的球面上有 ,ABC三点， 90 ,ABC BA BC= =，球心 O到平面 ABC的距离是322，则 B C、 两点的球面距离是 A.3B. C.43D.2 9. 已知直线1:4 3 6 0lxy +=和直线2:1lx= ，抛物线24y x= 上一动点 P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最
3、小值是 A.2 B.3 C.115D.371610. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料3吨、B 原料 2吨；生产每吨乙产品要用 A 原料1 吨、B 原料3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 11. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 360 B. 228 C. 216
4、 D. 96 12. 已知函数 ()f x 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有(1)(1)()xfx xfx+=+ ，则5()2ff 的值是 A.0 B.12C.1 D.52第卷 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4分，共16 分把答案填在题中横线上 13.61(2 )2xx 的展开式的常数项是 （用数字作答） 14.若221:5Ox y+=与222:( ) 20( )Oxm y mR+= 相交于 A、B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 15.
5、 如图，已知正三棱柱111ABC ABC 的各条棱长都相等， M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM和 所成的角的大小是 。 16设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合，对于映射:,f VVaV，记 a的象为 ()f a 。若映射 :f VV 满足：对所有 ,ab V 及任意实数 , 都有 ()()()f ab fa fb += + ，则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题： 设 f 是平面 M 上的线性变换，则 (0) 0f = 对 ,()2aV fa a=设 ，则 f 是平面 M 上的线性变换； 若 e是平面 M 上的单位向量，对 aV ，设 ()f aae= ，则
6、f 是平面 M 上的线性变换； 设 f 是平面 M 上的线性变换， ,ab V ，若 ,ab共线，则 (), ()f afb也共线。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 12 分） 在 ABCnull 中， ,A B 为锐角，角 ,A BC所对应的边分别为 ,abc，且310cos2 ,sin51AB= （I）求 A B+ 的值； （II）若 21ab= ，求 ,abc的值。 18. （本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡
7、，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） 。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。 （I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2人的概率； （II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 E 。 19（本小题满分 12 分） 如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直， ABE 是等腰直角三角形，,45AB AE FA FE AEF=
8、（I）求证： EFBCE平面 ； （II）设线段 CD 的中点为 P ，在直线 AE 上是否存在一点 M ，使得/PM BCE平面 ？若存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角 FBDA的大小。 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆2221( 0)xyabab+=的左右焦点分别为12,FF，离心率22e= ，右准线方程为 2x= 。 （I）求椭圆的标准方程； （II）过点1F 的直线 l与该椭圆交于 ,M N 两点，且222263FM FN+=uuuur uuuur，求直线 l的方程。 21. （本小题满分 12 分） 已知 0, 1aa且 函数
9、 () log(1 )xaf xa=。 （I）求函数 ()f x 的定义域，并判断 ()f x 的单调性； （II）若()*,lim ;fnnnanNaa+求 （III）当 ae= （ e为自然对数的底数）时，设() 2() (1 )( 1)fxhx e x m= +，若函数()hx的极值存在，求实数 m的取值范围以及函数 ()hx的极值。 22. （本小题满分 14 分） 设数列 na 的前 n 项和为nS ，对任意的正整数 n ，都有 51nnaS= + 成立，记*4()1nnnabnNa+=。 （I）求数列 nb 的通项公式； （II）记*221()nnncbb nN= ，设数列 nc
10、的前 n项和为nT ，求证：对任意正整数n，都有32nT 当 01a 时， ()f x 的定义域是 0（，） ， ln() log11xxaaa afx e =g 当 01a，故() 0fx 时， (,0)x ，因为 10, 0xxaa 0,因为n 是正整数，故 0 ， 故 ()hx无极值 当 01m41n 41, 4 1nnR n n 即（ ） 对一切大于 1 的奇数n 恒成立 4, 4 1n 否则，（ ） 只对满足14n的正奇数 n 成立，矛盾。 另一方面，当 4 = 时，对一切的正整数 n 都有 4nR n 恒成立 事实上，对任意的正整数 k，有 21 2 21 2558(4) 1 (4) 1nn kkbb +=+ +5208(16) 1 (16) 4kk=+ +15 16 4088(16 1)(16 4)kkk= +当 n 为偶数时，设*2( )nmmN= 则12 34 212()()( )nmmR bb bb b b=+ +K 84mn= 当 n 为奇数时，设*21( )nmmN= 则12 34 2322 21()()( )nmmR bb bb b b b =+ + +K 8( 1) 4 8 4 4mmn+= = 对一切的正整数 n，都有 4nR n 综上所述，正实数 的最小值为 414分
