1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）i 是虚数单位，52ii= （A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i 【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。 解析： iiiii215)2(525+=+=，故选择 D。 （2）设变量x，y 满足约束条件：3123xyxyxy+ .则目标函数 23zxy= + 的最小值为 （A）6 （B）7 （C）8 （D）23 【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。 解析：画出不等式3123xyxyxy+表示的可行域，如右图， 让目标
2、函数表示直线332 zxy += 在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值，解方程组=+323yxyx得)1,2( ，所以 734min=+=z ，故选择 B。 （3）命题“存在0x R，02x0”的否定是 （A）不存在0x R, 02x0 （B）存在0x R, 02x0 （C）对任意的 xR, 2x0 （D）对任意的 x R, 2x0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。 解析：由题否定即“不存在 Rx 0，使 020x” ，故选择 D。 （4）设函数1() ln( 0),3fx x xx= 则 ()y fx= 642252x-y=3x-y=1x+y=3ABA. 在区间1(,
3、1),(1,)ee内均有零点。 B. 在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。 C. 在区间1(,1)e内有零点，在区间 (1, )e 内无零点。 D. 在区间1(,1)e内无零点，在区间 (1, )e 内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析： 由题得xxxxf33131)(= ， 令 0)( xf 得 3x ； 令 0)( +=若1133 3abab+是 与 的等比中项，则 的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 14【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。 【解析】因为 333 =ba，所以 1=+ba ， 4222)1
4、1)(11=+=+=+baabbaabbababa， 当且仅当baab= 即21= ba 时“=”成立，故选择 C （7）已知函数 ( ) sin( )( , 0)4fx x x R=+的最小正周期为 ，为了得到函数 () cosgx x= 的图象，只要将 ()yfx= 的图象 A. 向左平移8个单位长度 B. 向右平移8个单位长度 C. 向左平移4个单位长度 D. 向右平移4个单位长度 【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。 解析：由题知 2= ，所以 )8(2cos)42cos()42(2cos)42sin()(=+=+= xxxxxf ，故选择 A。 （8）已知函数22
5、4, 0()4,0xxxfxxxx += 则实数 a的取值范围是 A (,1)(2,) + B (1,2) C (2,1) D (,2)(1,) + 【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 解析：由题知 )(xf 在 R上是增函数，由题得 aa 22 ，解得 12 =+= baabb ，不等式的解集为11 +0）的公共弦的长为 23，则=a _。 【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。 解析：由知22260xy ay+ =的半径为26 a+ ，由图可知222)3()1(6 =+ aa 解之得 1=a (15)在四边形 ABCD 中， ABuuur
6、=DCuuur=（1，1） ，11 3BA BC BDBA BC BD+=uuur uuur uuuruuur uuur uuur，则四边形 ABCD 的面积是 【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。 解析：由题知四边形 ABCD 是菱形，其边长为 2 ，且对角线 BD 等于边长的 3 倍，所以21222622cos =+=ABD ，故23sin =ABD ， 323)2(2=SABCD 。 （16）用数字 0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答） 【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。 解析：个位、
7、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有： 901333143323=+ CACAC 种；个位、十位和百位上的数字为 1个偶数 2 个奇数的有： 23413332313143323=+ CACCCAC 种，所以共有32423490 =+ 个。 三、解答题：本大题共6 小题，共76 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 在ABC 中，BC= 5，AC=3，sinC=2sinA () 求 AB的值； () 求sin 24A的值 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分 12
8、分。 （）解：在ABC 中，根据正弦定理，sin sinABBCCA= 于是sin225sinCAB BC BCA= （）解：在ABC 中，根据余弦定理，得22225cos25AB AC BDAAB AC+=于是25sin 1 cos5AA= = 从而2243sin2 2sin cos ,cos2 cos sin55AAA AAA= 所以2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin44410AA A= （18） （本小题满分 12 分） 在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件，求： （） 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的
9、分布列和数学期望； （） 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分。 （）解：由于从 10 件产品中任取 3件的结果为3kC，从 10 件产品中任取 3件，其中恰有k 件一等品的结果数为337kkCC，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的概率为337310() ,0,12,3kkPX k kCCC= = 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 72421407401120X 的数学期望7217 190123
10、24 40 40 120 10EX = + + + = （）解：设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A， “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A 1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A 2， ”恰好取出 3 件一等品”为事件 A 3由于事件 A 1，A 2，A 3彼此互斥，且 A=A 1A 2A 3而 12333310371() ,( ) ( 2) ,( ) ( 3)40 40 120PA PA PX PA PXCCC= = =, 所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 12337 1 31() ( ) ( ) ( )40 40 120 1
11、20PA PA PA PA=+=+=+407+1201=12031（19） （本小题满分 12 分） 如图，在五面体 ABCDEF 中， FA平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD （）求异面直线 BF 与DE 所成的角的大小； （）证明平面 AMD 平面CDE； （）求二面角 A-CD-E的余弦值。 本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分 12 分. 方法一： （）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直
12、线 BF 与DE 所成的角。设 P为 AD 的中点，连结 EP，PC。因为 FE/=AP，所以 FA/=EP，同理 AB/=PC。又 FA平面ABCD，所以 EP平面 ABCD。而 PC，AD 都在平面 ABCD 内,故EPPC，EPAD。由 ABAD，可得 PCAD 设 FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= a2 ，故CED=60。所以异面直线BF与 DE 所成的角的大小为 60 （） 证明： 因为 DC DE= 且 M 为 CE的中点， 所以 DM CE ， 连接 MP ， 则 MP CE ，又 MP DM M=I ，故 CE 平面 AMD ,而 CE 平面 CDE ，所以
13、平面 AMD 平面CDE （） 因为，所以因为，的中点，连结为解：设 .CDEQDECE.EQPQCDQ = .ECDAEQPCDPQPDPC 的平面角为二面角，故，所以 = 由（）可得， .2226EQ aPQaPQEP = ， 于是在 Rt EPQ 中，3cos3PQEQPEQ=， 所以二面角 ACDE 的余弦值为33方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A为坐标原点。设 ，1=AB 依题意得()， 001B ( )， 011C ( )， 020D ()， 110E ()， 100F .21121M， （）解： ()101BF =uuur， ， ( )011DE =uuur， 于是00
14、11cos .222BF DEBF DEBF DE+=uuur uuuruuur uuuruuur uuur， 所以异面直线 BF与 DE所成的角的大小为060 . （）证明：由11122AM=uuuur， ， ( )101CE =uuur， ， ( )020AD =uuur， ， 可得 0CE AM =uuur uuuur，0CE AD =uuur uuur，因此， CE AM CE AD， ，又 CE AMDAM AD A =，故 平面 .CDEAMDCDECE 平面，所以平面平面而 （）解：设平面 CDE的发向量为0()D0.uCEuxyzuE = =uuuruuur， ，则 于是01(
15、1.0.xzxuyz+=+=，令 ，可得 ， ， ） 又由题设，平面 ACD的一个法向量为 ).100( ，=v .3313100cos =+=vuvuvu，所以， 因为二面角 ACDE为锐角，所以其余弦值为33（20） （本小题满分 12 分） 已知函数22() ( 2 3) ( ),xf xxaxaaexR=+ 其中 aR （）当 0a = 时，求曲线 () (1, (1)yfx f= 在点 处的切线的斜率； （）当23a 时，求函数 ()f x 的单调区间与极值。 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分
16、12 分。 （）解： .3)1()2()()(022efexxxfexxfaxx=+= ，故，时，当 所以曲线 ()yfx= 在点 (1, (1)f 处的切线的斜率为 3e （）解：22( ) ( 2) 2 4xf xxaxaae =+ 令2( ) 0 2 2. 2 2.3fx x a xa a aa=，解得 ，或 由 知， 以下分两种情况讨论。 （1） a若 32，则 a2 2a .当 x变化时， )()( xfxf ， 的变化情况如下表： x ()a2 ， a2 ()22 aa， 2a ( )+ ，2a+ 0 0 + 极大值 极小值 所以 ()f x 在 (2)(2)aa +， 内事增函数
17、，在 (2 2)aa ， 内是减函数。 函数 ()f x 在 2x a= 处取得极大值2(2) (2) 3af afaae=，且 函数 ()f x 在 2xa=处取得极小值2(2) (2)(43).af afa e=，且 （2） a若 32，则 a2 2a ，当 x变化时， )()( xfxf ， 的变化情况如下表： x ()2 a， 2a ()aa 22 ， a2 ( )+ ，a2+ 0 0 + 极大值 极小值 所以 ()f x 在 (2)(2)aa +， 内是增函数，在 (22)aa ， 内是减函数。 函数 ()f x 在 2xa=处取得极大值2(2) (2)(43)af afa e=，且
18、 函数 ()f x 在 2x a= 处取得极小值2(2) (2) 3af afaae=，且 （21） （本小题满分 14 分） 已知椭圆22221( 0)xyabab+=的两个焦点分别为12( ,0) ( ,0)( 0)Fc Fc c 和 ，过点2(,0)aEc的直线与椭圆相交与 ,AB两点，且121 2/ , 2FA FB FA FB= 。 （）求椭圆的离心率； （）求直线 AB 的斜率； （） 设点C与点A关于坐标原点对称， 直线2FB上有一点 (,)( 0)Hmnm 在 1AFC的外接圆上，求nm的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法
19、研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分 14 分 （）解：由1FA/2FB且12FA 2FB= ，得2211EF F B 1EF FA 2= = ，从而22a1a 2cccc=+整理，得223ac= ，故离心率33cea= （）解：由（）得222 22bac c= ，所以椭圆的方程可写为222236x yc+= 设直线 AB 的方程为2aykxc=，即 (3)ykx c= 由已知设11 22(,),(, )Ax y Bx y ，则它们的坐标满足方程组222(3)236ykx cx yc=+=消去 y 整理，得22 2 22 2(2 3 ) 18 27 6 0kx kc
20、x kc c+=. 依题意，223348 (1 3 ) 033ck k= 1） 。设11 22.nnSabab ab=+,nT =11ab-22ab+.+(-11)nnnab,n N+（）若1a =1b = 1，d=2，q=3，求 3S 的值； （）若1b =1，证明（1-q）2*22 22(1 )(1 ) (1 ) ,1nnndq qqS qT n Nq+= （）若正整数 n 满足 2 nq，设12 12, ,., , ,., 12.nnkk k ll l和是，n 的两个不同的排列，12112.nkk kcabab ab=+，12212.nll lcabab ab= + 证明12cc 。 本
21、小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分 14分。 （）解：由题设，可得1*21, 3,nnnanb nN= = 所以，31122331133 59 55Sababab= + + =+= （）证明：由题设可得1nnbq= 则 2212123 2. ,nnnSaaqaq aq=+ + + + 23 212123 4 2. ,nTaaqaqaq aq= + + 式减去式，得 32122 2 4 22( . )nnn nS T aq aq a q= + + 式加上式，得 22222 13 212(
22、 . )nnn nST aaq aq+= + + 式两边同乘 q，得 32122 1 3 21( ) 2( . )nnn nqS T aq aq a q+= + 所以， 222222(1 ) (1 ) ( ) ( )nnnnnnqS qT S T qS T+=+ 3212*22( )2(1 ),1nndq q qdq qnNq=+=K()证明：11 2212 1 2()() ()nnkl kl klncc a ab a ab a ab= + + K 111 1 22 1 1()( ) ( )nnnk l db k l dbq k l dbq= + +K 因为10, 0,db所以 11211 221()( ) ( )nnncckl klq klqdb=+ +K （1） 若nnkl ，取i=n （2） 若nnkl= ，取 i 满足iikl 且 ,1jjkli jn= + 由（1）,(2)及题设知， 1 in 同理可得1211ccdb ，因此12cc 综上，12cc
