1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷） 数学（文史类） 第I卷 一、选择题： （本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合 1,3,5,7,9 , 0,3,6,9,12AB=,则 AB=I (A) 3,5(B) 3,6(C) 3,7 (D) 3,9 （2） 复数3223ii+=（A） 1 （B） 1 （C） i (D) i （3）对变量 ,x y 有观测数据（1x ，1y ） （ 1,2,.,10i = ） ，得散点图 1；对变量 ,uv有观测数据（1u ，1v ） （i=1,2,，10）,得散点图 2. 由这两个散
2、点图可以判断。 （A）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 （B）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 （C）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 （D）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 （4）有四个关于三角函数的命题： 1p ： xR, 2sin2x+2cos2x=122p : ,x yR , sin( ) sin sinx yxy = 3p : x 0, ,1cos2sin2xx= 4p : sin cos2xyxy= += 其中假命题的是 （A）1p ，4p （B）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p （5）已知圆1C ：2(1)x+
3、+2(1)y =1，圆2C 与圆1C 关于直线 10xy =对称，则圆2C 的方程为 （A）2(2)x+ +2(2)y =1 （B）2(2)x +2(2)y+ =1 （C）2(2)x+ +2(2)y+ =1 （D）2(2)x +2(2)y =1 （6）设 ,x y满足24,1,22,xyxyxy+则 zxy= + （A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值 （C）有最大值 3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值 （7）已知 ()()3, 2 , 1,0ab= = ，向量 ab + 与 2ab 垂直，则实数 的值为 （A）17 （B）17（C）16 （D）16（8）等比数列
4、 na 的前 n 项和为nS ，已知2110mmmaaa+ =，2138mS= ,则 m= （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 （9） 如图，正方体111 1ABCD ABC D 的棱线长为 1，线段11B D 上有两个动点 E，F，且12EF = ，则下列结论中错误的是 （A） AC BE （B） /EFABCD平面 （C）三棱锥 A BEF 的体积为定值 （D） AEF BEF的面积与 的面积相等 （10）如果执行右边的程序框图，输入 2, 0.5xh=，那么输出的各个数的和等于 （A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5 （11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（
5、单位：2cm ）为 （A） 48 12 2+ （B） 48 24 2+ （C） 36 12 2+ （D） 36 24 2+ （12）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值。设 () min2, 2,10xf xxx=+ (x 0),则 ( )f x 的最大值为 （A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13 题）第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22 题）第（24）题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5分。 （13）曲线 21xy xe x=+在点（0,1）处的切线方程为 。 （14
6、）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若()2,2P 为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为 。 （15）等比数列na 的公比 0q , 已知2a =1，216nn naa a+ = ，则na 的前 4 项和4S= 。 （16）已知函数 () 2sin( )fx x =+的图像如图所示，则712f=。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已知50ABm= ， 120BCm= ，于 A 处测得水深 8
7、0ADm= ，于 B 处测得水深 200BEm= ，于C 处测得水深 110CF m= ，求 DEF 的余弦值。 （18） （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， PAB是等边三角形， PAC= PBC=90 （）证明： AB PC （）若 4PC = ，且平面 PAC 平面 PBC ，求三棱锥 PABC 体积。 （19） （本小题满分 12 分） 某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人） ，另外 750名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查
8、他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）. （）A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？ （）从 A类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1和表 2 表1： 生产能力分组 )100,110 )110,120 )120,130 )130,140 )140,150 人数 4 8 x 5 3 表2： 生产能力分组 )110,120 )120,130 )130,140 )140,150 人数 6 y 36 18 （1） 先确定 ,x y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观
9、察直方图直接回答结论） (ii)分别估计 A类工人和 B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表） 。 （20）(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C的中心为直角坐标系 xOy的原点，焦点在 x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和1 （）求椭圆 C 的方程 （）若 P为椭圆 C 的动点， M 为过 P且垂直于 x轴的直线上的点，OPeOM= （e 为椭圆C的离心率） ，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （21） （本小题满分 12 分） 已知函数3223() 3 9f xx ax axa= +. (1) 设 1a
10、= ，求函数 ()f x 的极值； (2) 若14a ，且当 1, 4x a 时， )(xf 12a 恒成立，试确定 a的取值范围. 请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 （22） （本小题满分 10 分）选修 41；几何证明选讲 如图， 已知 ABC 中的两条角平分线 AD和 CE相交于H ， B=60o， F 在 AC 上，且 AE AF= 。 （1）证明： ,B DHE四点共圆； （2）证明：CE平分 DEF。 （23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方
11、程。 已知曲线C1：4cos,3sin,x ty t= +=+（t为参数） ， C2：8cos ,3sin ,xy=（ 为参数） 。 （1）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 C1上的点 P 对应的参数为2t= ，Q为 C2上的动点，求 PQ中点 M 到直线 332,:2x tCy t=+= +（t 为参数）距离的最小值。 （24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 如图， O为数轴的原点， ,A BM为数轴上三点， C为线段 OM 上的动点，设 x表示 C与原点的距离， y 表示 C到 A距离 4 倍与 C到 B距离的 6 倍的和. （1）
12、将 y 表示为 x的函数； （2）要使 y 的值不超过 70， x 应该在什么范围内取值？ 参考答案 一、选择题 （1）D （2）C （3）C （4）A （5）B (6)B （7）A （8）C （9）D （10）B （11）A (12)C 二、填空题 (13) 31y x=+ (14)24y x= (15)152(16)0 三、解答题 (17) 解： 作 /DM AC交 BE 于 N，交 CF 于 M 222230 170 10 198DF MF DM=+=+= ， 22 2250 120 130DE DN EN=+=+=， 22 22( ) 90 120 150EF BE FC BC=+=+
13、= 6 分 在 DEF 中，由余弦定理， 222 222130 150 10 298 16cos2 2 130 150 65DE EF DFDEFDE EF+ += = =. 12 分 （18）解： （）因为 PAB 是等边三角形，90PAC PBC=, 所以 Rt PBC Rt PAC,可得 ACBC= 。 如图，取 AB中点 D，连结 PD,CD, 则 PD AB ,CD AB , 所以 AB平面 PDC , 所以 ABPC 。 6 分 （）作 BEPC ，垂足为 E，连结 AE 因为 Rt PBC Rt PAC， 所以 AEPC ， AEBE= 由已知，平面 PAC 平面 PBC ，故
14、90AEB = 8 分 因为 Rt AEB Rt PEB，所以 ,AEB PEB CEB都是等腰直角三角形。 由已知 4PC = ，得 2AEBE=， AEB 的面积 2S = 因为 PC 平面 AEB， 所以三角锥 P ABC 的体积 1833VSPC= = 12 分 （19）解： （） A类工人中和 B类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 4 分 （）()由 48 5325x+= ，得 5x= ， 6361875y+ + = ，得 15y = 。 频率分布直方图如下 8 分 从直方图可以判断： B类工人中个体间的差异程度更小。 9 分 （ii） 48553105 115 125 135
15、 145 12325 25 25 25 25Ax =+ = ， 6153618115 125 135 145 133.875 75 75 75Bx =+ = ， 25 75123 133.8 131.1100 100x=+ = A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123，133.8 和131.1. （20）解： （）设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 17acac=+=解得a=4,c=3, 所以椭圆 C的方程为221.16 7xy+= （）设 M（x,y）,P(x,1y ),其中 4,4 .x 由已知得 222122.xyex
16、y+=+而34e= ，故22 22116( ) 9( ).x yxy+= + 由点 P 在椭圆 C 上得 221112 7,16xy= 代入式并化简得29112,y = 所以点 M 的轨迹方程为47(4 4),3yx= 轨迹是两条平行于 x 轴的线段 （21）解： （）当 a=1 时，对函数 ()f x 求导数，得 2() 3 6 9.fx x x= 令 12() 0, 1, 3.fx x x=解得 列表讨论(), ()f xfx的变化情况： x (,1) 1 （-1，3） 3 (3, )+ ()f x + 0 0 + ()f x null 极大值 6 null 极小值-26 null 所以，
17、 ()f x 的极大值是 (1) 6f =，极小值是 (3) 26.f = （）2 2() 3 6 9f xxaxa=的图像是一条开口向上的抛物线，关于 x=a 对称. 若11, ( )4afx1,则2 | ( ) | 12 12 . 1,4 | ( ) | 12f aaaxafxa= 故当 时 不恒成立. 所以使|()|12( 1,4)f xaxa 恒成立的 a 的取值范围是14(,.45（22）解： （）在ABC 中，因为B=60， 所以BAC+BCA=120. 因为 AD,CE是角平分线， 所以HAC+HCA=60， 故AHC=120 于是EHD=AHC=120. 因为EBD+EHD=1
18、80， 所以 B,D,H,E 四点共圆。 （）连结 BH，则 BH 为 ABC 的平分线，得 HBD =30 由（）知 B，D，H，E 四点共圆， 所以 CED HBD=30 又 AHE EBD=60，由已知可得 EFAD ， 可得 CEF=30 所以 CE 平分 DEF （23）解： （）222212:( 4) ( 3) 1, : 164 9xyCx y C+= += 1C 为圆心是 (4,3) ，半径是 1 的圆。 2C 为中心是坐标原点，焦点在 x轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆。 （）当2t= 时， (4,4).(8cos,3sin)PQ ，故3(2 4cos,2 sin)2M + + 3C 为直线 270xy=， M到3C 的距离5|4cos 3sin 13|5d = 从而当43cos ,sin55=时， d 取得最小值855（24）解： （） 4| 10| 6| 20|,0 30yx x x=+ （）依题意， x满足 4| 10| 6| 20| 70,030xxx+解不等式组，其解集为 9,23 所以 9,23x
