1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷） 数学（理工农医类） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） （ 1）已知集合 M=x| 30,V=S T (B) A0, V=S+T （ D） A 。 （ 1）讨论函数 ()f x 的单调性； （ 2）证明：若 5a。 (21)解： (1) ()f x 的定义域为 (0, )+ 。 211(1)(1)()axaxa xxafx xaxx+=+ = = 2 分 （ i）若 11a=即 2a = ,则 2(1)()xfxx= 故 ()f x 在 (0, )+ 单调增加。 (ii)若 11a ,故 12a 故 ()f x 在 (1,1)a 单调
2、减少，在 (0, 1),(1, )a + 单调增加。 (iii)若 11a,即 2a ,同理可得 ()f x 在 (1, 1)a 单调减少，在 (0,1),( 1, )a+单调增加 . (II)考虑函数 () ()gx fx x= + 21(1)ln2x ax a x x=+ + 则211() ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1 1)aagx x a x a axx = + = g 由于 1 ，即 g(x) 在 (4, + ) 单调增加，从而当120xx时有12() () 0gx gx，即1212() () 0fx fx x x+，故1212() ()1fx fxxx，当120 x x 12
3、分 请考生在第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明讲 已知 ABC 中， AB=AC, D 是 ABC 外接圆劣弧nullAC 上的点（不与点 A,C 重合） ，延长 BD 至 E。 （ 1） 求证： AD 的延长线平分 CDE； （ 2） 若 BAC=30， ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ，求ABC 外接圆的面积。 （ 22）解： （）如图，设 F 为 AD 延长线上一点 A， B， C， D 四点共圆， CDF=
4、ABC 又 AB=AC ABC=ACB, 且ADB=ACB, ADB=CDF, 对顶角EDF=ADB, 故EDF=CDF, 即 AD 的延长线平分CDE. （）设 O为外接圆圆心，连接 AO交 BC 于 H,则 AHBC. 连接 OC,A 由题意OAC=OCA=150, ACB=750, OCH=600. 设圆半径为 r,则 r+23r=2+ 3 ,a 得r=2,外接圆的面积为 4 。 （ 23） （本小题满分 10 分）选修 4 4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos（3 ） =1， M,N 分别为 C
5、 与 x 轴， y 轴的交点。 （ 1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标； （ 2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。 （23）解： （）由 得1)3cos( = 1)sin23cos21( =+ 从而 C 的直角坐标方程为 )2,332(3322)0,2(202312321NMyxyx，所以时，所以时，即=+=+（）M 点的直角坐标为（2，0） N 点的直角坐标为 )332,0( 所以 P 点的直角坐标为),6,332(),33.1(点的极坐标为则 P所以直线 OP的极坐标方程为 ),(, += （ 24） （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲
6、设函数 () | 1| | |f xx xa=+。 （ 1）若 1,a = 解不等式 () 3fx ； （ 2）如果 x R , () 2fx ,求 a 的取值范围。 （24）解： （）当 a= 1 时， f(x)=x1+x+1. 由f(x)3得 x1+x+1|3 x1 时，不等式化为 1x1x3 即2x3 不等式组1() 3xfx的解集为32，+), 综上得， () 3fx 的解集为33(,)22 +U 5 分 （）若 1, ( ) 2 | 1|afx x=，不满足题设条件 若 1, ( )afx=21,111,1 ,2(1),xa xxax axa+ + ， ()f x 的最小值为 1a 所 以 ,()2xRfx 的充要条件是| a -1| 2 ， 从 而 a 的取值范围为(,13,) +U
