1、绝密启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 参考公式： 样本数据12,nx xxL 的方差2211(),nniis xx x x= = 其中 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.若复数12429, 69zizi=+ =+，其中 i 是虚数单位，则复数12()zzi 的实部为 . 【答案】 20 【解析】略 2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30o， |2,| 3=ab ，则向量 a 和向量 b 的数量积=nullab . 【答案】 3 【解析】323 32= =nullab 。 3.函数32(
2、) 15 33 6fx x x x= +的单调减区间为 . 【答案】 (1,11) 【解析】2() 3 30 33 3( 11)( 1)fx x x x x = +， 由(11)(1)0x x+在闭区间 ,0 上的图象如图所示，则 = . 【答案】 3 【解析】32T = ，23T = ，所以 3= ， 5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m）分别为 2.5， 2.6， 2.7， 2.8， 2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 【答案】 0.2 【解析】略 6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1， 2， 3， 4， 5 的学生进行投篮
3、练习，每人投 10 次，投中的次数如下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = . 【答案】25【解析】略 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 W = . 【答案】 22 【解析】略 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1： 2，则它们的面积比为1： 4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 1： 2，则它们的体积比为 . 【答案】 1： 8 【解析】略 9.在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 在曲线3:103Cy x x= +上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的
4、斜率为 2，则点 P 的坐标为 . 【答案】 (2,15) 【解析】略 10.已知512a= ，函数 ()xf xa= ，若实数 ,mn满足 () ()f mfn ，则 ,mn的大开始 0S 1T 2STS10S 2TT +WST+输出W结束 Y N小关系为 . 【答案】 mn ，所以 c =4。 12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题： （ 1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ； （ 2）若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行； （ 3）设 和 相交于直线 l ，若 内有一条直线垂直于 l ，则 和 垂直； （ 4）直线 l 与 垂直的充
5、分必要条件是 l 与 内的两条直线垂直 . 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号） . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】略 13如图，在平面直角坐标系 xoy 中，1212,A ABB为椭圆22221( 0)xyabab+ =的四个顶点， F 为其右焦点，直线12A B 与直线1BF相交于点 T，线 段 OT 与椭圆的交点 M恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 27 5e = 【解析】用 ,abc表示交点 T，得出 M 坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率 . 14 设 na 是公比为 q 的等比数列， |1q ，令1( 1, 2, )nnba n=+
6、= L 若数列 nb 有连续四项在集合 53, 23,19,37,82 中，则 6q = . 【答案】 9 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减 1，观察即可得解 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤 . 15 （本小题满分 14 分） xyA1 B2 A2 O TM设向量 (4cos ,sin ), (sin ,4cos ), (cos , 4sin ) =ab （ 1）若 a 与 2bc垂直，求 tan( ) + 的值； （ 2）求 |+bc的最大值 ; （ 3）若 tan tan 16 = ，求证： a
7、 b . 【解析】由 a 与 2bc垂直， (2) 2 0 =ab c ab ac ， 即 4sin()8cos()0 + +=， tan( ) 2 + = ； (sin cos ,4cos 4sin ) += + bc 2|+bc 22sin 2sin cos cos =+ +2216cos 32cos sin 16sin + 17 30sin cos = 17 15sin 2= ， 最大值为 32，所以 |+bc的最大值为 42。 由 tan tan 16 = 得 sin sin 16cos cos = ， 即 4cos 4cos sin sin 0 =， 所以 a b . 16 （本小题
8、满分 14 分） 如图，在直三棱柱111ABC A B C 中， E,F 分别是11A B,AC的中点，点 D 在11BC 上，11A DBC 求证： （ 1） EF ABC平面 （ 2）111A FD BB C C平面 平面 【解析】证明： （ 1）因为 E,F 分别是11A B,AC 的中ABCA1 B1 C1 E F D点，所以 EF/BC，又 EF 面ABC ， BC 面ABC ，所以 EF ABC平面 ； （ 2 ）因为直三棱柱111ABC A B C ，所以111BBABC面 ，11BB A D ，又11A DBC ，所以111A DBC面B ，又11A DAFD面 ，所以1A F
9、D BB C C平面 平面 。 17 （本小题满分 14 分） 设 na 是公差不为零的等差数列，nS 为其前 n 项和，满足222223 4577aaaa,S+ =+ = （ 1）求数列 na 的通项公式及前 n 项和nS ； （ 2）试求所有的正整数 m ，使得12mmmaaa+为数列 na 中的项 . 解析： （ 1）设公差为 d ，则222225 43aaaa=， 由性质得43 433( ) ( )da a da a+=+， 因为 0d ， 所以430aa+ = ， 即1250ad+ = ， 又由77S = 得176772ad+=， 解得15a = ， 2d = 所以 na 的通项公式
10、为 27nan= ，前 n 项和26nSn n= 。 （ 2）12272523mmmaa ( m )( m )a(m)+=，令 23mt = ， 1242mmmaa (t )(t )at+ =86tt=+， 因为 t 是奇数，所以 t 可取的值为 1 ， 当 1t = ， 2m = 时，863tt+=， 257 3 =，是数列 na 中的项； 1t = ， 1m = 时，8615tt+=，数列 na 中的最小项是 5 ，不符合。 所以满足条件的正整数 2m = 。 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆221:( 3) ( 1) 4Cx y+ +=和圆 222:(
11、 4) ( 5) 4Cx y+= （ 1）若直线 l 过点 (4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为 23，求直线 l 的方程； （ 2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线12ll和 ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等， 试求所有满足条件的点 P 的坐标 . 【解析】 (1) 0y = 或7(4)24yx= ， (2)P 在以 C1C2的中垂线上，且与 C1、 C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点 P 坐标为313(,)22 或51(, )22 。 19.(本小题满分 16 分 ) 按照某
12、学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为mma+；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为nna+.如果一个人对两种交易 (卖出或买进 )的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12hh . 现假设甲生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、 B 的单价分别为Am 元和Bm 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙(1) 求 h甲和 h乙关于Am 、Bm 的表
13、达式；当35A Bmm= 时，求证： h甲= h乙； (2) 设35A Bmm= ，当Am 、Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3) 记 (2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取Am 、Bm 的值，使得0hh甲和xyO 11 . .0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 (4) 求 h甲和 h乙关于Am 、Bm 的表达式；当35A Bmm= 时，求证： h甲= h乙； (5) 设35A Bmm= ，当Am 、Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (6) 记 (2)中最大的综合满意度为0h ，试
14、问能否适当选取Am 、Bm 的值，使得0hh甲和0hh乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】 (1) =,=,12 5 3 20AB ABAB ABmm mmhhmm mm+ +乙甲( 3,12, 5, 20)ABmm 当35A Bmm= 时， 235=,35 ( 20)( 5)125BBBBBmmmhmm=+甲235=,320 ( 5)( 20)35BBBBBmmmhmm=+乙显然 =hh乙甲(2)当35A Bmm= 时， 2211=,20 5 1 1( 20)( 5)(1 )(1 ) 100( ) 25 1BBBBB B Bmhmmmm m m=+ +甲由1115,20 ,
15、20 5BBmm得 ， 故当1120Bm= 即 20, 12BAmm=时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为10520 (本小题满分 16 分 ) 设 a 为实数，函数2() 2 ( )| |f x x xaxa=+ . (1) 若 (0) 1f ，求 a 的取值范围； (2) 求 ()f x 的最小值； (3) 设函数 () (), (, )hx f x x a=+，直接写出(不需给出演算步骤 )不等式 () 1hx 的解集 . 【解析】 （ 1）若 (0) 1f ，则20|1 11aaa aa得2232 32()()033aaaaxxxa + 1）26(,)22a 时， (, )xa+ 2）22,22a 时，232,)3aax+ 3）62(,22a 时，2232 32(, , )33aaaaxa +U
