1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案 数学（文史类） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2log 2 的值为 【 D 】 A - 2 B. 2 C. 12 D. 122. 抛物线2y =-8x 的焦点坐标是 【 B 】 A（ 2， 0） B. （ - 2， 0） C. （ 4， 0） D. （ - 4， 0） 3设ns 是等差数列na 的前 n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于 【 C 】 A 13 B. 35 C. 49 D. 63 4如图 1 D， E， F 分别是 A
2、BC 的边 AB， BC， CA 的中点，则 【 A 】 A ADuuur+ BEuuur+ CFuuur=0 B BDCEDF+uuur uuur uuur=0 C ADCECF+uuur uuur uuur=0 D BDBEFCuuur uuur uuur=0 图 1 5某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A 14 B. 16 C. 20 D. 48 6平面六面体 ABCD - 1A 1B 1C1D 中，既与 AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为
3、【 C 】 A 3 B. 4 C.5 D. 6 7若函数 y=f(x)导函数在区间a,b是增函数，则函数 y=f(x)在区间a,b上的图象可能是（A） 8. 设函数 ()yfx= 在 (,) + 内有定义，对于给定的正数 K，定义函数 (), (),()()f xfx kkkfx=取函数 () 2xfx= 。当 K =12时，函数 ()kf x 的单调递增区间为 【 C】 A (,0) B (0, )+ C (,1) D (1, )+ 二 填空题：本大题共七小题，没小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 9 . 某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动， 10
4、人喜爱乒乓球运动， 8 人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 . 10. 若 0x ，则2xx+ 的最小值为 22. 11. 在4(1 )x+ 的展开式中， x 的系数为 6 (用数字作答 )。 12 . 一个总体分为 A.B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本。已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为 120 13. 过双曲线 C：22221xyab=(0,0)ab的一个焦点作圆222x ya+ = 的两条切线， 切点分别为 A.B，若 120AOB=o（ O 是坐标原点），则双曲线线 C 的离心率为 2 。 14
5、. 在锐角 ABC 中， 6bxlyB= 则cosACA的值等于 2 ， AC 的取值范围 为 (2,3)。 15. 如图 2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若ADxAByAC=+uuur uuuruur，则 312x =+ ,32y = 图 2 三 解答题：每小题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明 .证明过程或演算步骤。 16 （每小题满分 12 分） 以知向量 (sin ,cos 2sin ), (1, 2)ab = =。 （）若 a / b ，求 tan 的值； （）若 ,0 ,ab = 0， ()f x 在区间（ ，1x ）内为增函数； 当1x x2x 时， f （ x
6、 ） 0， ()f x 在区间（1x ，2x）内为减肥函数 当1x 2x 时， f （ x ） 0， ()f x 在区间（ +，2x）内为增函数 所以 ()f x 在 x =1x 处取极大值，在 x =1x 处取极小值 因此，当且仅当 12c 于是 ()gt的定义域为 (2, )+ 由 /2() 3 12 0ft t tc=+=得2312ct t= + 于是32 32() () 6 2 6 , (2, )gt f t t t ct t t t=+=+ 当 2t 时，/2() 6 12 6(2 ) 0,gt t t t t=+= 焦距为 2c，由题设条件知，28, ,abc= 所以 2214.2
7、ba= = 故椭圆 C 的方程式为22184xy+= （ 3） 椭圆 C 的左准线方程为 4,x = 所以点 P 的坐标 (4,0) ，显然直线 l 的斜率 k 存在，所以直线 l 的方程为 (4)ykx= + 。 如图，设点 M， N 的左边分别为11 2 2(, ),(, ),x yxy线段 MN 的中点 G00(, )x y ， 由22(4)184ykxxy= +=得 22 2 2(1 2 ) 16 32 8 0kx kx k+= 由22 2 2(16 ) 4(1 2 )(32 8) 0kkk= + 解得2222k 因为12,x x 是方程的两根，所以212 21612kxxk+=+，于
8、是 0x =122x x+=22812kk+，0024(4)12kykxk=+=+因为0x =22812kk+0，所以点 G 不可能在 y 轴的右边，有直线12FB ,1F1B 方程分 别为 2, 2,yx y x=+ =所以点 G 在正方形 Q内（包括边界）的充要条件为 000022yxyx+既22222248212 1248212 12kkkkkk + +亦即2222102210kkkk + 解得31 3122k，此时也成立 故直线 l 斜率的取值范围是 312 ,312) 21.（本小题满分 13 分） 对于数列 nu 若存在常数 M 0,对任意的 nN ，恒有 1121nnnnuuuu
9、 uuM+ + 则称数列 nu 为 B数列 (I) 首项为 1，公比为12 的等比数列是否为 B-数列？请说明理由 ; (II) 设 Sn是数列 xn的前 n 项和。给出下列两组判断： A 组：数列 xn是 B-数列。 数列 xn不是 B-数列。 数列 Sn是 B-数列。 数列 Sn不是 B-数列 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； ( )若数列 an是 B数列，证明：数列 a2n也是 B数列。 解（I）设满足题设的等比数列为 na ,则11()2nna= ，于是 12 211131() () *(), 22222nn nnn
10、aa n = = 1na+- na +na -1na+2a -1a =2n311 11222 2+ +L-1（） （） =3n112（） 3 所以首项为 1，公比为12 的等比数列是 B-数列 （）命题 1：若数列nx 是 B-数列，则数列ns 是 B-数列 此命题为假命题 事实上设nx =1，n N，易知数列nx 是 B-数列，但ns =n， 1ns+- ns +ns -1ns+2s -1s =n 由 n 有的任意性知，数列ns 不是 B-数列。 命题 2：若数列ns 是 B-数列，则数列nx 不是 B-数列。 此命题为真命题。事实上，因为数列ns 是 B-数列，所以存在正数 M，对任意的
11、n N，有 1ns+- ns +ns -1ns+2s -1s M 12. ,nnxx xM+既于是 1121.nnnnx xxx xx+ + 112112 2 . 2 2 2nnnx xx xxMx+ + 所以数列 nx 是 B数列。 （注：按题中要求组成其它命题解答时，阐述解法） 若数列 na 是 B数列，则存在正数 M，对任意的 ,nN 有 1121.nnnnaaaa aaM+ + 因为112 211.nnnnnaaaaa aaa= + + + 112 211 1.nn n naa a a aa a Ma + + 1KMa=+，则有22111()()nn nnnnaa aaaa+= + 11 1() 2n nnn nnaaaaKaa+ + + 因此 2 2 22 221121. 2nnnna a aa aa KM+ + 故数列 2na 是 B数列
