1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学（理工农医类） 一 . 选择题：本小题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 函数 () sin cosf xxx= 最小值是 A -1 B. 12 C. 12D.1 1 【答案】 ： B 解析 1() sin22f xx= min1()2fx = .故选 B 2.已知全集 U=R，集合2| 2 0Axx x=，则UA 等于 A x 0 x2 B x 0 2 D x x0 或 x2 2 【答案】 ： A 解析 计算可得0Axx= 02CuA x x= .故选 A 3.等差数
2、列 na 的前 n 项和为nS ，且3S =6，1a =4， 则公差 d 等于 A 1 B 53C.- 2 D 3 3 【答案】 ： C 解析 31336( )2Saa= + 且31 12 =4 d=2aa da= +.故选 C 4. 22(1 cos )x dx+等于 A B. 2 C. -2 D. +2 4 【答案】 ： D 解析 2sin ( sin ) sin( ) 2222 22xxxx =+ = + + =+原式 .故选 D 5.下列函数 ()f x 中，满足“对任意1x ，2x （ 0， +） ，当1x 2()f x 的是 A ()f x =1xB. ()f x =2(1)x C
3、 . ()f x =xe D () ln( 1)fx x=+ 5 【答案】 ： A 解析 依题意可得函数应在 (0, )x+上单调递减，故由选项可得 A 正确。 6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A 2 B .4 C. 8 D .16 6 【答案】 ： C 解析 由算法程序图可知， 在 n =4 前均执行 ”否 ”命令， 故 n=24=8. 故选 C 7.设 m， n 是平面 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面 内的两条相交直线，则 / 的一个充分而不必要条件是 A.m / 且 l / B. m / l 且 n / l2C. m / 且 n / D. m / 且 n
4、 / l27 【答案】 ： B 解析 若12 12/ , / , . , .mlnlmn ，则可得 / . 若 / 则存在12 2 1,/,/mlnl 8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%。 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1， 2， 3， 4表示命中， 5， 6， ， 7， 8， 9， 0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556
5、488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A 0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15 8 【答案】 ： B 解析 由随机数可估算出每次投篮命中的概率24 260 5p = 则三次投篮命中两次为223(1 )CP P0.25 故选 B 9.设 a， b， c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线， ac a=c,则b c的值一定等于 A 以 a， b 为两边的三角形面积 B 以 b， c 为两边的三角形面积 C以 a， b 为邻边的平行四边形的面积 D 以 b， c 为邻边的平行四边形的面积 9 【答案】
6、 ： C 解析 依题意可得 cos(,) sin(,)bc b c bc b a ac S= = =rr r r rr r r rrnull 故选 C. 10.函数 () ( 0)f x ax bx c a=+ 的图象关于直线2bxa= 对称。据此可推测，对任意的非零实数 a， b， c， m， n， p，关于 x 的方程 2() () 0mfx nfx p+ +=的解集都不可能是 A. 1, 2 B 1, 4 C 1, 2, 3, 4 D 1, 4,16, 64 10. 【答案】 ： D 解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程2() () 0mf x nf x P+ +=中 ,mn p分别赋
7、值求出 ()f x 代入 () 0fx= 求出检验即得 . 第二卷 （非选择题共100分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.若21abii=+（ i 为虚数单位， ,ab R ）则 ab+ =_ 11. 【答案】 ： 2 解析：由22(1)11(iabi iii+=+ =+，所以 1, 1,ab= = 故 2ab+ = 。 12某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛， 9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为 91，复核员在复核时，发现有一个数字 （茎叶图中的 x） 无
8、法看清。 若记分员计算失误， 则数字 x 应该是 _ 12. 【答案】 ： 1 解析：观察茎叶图， 可知有88 89 89 92 93 90 92 91 9491 19xx+=。 13.过抛物线22( 0)ypxp=的焦点 F 作倾斜角为 45o的直线交抛物线于 A、 B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p =_ 13. 【答案】 ： 2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为2pyx= ，联立有22223042ypxpxpxpyx = + =，又222(1 1 ) (3 ) 4 8 24pAB p p= +=。 14.若曲线3() lnf xax x=+存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a
9、取值范围是 _. 14. 【答案】 ： (,0) 解析：由题意可知21() 2fx axx=+，又因为存在垂直于 y 轴的切线， 所以231120 (0)(,0)2ax a x axx+= 。 15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定： 第一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； 若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第 100 个数时，甲同学拍手的总次数为_. 15. 【答案】 ： 5 解析：由题意可设第 n 次报数，第 1n+ 次报数，第 2n+ 次报数分别为n
10、a ，1na+，2na+，所以有12nn naa a+=，又121, 1,aa=由此可得在报到第 100 个数时，甲同学拍手 5 次。 三解答题 16.（ 13 分） 从集合 1, 2, 3, 4, 5 的所有非空子集中，等可能地取出一个。 （ 1） 记性质 r：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率； （ 2） 记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望 E 16、解： （ 1）记 ”所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A 基本事件总数 n=12355 5CCC+4555CC+ =31 事件 A 包含的基本事件是1,4,5、2，3，5、1，2，3
11、，4 事件 A 包含的基本事件数 m=3 所以3()31mpAn= （II）依题意， 的所有可能取值为 1，2，3，4，5 又155(1)31 31Cp = = ， 2510(2)31 31Cp = =， 3510(3)31 31Cp = = 455(4)31 31Cp = =， 551(5)31 31Cp = = 故 的分布列为： 1 2 3 4 5 P 53110311031531131从而 E 1 =531+21031 +31031 +4531 +518031 31= 17（ 13 分） 如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD ABCD平面 ， NB ABCD平面 ，且
12、MD=NB=1， E 为 BC 的中点 （ 1） 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 （ 2） 在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由 17.解析： （ 1）在如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标 Dxyz 依题意，得1(0,0,0) (1,0,0) (0,0,1), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1), ( ,1,0)2DAM C BNE 。 1( , 0, 1), ( 1, 0,1)2NE AM = =uuuv uuuuv10cos ,10| |NE AMNE AMNE AM0, 0) x0,4的
13、图象，且图象的最高点为 S(3， 2 3 )；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛 运动员的安全，限定 MNP=120o（ I）求 A , 的值和 M， P 两点间的距离； （ II）应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？ 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一 （）依题意，有 23A = ， 34T= ，又2T= ，6 = 。 23sin6yx= 当 4x = 是，223sin 33y= = (4,3)M 又 (8, 3)p 2243 5MP=+= （）在M
14、NP 中 MNP=120， MP=5， 设 PMN= ，则 0 0）与 x 轴 的左、右两个交点，直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直， S 为 l 上 异于点 B 的一点，连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧nullAB 的三等分点，试求出点 S的坐标； （ II）如图，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在 a ,使得 O,M,S 三点共线？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由。 19.【解析】 解法一： ( )当曲线 C 为半圆时， 1,a = 如图，由点 T 为圆弧nullAB 的三等分点得 BOT=60或 1
15、20 . (1)当 BOT=60时 , SAE=30 . 又 AB=2,故在 SAE 中 ,有 tan 30 , ( , );SB AB s t2 323= = 3 3(2)当 BOT=120时 ,同理可求得点 S 的坐标为 (1, 2 3 ) ,综上 , 23(1, )3S 或S(1,2 3) ( )假设存在 (0)aa ,使得 O,M,S 三点共线 . 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上 ,故 BT OS . 显然 ,直线 AS 的斜率 k 存在且 k0,可设直线 AS 的方程为 ()ykxa= + . 由2222 2 22 42 221(1 ) 2 0()xyak x akx ak a
16、aykxa+=+ +=+得 设点22 222(, ), ( ) ,1TT Tak aTx y x aak=+故22221Taakxak=+,从而222()1TTakykxaak=+=+. 亦即2222 222(,).11aak akTak ak+2222 22(,0), ( , )11ak akBa BTak ak=+uuurQ 由()xaykxa=+得 (,2 ), (,2 ).s aak OS aak=uuur由 BTOS ,可得22 22224012ak akBT OSak+= =+uuuruuur即22 22240ak ak += 0, 0, 2ka a=Q 经检验 ,当 2a = 时
17、 ,O,M,S 三点共线 . 故存在 2a = ,使得 O,M,S 三点共线 . 解法二 : ( )同解法一 . ( )假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线 . 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上 ,故 SM BT . 显然 ,直线 AS 的斜率 k 存在且 K0,可设直线 AS 的方程为 ()ykxa= + 由2222 2 22 22 221(1 ) 2 0()xyab x ak x ak aaykxa+=+ +=+得 设点 (, )TTTx y ,则有42 222() .1Tak axaak =+故22 2222 22 22 22,() ( ).111TTTaak ak aak ak
18、xykxaTaak ak ak ak= +从而 亦即 221(,0), ,TBT SMTyBa k k akxa ak= = =Q 故 由()xaykxa=+得S(a,2ak),所直线 SM 的方程为22()yakakxa = O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上 ,即22()ak a k a= . 0, 0, 2aK a=Q 故存在 2a = ,使得 O,M,S 三点共线 . 20、 （本小题满分 14 分） 已知函数321()3f x x ax bx=+,且 ( 1) 0f = (1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 ()f x 的单调区间； （ 2）令 1a = ,设函
19、数 ()f x 在121 2,( )x xx x1 时 , 1 2 1a 恒成立，且仅在 1x = 处 ( ) 0fx= ，故函数()f x 的单调增区间为 R 当 1a 同理可得，函数 ()f x 的单调增区间为 (,1) 和 (1 2 , )a+，单调减区间为 (1,1 2)a 综上： 当 1a 时， 函数 ()f x 的单调增区间为 (,12)a 和 (1, ) + ， 单调减区间为 (1 2 , 1)a； 当 1a = 时，函数 ()f x 的单调增区间为 R； 当 1a .2(2) ( 2) 0gm= +（ ）即1521,251mmm mm或解得 又因为 13m解得 又 0,x x解得 又110,0;22xxQ 当11,222xx 综上 ,原不等式的解集为 |0 2.xx
