1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（文史类） 一、选择题：本大题12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 M=x|-3x 5,N=x|x-5 或x5，则M UN= (A) x|x-5或x-3 (B) x|-5x5 (C) x|-3x5 (D) x|x-3 或 x5 （2）已知复数 12zi= ，那么1z= （A）52555i+ （B）52555i （C）1255i+ （D）1255i (3)已知 na 为等差数列，且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d= （A）-2 （B）-12（C）12（D）2 （4）平面向
2、量 a 与b 的夹角为060 ，a=(2,0), | b |=1，则 | a+2b |= （A） 3 （B）2 3 （C）4 （D）12 （5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬060 纬线长和赤道长的比值为 （A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25 （6）已知函数 ()f x 满足：x 4,则 ()f x =1()2x；当 x4 时 ()f x = (1)fx+ ，则2(2 log 3)f + = （A）124（B）112（C）18（D）38(7) 已知圆C 与直线x-y=0 及 x-y -4=0 都相切，圆心在直线 x+y=0 上，则圆C 的方程为 （A）22(1)(
3、1)2xy+= (B) 22(1)(1)2xy += (C) 22(1)(1)2xy+= (D) 22(1)(1)2xy+ += （8）已知 tan 2 = ，则22sin sin cos 2cos += （A）43 （B）54（C）34 （D）45（9）ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 （A）4（B） 14 （C）8（D） 18 （10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据1a ，2a ，。Na ，其中收入记为 正数，支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V
4、，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 （A）A0,V=S-T (B) A0, V=S+T （D）A 3121p: (0, ),() log2xx x + 41311:(0,),()log32xp xx 的图象如图所示，则 = （15）若函数2()1x afxx+=+在 1x = 处取极值，则 a = （16）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m）。 则该几何体的体积为 3m 三解答题：本大题共6 小题，共70 分。解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分） 等比数列na 的前n 项和为ns ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列
5、（）求na 的公比q； （）求1a -3a =3，求ns （18）（本小题满分12分） 如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和D点的仰角分别为075 ，030 ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为060 ，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求 B，D的距离（计算结果精确到 0.01km， 2 1.414， 6 2.449） （19）（本小题满分12分） 如图，已知两个正方形 ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为 AB，DF 的中点。 （）若 CD=2，
6、平面 ABCD 平面 DCEF，求直线 MN的长； （）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 （20）（本小题满分 12分） 某企业有两个分厂生产某种零件， 按规定内径尺寸 （单位： mm） 的值落在29.94， 30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中各抽出 500 件，量其内径尺寸，的结果如下表： 甲厂： 乙厂： （1） 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率； （2） 由以上统计数据填下面 22 列联表，并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。 甲 厂 乙 厂 合计 优质品 非优质品 合计 附：222 11 22 12 2112 12()
7、( ) 0.05 0.01,3.841nnn nn px kxnnnn k+ =6.635（21）（本小题满分 12分） 设2() ( 1)xfx eax x=+，且曲线 ()y fx= 在 1x= 处的切线与 x轴平行。 （）求 a的值，并讨论 ()f x 的单调性； （）证明：当 0, 2 时， |(cos) (sin)|2ff 所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。 12 分 （21）解： （）2( ) ( 1 2 1)xfx eax x ax=+.由条件知， (1) 0f = ，故 32 0 1aaa+ =. 2 分 于是2( ) ( 2) ( 2)( 1)xxf
8、x e x x ex x=+= + +. 故当 (,2)(1,)x +U 时， ( )f x 0； 当 (2,1)x 时， ( )f x 0. 从而 ()f x 在 (,2) ， (1, )+ 单调减少，在 (2,1) 单调增加. 6分 （）由（）知 ()f x 在 0,1单调增加，故 ()f x 在 0,1的最大值为 (1)f e= ，最小值为(0) 1f = . 从而对任意1x ，2x 0,1 ，有12() () 12fx fx e . 10 分 而当 0, 2 时， cos ,sin 0,1. 从而 (cos ) (sin ) 2ff 12 分 (22)解： （）由题意，c=1,可设椭圆
9、方程为2222114xybb+ =+。 因为 A 在椭圆上，所以2219114bb+ =+，解得2b =3，2b 34 （舍去）。 所以椭圆方程为 22143xy+= 4分 （）设直线方程：得3(1)2ykx=+，代入22143xy+ = 得 22 233+4 +4 (3 2 ) 4( ) 12 02kx k kx k+=（） 设（Ex ，Ey ），（Fx ，Fy ）因为点（1，32）在椭圆上，所以 2234( ) 12234Ekxk=+， 32EEykx k=+。 8分 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 k 代 k ，可得 2234( ) 12234Fkxk+=+， 32FFykx k= + + 。 所以直线 EF的斜率()212FE FEEFFE FEyy kxx kkxx xx += =。 即直线 EF 的斜率为定值，其值为12。 12 分
