1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（理工农医类） 一 - 选择题（每小题 5 分，共 60 分） （ 1）已知集合 M=x|-30,V=S-T (B) A0, V=S+T （ D） A （）讨论函数 ()f x 的单调性； （）证明：若 5a 。 请考生在第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 已知 ABC 中， AB=AC, D 是 ABC 外接圆劣弧nullAC 上的点（不与点 A,C 重合） ，
2、延长 BD 至 E。 （）求证： AD 的延长线平分 CDE； （）若 BAC=30， ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ，求 ABC 外接圆的面积。 （ 23） （本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos（3 ） =1， M,N 分别为 C 与 x 轴， y 轴的交点。 （）写出 C 的直角坐标方程，并求 M， N 的极坐标； （）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。 （ 24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 () | 1
3、| | |f xx xa=+。 （）若 1,a = 解不等式 () 3fx ； （）如果 x R , () 2fx ,求 a 的取值范围。 参考答案 (1) B (2) D (3) B (4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A (10) C (11)C (12)C (13)1013 (14) 13(15) 4 (16)9 (17)解 : 在 ABC 中， DAC=30 , ADC=60 DAC=30 , 所以 CD=AC=0.1 又 BCD=180 60 60 =60， 故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， 5 分 在 ABC 中，sin sin
4、AB ACBCA ABC=即sin 60 3 2 6,sin15 20ACAB+=oo因此， 32 60.3320BD km+=。 故 B， D 的距离约为 0.33km。 12分 （ 18） （ I）解法一： 取 CD 的中点 G，连接 MG， NG。 设正方形 ABCD， DCEF 的边长为 2， 则 MG CD， MG=2， NG= 2 因为平面 ABCD平面 DCED， 所以 MG平面 DCEF， 可得 MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。 因为 MN= 6 ，所以6sin3NMG=为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值 6 分 解法二： 设正方形 ABCD， DCEF
5、的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC， DF， DA 为 x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图 . 则 M（ 1,0,2） ,N(0,1,0),可得 MNuuuur=(-1,1,2). 又 DAuuur=（ 0， 0， 2）为平面 DCEF 的法向量， 可得6cos ,3|MN DAMN DAMN DA=uuuur uuuruuuur uuuruuuur uuur 所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为 6|cos , |3MN DA =uuuur uuur 6 分 （）假设直线 ME 与 BN 共面， 8分 则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCE
6、F 交于 EN 由已知，两正方形不共面，故 AB平面 DCEF。 又 AB/CD，所以 AB/平面 DCEF。而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线， 所以 AB/EN。 又 AB/CD/EF， 所以 EN/EF，这与 EN EF=E 矛盾，故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线 . 12分 （ 19）解： （）依题意知1(4,)3XB ， 即 X 的分列为 X 0 1 2 3 4 P 1681328124818811816 分 （）设iA 表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分” ， i=1， 2. iB 表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分
7、” ， i=1， 2. 依题意知11 2 2( ) ( ) 0.1, ( ) ( ) 0.3PA PB PA PB= =， 11 11 11 22A AB AB AB AB= UUU , 所求的概率为 11 11 11 22() ( ) ( ) ( )PA PAB PAB PAB PAB=+（） =11 11 11 2 2()() ()() )() ()()PA PB PA PB PA PB PA PB+（ =0.1 0.9 0.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.3 0.28+= 12分 （ 20）解： （）由题意， c=1,可设椭圆方程为222211xybb+ =+， 因为 A在椭圆上
8、，所以2219114bb+=+，解得23b = ，234b = （舍去） 所以椭圆方程为22143xy+=。 4 分 （）设直线 AE 方程为：3(1)2ykx=+，代入22143xy+ = 得 22 23(3 4 ) 4 (3 2 ) 4( ) 12 02kx k kx k+= 设 (x ,y )EEE , (x ,y )FFF ,因为点3(1, )2A 在椭圆上，所以 2234( ) 12234Ekxk=+32EEykx k=+ 8分 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 k 代 k ，可得 2234( ) 12234Fkxk+=+32FFykx k= + + 所以直
9、线 EF 的斜率()212FE FEEFFE FEyy kxx kkxx xx+= = 即直线 EF 的斜率为定值，其值为12。 12分 (21)解： (1) ()f x 的定义域为 (0, )+ 。 211(1)(1)()axaxa xxafx xaxx+=+ = = 2分 （）若 11a=即 2a = ,则 2(1)()xfxx= 故 ()f x 在 (0, )+ 单调增加。 （）若 11a ,故 12a 故 ()f x 在 (1,1)a 单调减少，在 (0, 1),(1, )a + 单调增加。 （）若 11a,即 2a ,同理可得 ()f x 在 (1, 1)a 单调减少，在 (0,1)
10、,( 1, )a+单调增加 . （）考虑函数 () ()gx f x x=+ 21(1)ln2x ax a x x=+ + 则211() ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1 1)aagx x a x a axx = + = g 由于 1 ，即 ()gx在 (0, + )单调增加，从而当120xx时有12() () 0gx gx，即1212() () 0fx fx x x+，故1212() ()1fx fxxx，当120 x x 12 分 （ 22）解： （）如图，设 F 为 AD 延长线上一点 A， B， C， D 四点共圆， CDF=ABC 又 AB=AC ABC=ACB, 且ADB=ACB
11、, ADB=CDF, 对顶角EDF=ADB, 故EDF=CDF, 即 AD 的延长线平分CDE. （）设 O为外接圆圆心，连接 AO交 BC 于 H,则 AHBC. 连接 OC,A 由题意OAC=OCA=150, ACB=750, OCH=600. 设圆半径为 r ,则3232rr+=+得 2r = ,外接圆的面积为 4 。 （23）解： （）由 cos( ) 13=得 13(cos sin)122 += 从而 C 的直角坐标方程为 13122x y+= 即 32xy+= 02 (2,0)23 23(,)23 32MN =时， ，所以时， ，所以5 分 （）M 点的直角坐标为（2，0） N 点
12、的直角坐标为)332,0(所以 P 点的直角坐标为3(1, ),3则 P 点的极坐标为23(,),36所以直线 OP的极坐标方程为 ,(,)= + （24）解： （）当 1a = 时， () | 1| | 1|fx x x=+ 由 ()f x 3 得 |1|1|xx+3 （）x-1时，不等式化为 1-x-1-x3 即-2x3 不等式组1() 3xfx的解集为3, )2+ 综上得， () 3fx 的解集为33(, ,)22 +U 5 分 （）若 1, ( ) 2 | 1 |afx x=，不满足题设条件 若21,1, ( ) 1 , 12(1),1x axaafx aaxxa x+ =+ ()f x 的最小值为 1a 所以 ,() 2xRfx 的充要条件是 |1|2a ，从而 a 的取值范围为(,13,) +U 10 分
