1、2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 本试卷满分150 分，考试时间120分钟 第卷 考生注意： 1答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件 AB， 互斥，那么
2、 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 AB， 相互独立，那么 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 () (1 ) ( 01,2 )kk nknnPk CP P k n=L， 以 R为半径的球体积：343VR= 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。 1直线 1y x=+与圆221xy+=的位置关系为（ ） A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离 2已知复数 z 的实部为 1 ，虚
3、部为 2，则5iz=（ ） A 2 i B 2 i+ C 2 i D 2 i + 3282()xx+ 的展开式中4x 的系数是（ ） A16 B70 C560 D120 4已知 1, 6, ( ) 2= =nullababa，则向量 a与向量 b的夹角是（ ） A6B4C3D25不等式231 3x xaa+ 对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围为（ ） A (,14,) +U B (,25,) +U C 1, 2 D (,12,)+U 6锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个
4、的概率为（ ） A891B2591C4891D60917设 ABC 的三个内角 ,A BC，向量 ( 3sin ,sin )A B=m ， (cos , 3cos )B A=n ，若1cos( )A B=+ +nullmn ，则 C=（ ） A6B3C23D568已知22lim( ) 21xxax bx=+，其中 ,ab R ，则 ab 的值为（ ） A 6 B 2 C 2 D6 9已知二面角 l 的大小为050 ， P为空间中任意一点，则过点 P且与平面 和平面 所成的角都是025 的直线的条数为（ ） A2 B3 C4 D5 10已知以 4T = 为周期的函数21,(1,()12,(1,3
5、mxxfxxx= ，其中 0m 。若方程3()f xx= 恰有 5 个实数解，则 m的取值范围为（ ） A15 8(,)33B15(,7)3C48(,)33D4(,7)3二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5分，共25 分把答案写在答题卡相应位置上 11若 3AxRx= ，则 AB=I 12若1()21xf xa=+是奇函数，则 a = 13将4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答） 14设12a = ，121nnaa+=+，21nnnaba+=，*nN ，则数列 nb 的通项公式nb = . 15已知双曲线22221( 0, 0)xya
6、bab=的左、右焦点分别为12(,0),(,0)Fc Fc ，若双曲线上存在一点 P使1221sinsinPFF aPF F c= ，则该双曲线的离心率的取值范围是 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分 ） 设函数2() sin( ) 2cos 146 8f xx x = + （）求 ()f x 的最小正周期 （）若函数 ()y gx= 与 ()y fx= 的图像关于直线 1x = 对称，求当40, 3x 时()ygx= 的最大值 17 （本小题满分 13 分， （）问 7分， （）
7、问6 分） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中： （）两种大树各成活 1 株的概率； （）成活的株数 的分布列与期望 18 （本小题满分 13 分， （）问 5分， （）问8 分） 设函数2() ( 0)f x ax bx k k=+在 0x = 处取得极值， 且曲线 ()y fx= 在点 (1, (1)f处的切线垂直于直线 210xy+= （）求 ,ab的值； （）若函数 ()()xegxf x= ，讨论 ()gx的单调性 19 （本小题满分 12 分， （）问 5分， （）问7 分）
8、 如题（19）图，在四棱锥 SABCD 中， ADBCnull 且 AD CD ；平面 CSD 平面ABCD， ,22CS DS CS AD=； E为 BS 的中点， 2, 3CE AS=求： （）点 A到平面 BCS 的距离； （）二面角 E CD A的大小 20 （本小题满分 12 分， （）问 5分， （）问7 分） 已知以原点 O为中心的椭圆的一条准线方程为433y = ，离心率32e= ， M 是椭圆上的动点 （）若 ,CD的坐标分别是 (0, 3),(0, 3) ，求 MCMDnull 的最大值； （）如题（20）图，点 A的坐标为 (1, 0) ， B是圆221xy+ = 上的点
9、， N 是点 M 在x轴上的射影，点 Q满足条件： OQ OM ON=+uuur uuuuruur， 0QA BA=uuuruuurnull 求线段 QB 的中点 P的轨迹方程； 21 （本小题满分 12 分， （）问 5分， （）问7 分） 设 m个不全相等的正数12,( 7)maa a mL 依次围成一个圆圈 （）若 2009m= ，且1 2 1005,aa aL 是公差为 d 的等差数列，而1 2009 2008 1006,aa a aL 是公比为 qd= 的等比数列；数列12,maa aL 的前 n 项和()nSnm 满足：3 2009 2007 115, 12SSS a=+，求通项
10、()nan m ； （）若每个数 ()nan m 是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：22167 12. . .mmaaaamaa+ + ； 绝密启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题（理工农医类）答案 一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分 (1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C (7) C (8) D (9) B (10) B 二填空题：每小题 5分，满分 25分 (11) (0,3) (12) 12(13) 36 (14) 12n+(15) (1, 21+ ) 三解答题：满分 75 分 (16)（本小题 13 分） 解：
11、 （） ()f x =sin cos cos sin cos46464x xx =33sin cos2424x x = 3sin( )43x 故 ()f x 的最小正周期为 T = 24=8 ()解法一： 在 ()ygx= 的图象上任取一点 (, ()x gx ，它关于 1x= 的对称点 (2 , ( )x gx . 由题设条件，点 (2 , ( )x gx 在 ()yfx= 的图象上，从而 () (2 ) 3sin (2 ) 43gx f x x = = 3sin 24 3x = 3cos( )43x + 当304x时，234 3 3x +，因此 ()y gx= 在区间40, 3上的最大值为
12、 max33cos32g= 解法二： 因区间40, 3关于 x = 1的对称区间为2,23， 且 ()ygx= 与 ()yfx= 的图象关于 x = 1对称， 故 ()y gx= 在40, 3上的最大值为 ()y fx= 在2,23上的最大值 由（）知 ()f x 3sin( )43x 当223x时，6436 因此 ()y gx= 在40, 3上的最大值为 max33sin62g= (17)（本小题 13 分） 解：设kA 表示甲种大树成活 k 株，k0，1，2 lB 表示乙种大树成活 l 株，l0，1，2 则kA ，lB 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221() ()()3
13、3kk kkPA C= , 2211( ) ()()22ll llPB C= . 据此算得 01()9PA = , 14()9PA = , 24()9PA = . 01()4PB = , 11()2PB = , 21()4PB = . () 所求概率为 21 1 141 2()()()92 9PA B PA PB = . () 解法一： 的所有可能值为 0，1，2，3，4，且 00 0 011 1(0)( )()()94 36PPABPAPB = = = , 01 101141 1(1) ( )( )9294 6PPABPAB = = + =+= , 02 11 20114141(2)( )(
14、 )( )949294PPABPABPAB = = + + =+ =1336, 12 214141 1(3)( )( )94923PPABPAB = =+=+= . 2241 1(4)( )949PPAB = = . 综上知 有分布列 0 1 2 3 4 P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9 从而， 的期望为 1113110123436 6 36 3 9E = + + 73= （株） 解法二： 分布列的求法同上 令12 ， 分别表示甲乙两种树成活的株数，则 12:21B(2, )， B(2, )32故有121EE=24 1=2 = ， 233 2从而知1273EEE=+= 18、
15、（本小题13 分） 解： （）因2() ( 0), () 2f xaxbxkk fx axb= + = +故 又 ()f x 在 x=0 处取得极限值，故 () 0,fx = 从而 0b= 由曲线 y= ()f x 在（1，f（1） ）处的切线与直线 210xy +=相互垂直可知 该切线斜率为 2，即 (1) 2,f = 有2a=2,从而a=1 （）由（）知，2() ( 0)xegx kxk=+222(2)() ( 0)()xex xkgx kxk+ =+令 () 0gx = ，有220(0)xxkk+= （1）当 44 0k= 时， () 0gx 在 R 上恒成立，故函数 ()gx在R上位增
16、函数 （2）当 44 0k= = ，即当 1k = 时，有222(1)() 0( 1)(1)xexgx xx = +，从而当 1k =时， ()gx在 R 上为增函数 （3）当 44 0k= ，即当 01k ，故 ()gx在 ,1 1 )k （ 上为增函数； 当 11,11x kk + （）时， () 0,gx 故 () 1 1gx k+ 在（ ，+ ） 上为增函数 （19） （本小题 12 分） 解法一： （） 因为 AD/BC,且 ,BCBCS平面 所以 / ,ADBCS平面 从而 A 点到平面 BCS 的距离等于 D 点到平面 BCS 的距离。 因为平面 ,CSD ABCD AD CD平
17、面 ， 故 AD CSD平面 ,从而 AD SD ，由AD/BC，得 BCDS ,又由 CS DS 知 DS BCS平面 ，从而 DS 为点 A 到平面BCS 的距离，因此在 RtADS 中，2231 2DS AS AD= （）如答（19）图 1，过 E点作 ,EGCD 交 CD于点 G ，又过 G 点作 GH CD ,交 AB于 H ，故 EGH 为二面角 E CD A 的平面角，记为 ，过 E点作EF/BC,交 CS于 点 F, 连 结 GF, 因 平 面 ,ABCD CSD GH CD GH GF 平面 易知 ,故2EGF = . 由于 E 为BS边中点，故112CF CS= = ,在
18、RtCFE 中， 22211EF CE CF=,因 EF CSD平面 ，又EGCD ，故由三垂线定理的逆定理得 FGCD ,从而又可得 ,CGF CSD: 因此GF CFDS CD= ，而在 RtCSD 中， 2242 6,CD CS SD=+=+= 故11263CFGF DSCD= 在 Rt FEG 中， tan 3EFEGFFG=，可得3EGF = ，故所求二面角的大小为6 = 解法二： （）如答（19）图2，以 S(O)为坐标原点，射线 OD,OC 分别为 x 轴，y轴正向，建立空间坐标系，设 (,)AAAAx y z ，因平面 ,COD ABCD AD CD 平面 ，故AD COD平面
19、 ，即点 A 在 xOz平面上，因此 01AAyzAD= =uuuv， 又22213,0AAxASx+= = uuv解得 2Ax = 从而 201A（， ， ） 因 AD/BC，故 BC平面 CSD，即平面 BCS 与平面 yOz 重合，从而点 A 到平面 BCS 的距离为2Ax = . ()易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E 为BS 的中点. BCS 为直角三角形 , 知 222BS CE=uuv uuv设 (0,2, ), 0BBBZZ ，则AZ 2，故B（0，2，2） ，所以E（0，1，1） 在CD上取点G，设G（11,0x y ） ，使GECD . 由11(2,2,0), (
20、 , 1,1), 0CD GE x y CD GE= =+ =uuuvuuvuuvuuuv故 1122(1)0xy= 又点 G 在直线 CD 上，即 /CG CDuuuvuuv，由 CGuuuv=（11,2,0xy ） ，则有11222xy= 联立、，解得 G24(,0)33, 故 GEuuuv=22(,1)33. 又由 ADCD，所以二面角 ECDA的平面角为向量 GEuuuv与向量 DAuuuv所成的角，记此角为 . 因为 GEuuuv=233， (0,0,1), 1, 1DA DA GE DA=uuuvuuvuuvuuv, 所以 3cos2GE DAGE DA=uuuvuuvuuuvuu
21、v故所求的二面角的大小为 6. (20)（本小题 12 分） 解： （）由题设条件知焦点在 y 轴上，故设椭圆方程为22221xyab+ = （a b 0 ）. 设22cab=，由准线方程433y = 得2433ac= ，由32e= 得32ca= ， 解得 2, 3ac=，从而 b = 1，椭圆的方程为2214yx + = 又易知 C，D两点是椭圆2214yx +=的焦点，所以, 24MC MD a+ = 从而22()242MC MDMC MD+ =，当且仅当 MCMD= ，即点 M 的坐标为(1,0) 时上式取等号， MCMD 的最大值为 4 . （II）如图（20）图，设 M( , ),
22、( , )mm BBx yBxy (,)QQQx y .因为 (,0),NN x OM ON OQ+=uuuur uuur uuur，故 2, ,QNQMx xy y= 22 2(2 ) 4yQQ Mxyxy+= += 因为 0,QA BA=uuuruur(1 ) (1 )(1 )(1 ) 0,QQ NnQNQNxy xyxxyy = + =所以 1QN QN N Qxx yy x x+=+. 记 P 点的坐标为 (,)P Px y ，因为 P 是BQ 的中点 所以 2,2P QPP QPx xxyyy= +=+ 由因为 221NNxy+=，结合，得 22 2 21( ) ( ) )4PP Q
23、N QNxy xx yy+= + + + 22 221(2()4QNQn QNQNx xyy xxyy=+ + 1(5 2( 1)4QNxx=+ 34Px=+ 故动点 P 的轨迹方程为 221() 12xy+= （21） （本小题 12 分） 解： （I）因1 2009 2008 1006,aa a a 是公比为 d的等比数列，从而22000 1 2008 1,aadaad= 由 2009 2008 1 2008 2009 112 12SS aaa a=+ +=得 ，故 211 112ad ad a+= ，即212dd+= 解得 3d = 或 4d = （舍去） 。因此 3d = 又 3133
24、15Sad=+=，解得12a = 从而当 1005n 时， 1(1) 23(1)31naand n n=+ =+ = 当 1006 2009n 时，由1 2009 2008 1006,aa a a 是公比为 d 的等比数列得 2009 ( 1) 201011(1006 2009)nnnaad ad n = 因此20093 1, 10052 3 ,1006 2009nnnnan=（II）由题意222 2222211 111 2(1 ), ,nnn mm maaa nmaaaaaa+ =K 又 6mk= ，由和得 2222 2 27712656221622212221()( )()(1)kaaaa a aaaaaa kaaa+ = + + +（k-1)（k-1) KKKKK 因此由得 22123 67 12366( 1)6mmaaa aa a k kmmaaa a+ =KK K
