1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 (湖北卷 ) 数学 (理工农医类 ) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分、在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。 1若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 Z,则表示复数1zi+的点是 A E B.F C.G D.H 2设集合 ()22, | 1416xyAxy=+=, ( , ) | 3 xBxyy=,则A B 的子集的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 3.在 ABC 中, a=15,b=10,A=60,则 cos B = A 223B 223C 63D 634.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子
2、各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A, B 中至少有一件发生的概率是 A 512B 12C 712D 345已知 ABC 和点 M 满足 0MA MB MC +=+ .若存在实数 m 使得 AB AC AMm += 成立,则 m= A 2 B 3 C 4 D 5 6将参加夏令营的 600 名学生编号为: 001, 002, 600,采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300在第营区,从 301 到495 住在第营区,从 496 到600 在第营区,三个营区被抽中
3、的人数一次为 A 26, 16, 8 B 25, 17, 8 C 25, 16, 9 D 24, 17, 9 7、如图,在半径为 r 的园内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设ns 为前 n 个圆的面积之和,则 limnns = A 22r B. 832r C.42r D.62r 8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A 152 B.126 C.90 D.54
4、9.若直线 y=x+b 与曲线234y xx= 有公共点,则 b 的取值范围是 A. 1,1 2 2+B. 122,122+C. 122,3D. 12,310.记实数1x ,2x , nx 中的最大数为 max 12, ,.nx xx,最小数为 min 12, ,.nx xx。已知 ABC 的三边长位 a,b,c ( abc ),定义它的亲倾斜度为max , , .min , , ,abc abclbca bca=则“ l =1”是“ ABC 为等边三角形”的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分
5、,共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写。填错位置,书写不清,模凌两可均不得分。 11、在( x+ 43y )20的展开式中,系数为有理数的项共有 _项。 12.已知 2zxy=,式中变量 x , y 满足约束条件,1,2,yxxyx+ ,则 z 的最大值为 _. 13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示) ,则球的半径是 cm。 14某射手射击所得环数 的分布列如下: 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 的期望 E =8.9,则 y 的值为
6、. 15.设 a0,b0,称2abab+为 a, b 的调和平均数。如图, C 为线段 AB 上的点,且 AC=a, CB=b, O 为 AB 中点,以 AB 为直径做半圆。过点C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD, AD, BD。过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a, b 的算术平均数,线段 的长度是 a,b 的几何平均数,线段 的长度是 a,b 的调和平均数。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16 (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=11cos( )cos( ), ( ) sin 2
7、33 24xxgx x += ()求函数 f(x)的最小正周期; ()求函数 h( x) =f(x) g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。 17 (本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位: cm)满足关系: C( x)= (0 10),35kxx+若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f( x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 ()求 k 的值
8、及 f(x)的表达式。 ()隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值。 18 (本小题满分 12 分 ) 如图, 在四面体 ABOC 中 , , , 120OC OA OC OB AOB=。, 且 1OA OB OC= ()设为 P 为 AC 的中点, 证明: 在 AB 上存在一点 Q,使 PQ OA ,并计算ABAQ的值; ()求二面角 OACB 的平面角的余弦值。 19(本小题满分 12 分 ) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F( 1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是1. ( )求曲线 C 的方程; ()是否存在正数 m,对于过点 M( m, 0
9、)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 0FA FB0)的图象在点(1 (1)处的切线方程为 = -1.() abcfx lnx a 用 表示出 , ;( )若 ( ) 在1,+ )上恒成立,求 的取值范围;() 11 1 n1ln23 2nn+ 证明: ( +1)+ ( 1)( +1)2010 年高考试题数学理 (湖北卷)答案与解析 1 【答案】 D 【解析】观察图形可知 3z i=+,则3211ziiii+= =+,即对应点 H( 2, 1) ,故 D 正确 . 2 【答案】 A 【解析】画出椭圆221416xy+=和指数函数 3xy = 图象,可知其有两个不同交点,记为A1
10、、 A2,则 A BI 的子集应为 1212,A AAA 共四种,故选 A. 3 【答案】 D 【解析】根据正弦定理sin sinabA B= 可得15 10sin 60 sin B=o解得3sin3B = ,又因为 ba + + +2ln( 1)2( 1)kkk+=+由()知:当12a 时,有 () ln ( 1)fx xx 令12a = ,有11() ( ) ln ( 1)2fx x xxx= 令21kxk+=+,得:12 1 2( ) ln ln( 2) ln( 1)21 2 1kk kkkkk k+ + =+ +ln( 1) ln( 2)2( 1) 2( 2)kkkk+ + + + +
11、11 1 11 . ln( 2)23 1 2( 1)kkkk k+ + + +就是说, 当 1nk= + 时,不等式也成立。 根据( 1)和( 2) ,可知不等式对任何 nN 都成立。 1122132 32 121143 43 43nnnnn nba a + = = ()用反证法证明 假设数列 nb 存在三项 ,rstbbb()rst,则只有可能有 2rstbbb=+ 成立 32112 12 12243 43 43s rt =+ 两边同乘 3t t2t-r,化简得 3t-r+22t-r=2*2t-r3t-s由于 rst 若 11axa,故 () lnf xx 在 )1, + 上恒不成立。 ( ii)12a 时,1 ala 若 () lnf xx ,故当 1x 时, () lnf xx 综上所述,所求 a 的取值范围为1,2 +