1、绝密 使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理） （北京卷） 本试卷分第卷和第卷两部分。第卷 1 至 2 页、第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。 第卷 （选择题 共140分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1） 集合203, 9PxZ x MxZx= ，可得35p = ，25q = . （ III）由题意知123 123 123(1) ( )( )( )a P PAAA PAAA PAAA=
2、 + + =41(1 )(1 ) (1 ) (1 )555p qpq pq+ + 37125= (2)1(0)(1)(3)bP P P P = =581250 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3)EP P P P = = + =+ = + = =95（ 18） （共 13 分） 解： （ I）当 2k = 时，2() ln(1 )f xxxx=+，1( ) 1 21f xxx= +由于 (1) ln 2f = ，3(1)2f = ， 所以曲线 ()yfx= 在点 (1, (1)f 处的切线方程为 3ln 2 ( 1)2yx= 即 322ln230xy+ = （ II）(1)(
3、)1xkx kfxx+=+， (1, )x +. 当 0k = 时， ( )1xfxx=+. 所以，在区间 (1,0) 上， ( ) 0fx ；在区间 (0, )+ 上， ( ) 0fx 所以，在区间 (1,0) 和1(,)kk+ 上， ( ) 0fx ；在区间1(0, )kk上，( ) 0fx 时，(1)( ) 01xkx kfxx+=+，得11(1,0)kxk=，20x = . 所以没在区间1(1, )kk 和 (0, )+ 上， ( ) 0fx ；在区间1(,0)kk上， ( ) 0fx 故 ()f x 得单调递增区间是1(1, )kk 和 (0, )+ ，单调递减区间是1(,0)kk（
4、 19） （共 14 分） （ I）解：因为点 B 与 A(1,1) 关于原点 O对称，所以点 B得坐标为 (1, 1) . 设点 P的坐标为 (, )x y 由题意得111113yyxx+=+null 化简得 2234(1)xy x+=. 故动点 P的轨迹方程为2234(1)xy x+ = （ II）解法一：设点 P的坐标为00(, )x y ，点 M ， N 得坐标分别为 (3, )My ,(3, )Ny . 则直线 AP 的方程为0011(1)1yyxx= +， 直线 BP的方程为0011(1)1yyxx+= 令 3x= 得000431Myxyx+=+，000231Nyxyx +=.
5、于是 PMNnull 得面积 200 00 20|(3)1|(3)2|1|PMN M Nx yxSyyxx+=null又直线 AB的方程为 0xy+=， |22AB = ， 点 P到直线 AB 的距离00|2x yd+= . 于是 PABnull 的面积 001| |2PABSABdxy=+nullnull 当PAB PMNSS=nullnull时，得200 000 20|(3)|1|x yxxyx+=又00|0xy+， 所以20(3 )x =20|1|x ，解得05|3x = 。 因为220034xy+=，所以0339y = 故存在点 P使得 PABnull 与 PMNnull 的面积相等，
6、此时点 P的坐标为533(, )39 . 解法二：若存在点 P使得 PABnull 与 PMNnull 的面积相等，设点 P的坐标为00(, )x y 则11|sin | | |sin22PA PB APB PM PN MPN= nullnull. 因为 sin sinAPB MPN= , 所以| |PA PNPM PB= 所以000|1|3|3 | | 1|x xxx+=即 2200(3 ) | 1|xx=，解得0x53= 因为220034xy+=，所以0339y = 故存在点 P S 使得 PABnull 与 PMNnull 的面积相等，此时点 P 的坐标为533(, )39 . （ 20
7、） （共 13 分） 证明： （ I）设12( , ,., )nAaa a= ，12( , ,., )nB bb b= ，12( , ,., )nCcc c=nS 因为ia ， 0,1ib ，所以 0,1iiab ,( 1,2,., )in= 从而11 2 2(| |,| |,.,| |)nn nAB a b a b a b S= 又1(,)| | |nii iiidA CB C a c b c= 由题意知ia ，ib ，ic 0,1( 1,2,., )in= . 当 0ic = 时， | | | | | |ii ii iiac b c a b=; 当 1ic = 时， | | | | |
8、 (1 ) (1 ) | | |ii i i i i i iac b c a b a b= 所以1(,)| |(,)niiidA CB C a b dAB= =(II)设12( , ,., )nAaa a= ，12( , ,., )nB bb b= ，12( , ,., )nCcc c=nS (,)dAB k= ， (,)dAC l= ， (,)dBC h= . 记 (0,0,.,0)nOS=，由（ I）可知 (,) ( , ) (, )dAB dA AB A dOB A k= = (,) ( , ) (, )dAC dAACA dOCA l= = = (,) ( , )dBC dB AC A
9、 h= 所以 | | ( 1,2,., )iibai n = 中 1 的个数为 k ， | | ( 1,2,., )iicai n = 的 1 的 个数为 l。 设 t是使 |1ii iiba ca=成立的 i的个数，则 2hlk t= + 由此可知， ,klh三个数不可能都是奇数， 即 (,)dAB, (,)dAC, (,)dBC三个数中至少有一个是偶数。 （ III）2,1() (,)AB PmdP dABC=,其中,(,)AB PdAB表示 P中所有两个元素间距离的总和， 设 P种所有元素的第 i个位置的数字中共有it 个 1，imt 个 0 则,(,)AB PdAB=1()niiitmt=由于it ()imt2( 1,2,., )4min= 所以,(,)AB PdAB24nm 从而222,1() (,)42(1)AB Pmmnm mndP dABCCm=
