1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用 0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3、请按照题号在
2、各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。 5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式： 样本数据nxxx L,21的标准差 锥体体积公式 22 2121( ) ( ) ( ) nsxxxx xxn=+L 13VSh= 其中 x为样本平均数 其中 S 为底面面积， h为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 来源:Z。xx。k.Com VSh= 24SR= 343VR= 其中 S 为底面面积， h为高 其中 R 为球的半径 第I卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，
3、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 | | 2, Ax xR=, | 4, B xx xZ=,则 AB = (A)(0,2) (B)0,2 (C)0,2 (D)0,1,2 (2)已知复数23(1 3 )izi+=， z 是 z 的共轭复数，则 zz = A. 14B.12C.1 D.2 (3)曲线2xyx=+在点（ -1， -1）处的切线方程为 （ A） y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 (4)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（ 2 ， - 2 ） ，角速度为 1，那么点 P 到 x
4、轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 （5）已知命题 1p ：函数 22x xy=在 R为增函数， 2p ：函数 22x xy=+在 R为减函数， 则在命题1q ：12p p ，2q ：12p p ，3q ： ( )12pp 和4q ： ()12pp 中，真命题是 （A）1q ，3q （B）2q ，3q （C）1q ，4q （D）2q ，4q （6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为 （A）100 （B）200 （C）300 （D）400 （7）如果执行右面的框图，输入 5N =
5、 ，则输出的数等于 （A）54（B）45（C）65（D）56（ 8）设偶函数 ()f x 满足3() 8( 0)fx x x= ，则 | ( 2) 0xfx = (A) | 2 4xx x或 (B) | 0 4xx x或 (C) | 0 6xx x或 （ 9）若4cos5 = ， 是第三象限的角，则1tan21tan2+=(A) 12 (B) 12(C) 2 (D) -2 （ 10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a (B) 273a (C) 2113a (D) 25 a （ 11）已知函数|lg |,0 10,()16, 10.2x
6、xfxxx若 ,abc互不相等，且 () () (),f afbfc=则abc的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20, 24) （ 12）已知双曲线 E的中心为原点， (3,0)P 是 E的焦点，过 F 的直线 l与 E相交于 A， B两点，且 AB 的中点为 (12,15)N ,则 E的方程式为 (A) 22136xy= (B) 22145xy = (C) 22163xy= (D) 22154xy = 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（ 13）题 第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（ 22）题 第（ 24）题为选考
7、题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）设 ()yfx= 为区间 0,1上的连续函数，且恒有 0()1fx ，可以用随机模拟方法近似计算积分10()f xdx， 先产生两组 （每组 N 个） 区间 0,1上的均匀随机数12,Nx xx 和12,Ny yy ，由此得到 N 个点11(, )( 1,2, )x yi N= , ，再数出其中满足11()( 1,2, )y fx i N=, 的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f xdx的近似值为 。 （ 14）正视图为一个三角形的几何体可以是 _（写出三种） （ 15）过点 A(4,1)的圆 C
8、 与直线 x-y=0 相切于点 B（ 2,1） ，则圆 C 的方程为 _ (16)在 ABC 中， D 为边 BC 上一点， BD=12DC， ADB=120， AD=2，若 ADC 的面积为 33 ，则 BAC=_ 三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 （ 17） （本小题满分 12 分） 设数列 na 满足21112, 3 2nnnaaa+=null （ 1） 求数列 na 的通项公式； （ 2） 令nnbna= ，求数列的前 n 项和nS (18)（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，ABnullCD,ACBD，垂足为 H， PH 是四
9、棱锥的高 ，E 为 AD 中点 （ 1） 证明： PEBC （ 2） 若 APB=ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 (19)(本小题 12 分 ) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助， 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如下： 是否需要志愿 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （ 1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （ 2） 能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （ 3） 根据（ 2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说
10、明理由 附： （ 20） （本小题满分 12 分） 设12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左、 右焦点， 过1F 斜率为 1 的直线 i与E相交于 ,AB两点，且22,AF AB BF 成等差数列。 （ 1）求 E的离心率； （ 2） 设点 (0, 1)p 满足 PA PB= ，求 E的方程 （ 21） （本小题满分 12 分） 设函数2() 1xf xe xax= 。 （ 1） 若 0a = ，求 ()f x 的单调区间； （ 2） 若当 0x 时 () 0fx ，求 a的取值范围 请考生在第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所
11、做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，已经圆上的弧 ，过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： （） ACE=BCD； （）BC2=BFCD。 （23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线C 1x1tcossinyt=+=（ t 为参数） ， C2xcossiny=（ 为参数） ， （）当 =3时，求 C1与 C2的交点坐标； （）过坐标原点 O 做 C 1的垂线，垂足为 ，P 为 OA 中点，当 变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么
12、曲线。 （ 24） （本小题满分 10 分）选修 4-5，不等式选项 设函数 () 2 4 1f xxl= + （）画出函数 ()yfx= 的图像 （）若不等式 ()f x ax的解集非空，求 a 的取值范围。 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、 选择题 （ 1） D （ 2） A （ 3） A （ 4） C （ 5） C （ 6） B （ 7） D （ 8） B （ 9） A （ 10） B （ 11） C （ 12） B 二、填空题 （ 13）1NN（ 14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） （ 15）22(3) 2xy+= （ 16） 60
13、三、解答题 （ 17）解： （）由已知，当 n 1 时， 11 1 211( ) ( ) ( )nnnnnaaaaa aaa+ =+L 21 233(2 2 2) 2nn= + +L 2( 1) 12n+= 。 而 12,a = 所以数列 na 的通项公式为212nna= 。 （）由212nnnbnan=知 35 2112 22 32 2nnSn=+ + + +L 从而 2357 21212232nnSn+=+L -得 2352121(1 2 ) 2 2 2 2 2nnnSn +=+ L 。 即 211(3 1)2 29nnSn+= （ 18）解： 以 H 为原点， ,HA HB HP 分别为
14、 ,x yz轴，线段 HA的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则 (1,0,0), (0,1,0)AB （）设 ( , 0, 0), (0, 0, )( 0, 0)Cm P n m npf 则 1(0, ,0), ( , ,0).22mDm E 可得 1(, , ), (,1,0).22mPE n BC m= 因为 0022mmPE BC=+= 所以 PE BC （）由已知条件可得 33,1,mnC= = 故 ( ,0,0) 313(0,0),(,0),(0,1)326DE P 设 (, ,)nxyx= 为平面 PEH 的法向量 则 ,nHE onHP o=即130260xyz =因此可
15、以取 (1, 3, 0 )n= ， 由 (1, 0, 1)PA=uuur， 可得 2cos ,4PAn =uuur所以直线 PA与平面 PEH 所成角的正弦值为24（ 19）解： （ 1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500= （ 2）22500 (40 270 30 160)9.967200 300 70 430K=。 由于 9.9676.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由 (II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区
16、男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好 （ 20.）解： （ I）由椭圆定义知224AFBFABa+=，又222 ABAFBF=+， 得43ABa= l的方程为 yxc=+，其中22cab=。 设()11,A xy， ()22,B xy，则 A、 B 两点坐标满足方程组 22221y xcxyab=+=化简的() ()222 2 22220abx acxacb+= 则()22 2212 1222 222,ac bacxx xxab ab+= =+因为直线 AB 斜率为
17、 1，所以 AB = ()221 12 1222 4x xxxx = + 得22244,3abaab=+故222ab= 所以 E 的离心率2222cabeaa= = （ II）设 AB 的中点为 ()00,Nxy ，由（ I）知 212022223xx acx cab+ =+，003cyxc= +=。 由 PA PB= ，得 1PNk = ， 即0011yx+= 得 3c = ，从而 32, 3ab= 故椭圆 E 的方程为22118 9xy+=。 （ 21）解： （ 1） 0a = 时， () 1xf xe x=， ( ) 1xfx e= . 当 (,0)x 时， ( ) 0fx .故 ()f
18、 x 在 (,0) 单调减少，在 (0, )+ 单调增加 （ II） ( ) 1 2xf xe ax= 由（ I）知 1xex+，当且仅当 0x = 时等号成立 .故 ( ) 2 (1 2 )f xxax ax = ， 从而当 12 0a，即12a 时， ( ) 0 ( 0)fx x，而 (0) 0f = ， 于是当 0x 时， () 0fx . 由 1( 0)xexx+ 可得 1( 0)xexx .从而当12a 时， () 1 2( 1) ( 1)( 2)xxxxf xe ae ee e a+ = ， 故当 (0,ln 2 )x a 时， ( ) 0fx ，而 (0) 0f = ，于是当 (
19、0,ln 2 )x a 时， () 0fx . 综合得 a的取值范围为1(,2 . （ 22）解： （ I）因为null nullAC BC= , 所以 BCD ABC=. 又因为 EC 与圆相切于点 C ，故 ACE ABC = ， 所以 ACE BCD=. （ II）因为 ,ECB CDB EBC BCD=, 所以 BDC ECB ，故BCCDBEBC= ， 即2BCBECD=. (23)解： （）当3 =时，1C 的普通方程为 3( 1)yx= ，2C 的普通方程为221xy+=。联立方程组223( 1)1yxxy=+=，解得1C 与2C 的交点为（ 1,0）1322， 。 （）1C 的普通方程为 sin cos sin 0xy =。 A 点坐标为()2sin cos sin ， 故当 变化时， P 点轨迹的参数方程为： ()21sin21sin cos2xy=为参数 P 点轨迹的普通方程为2211416xy+=。 故 P 点轨迹是圆心为104， ，半径为14的圆。 （24） 解： （）由于25 2()23xxfxx+ =，x 2则函数 ()y fx= 的图像如图所示。 （）由函数()yfx=与函数yax=的图像可知，当且仅当12a或2a时，函数()yfx=与函数yax=的图像有交点。故不等式()f xax的解集非空时，a的取值范围为 ()122 +U，。
