1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（江西卷） 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每个小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。 1.已知（x+i） （1-i）=y，则实数 x，y 分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=2 【答案】 D 【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得2()(1)x ixiy + =，没有虚部，x=1,y=2. 2.若集合 A= | 1x xxR， ， 2B= |yy x x R=， ，则 AB =（ ） A. |1 1xx B. |
2、0xx C. |0 1xx D. 【答案】 C 【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B；|1 1Ax x=， | 0Byy=,解得 AB=x|0 1x I 。在应试中可采用特值检验完成。 3.不等式 22xxx x的解集是（ ） A. (0 2)， B. (0)， C. (2 )+， D. (0 ) +（- ，0） ， 【答案】 A 【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.20xx2p D。以上三种情况都有可能 【答案】B 【解析】 考查不放回的抽球、 重点考查二项分布的概率。 本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考
3、，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为110，总概率为0010101(0.1)(0.9)C ；同理，方法二：每箱的选中的概率为15，总事件的概率为0055141()()55C ，作差得1p OB OC ,分别经过三条棱 OA， OB ， OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为 。 【答案】 321SSS。 （1）当 a=1时，求()f x 的单调区间。 （ 2）若 ()f x 在 (01， 上的最大值为12，求 a 的值。 【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解：对函数求导得：11()2
4、f xaxx = +，定义域为（0，2） （ 1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。 当 a=1 时，令211 2() 0 +1=0 022xfxxx xx+ = =得（）当 (0, 2), ( ) 0,xfx为增区间；当 (22), () 0,xfx 0，为单调递增区间。 最大值在右端点取到。max1(1)2ffa=。 20. （本小题满分 12 分） 如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD 平面BCD，AB 平面BCD， 23AB = 。 （1） 求点 A 到平面 MBC 的距离； （2） 求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值。 1 3
5、4 6P 13161613 【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力 解法一： （ 1）取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OB CD， OM CD.又平面 MCD 平面 BCD,则 MO平面 BCD，所以 MO AB，A、 B、 O、 M 共面 .延长 AM、 BO 相交于 E，则 AEB 就是 AM 与平面 BCD所成的角 .OB=MO= 3 ， MO AB， MO/面 ABC， M、 O 到平面 ABC 的距离相等，作 OHBC 于 H，连 MH，则 MHBC，求得：
6、 OH=OCsin600=32,MH=152, 利用体积相等得：2155AMBC M ABCVV d=。 （ 2） CE 是平面 ACM 与平面 BCD的交线 . 由（ 1）知， O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形 . 作 BF EC 于 F，连 AF，则 AF EC， AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 . 因为 BCE=120，所以 BCF=60 . sin 60 3BF BC= =o， tan 2ABBF =，25sin5 = 所以，所求二面角的正弦值是255. 【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决 解法二：
7、取 CD 中点 O， 连 OB， OM， 则 OB CD， OM CD， 又平面 MCD 平面 BCD,则 MO平面 BCD. 以 O 为原点，直线 OC、 BO、 OM 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图 . OB=OM= 3 ，则各点坐标分别为 O（ 0， 0， 0） ， C（ 1， 0， 0） ，M（ 0， 0， 3 ） ， B（ 0，- 3 ， 0） ， A（ 0，- 3 ， 2 3 ） ， （ 1）设 (, ,)nxyz=r是平面 MBC 的法向量，则 BC=(1, 3,0)uuur， (0,3,3)BM =uuuur，由 nBCr uuur得 30xy+ = ；
8、由 nBMr uuuur得330yz+=；取 (3,1,1), (0,0,23)nBA= =ruur，则距离 yxMDCBOAz2155BA ndn=uuurrr （ 2） (1,0, 3)CM =uuuur， (1, 3,23)CA=uuur. 设平面 ACM 的法向量为1(, ,)nxyz=ur，由11nCMnCAur uuuururuur得303230xzxy z+ = + =.解得3x z= ， y z= ，取1(3,1,1)n =ur. 又平面 BCD 的法向量为 (0,0,1)n=r，则1111cos ,5nnnnnn，抛物线222:Cx byb+ =。 （ 1） 若2C 经过1C
9、 的两个焦点，求1C 的离心率； （ 2） 设 A（ 0， b） ，5334Q， ,又 M、 N 为1C 与2C 不在 y 轴上的两个交点，若 AMN的垂心为34B b0， ，且 QMN 的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：22cb= ，由 2222 22122,22cabc c ea=+= =有 。 (2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称，设11 11 1(,),(,)( 0)MxyNxyx,由 AMN 的垂心为 B，有 211 130()()04BM A
10、N x y b y b=+ =uuuur uuur。 由点11(, )Nx y 在抛物线上，2211x by b+ = ，解得：11()4byyb= =或舍去 故155 5,( ,),( ,)22424bbxbMbNb= ，得 QMN 重心坐标 (3,)4b. 由重心在抛物线上得：223,=24bbb+=所以 ，11(5, ),(5, )22MN ， 又因为 M、N 在椭圆上得：2163a = ，椭圆方程为2216314xy+ = ，抛物线方程为224xy+ = 。 22. （本小题满分 14 分） 证明以下命题： （1） 对任一正整 a,都存在整数b,c(bc)，使得222abc， 成等差数
11、列。 （2） 存在无穷多个互不相似的三角形n，其边长n nnabc， 为正整数且222n nnabc，成等差数列。 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （ 1）考虑到结构要证22 22ac b+= ， ；类似勾股数进行拼凑。 证明：考虑到结构特征，取特值2221,5,7 满足等差数列，只需取 b=5a， c=7a，对一切正整数 a 均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。 证明：当222nnnabc， 成等差数列，则2222nnnnbacb =， 分解得： ()()()()nnnn nnnnb
12、aba cbcb+=+ 选取关于 n的一个多项式，24( 1)nn 做两种途径的分解 2224 ( 1) (2 2)(2 2 ) (2 2 )(2 2)nn n n n n n n= + = +24( 1)nn 对比目标式，构造222211( 4)21nnnan nbn ncn n =+ =+，由第一问结论得，等差数列成立， 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m ， n ，若m， n相似：则三边对应成比例22221 1 2121 1 21mm m mmnn n nn + += + +， 由比例的性质得：1111mmmnnn+=+，与约定不同的值矛盾，故互不相似。
