1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1.不等式204xx+的解集是 （-4,2） 。 解析：考查分式不等式的解法204xx+等价于（ x-2） (x+4)Q ，0x 属于区间(13,12) 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,13 11 5，则此人能 【答】（D） （A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形 解析：设三边分别为 a,b,c
2、，利用面积相等可知 5:11:13:,51111131= cbacba 由余弦定理得 0115213115cos222+，当 n15 时，数列 Sn单调递增； 同理可得，当 n15 时，数列 Sn单调递减；故当 n=15 时， Sn取得最小值 21、 （本大题满分13分）本题共有2个小题，第1 小题满分5分，第2 小题满分8 分. 如图所示， 为了制作一个圆柱形灯笼， 先要制作 4个全等的矩形骨架， 总计耗用 9.6 米铁丝，骨架把圆柱底面 8 等份，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该 最大值（结果精确
3、到 0.01 平方米）; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为 0.3 米时，求图中两根直线13AB与35AB所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 解析： (1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l=1.22r(0 ，222a b ab ab ab+ ， 因为33 2 2 2|2| |()()0a b ab ab a b ab ab ab a b a b+ + =+ ， 所以33 2 2|2| |a b ab ab a b ab ab ab+ + ，即 a3+b3比 a2b+ab2远离 2ab ab ； (3) 3sin , ( , )44()c
4、os , ( , )44xxk kfxxxk k + += +， 性质： 1f(x)是偶函数，图像关于 y 轴对称， 2f(x)是周期函数，最小正周期2T= ， 3函数 f(x)在区间 (,242kk 单调递增，在区间 , )22 4kk + 单调递减， kZ， 4函数 f(x)的值域为2(,12 23（本题满分 18 分）本题共有3 个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6 分，第3 小题满分9 分. 已知椭圆 的方程为22221( 0)xyabab+=，点 P 的坐标为（-a，b）. （1）若直角坐标平面上的点 M、A(0,-b)，B(a，0)满足1PM = ( PA + PB)2,求点
5、M 的坐标； （2）设直线11:lykxp= + 交椭圆 于 C 、 D 两点，交直线22:lykx= 于点 E .若2122bkka=，证明： E 为 CD的中点； （3）对于椭圆 上的点Q（a cos，b sin） （0） ，如果椭圆 上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP + PP = PQ,写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的的取值范围. 解析： (1) (, )22abM ； (2) 由方程组122221ykxpxyab=+=，消 y 得方程22 2 2 2 2 2 211() ()0ak b x akpx a p b+ +=， 因为直线11:lykx
6、p= + 交椭圆 于 C、 D两点， 所以 0，即22 2 210ak b p+， 设 C(x1,y1)、 D(x2,y2)， CD 中点坐标为 (x0,y0)， 则212 10 22 212010 22 212x xakpxak bbpykxpak b +=+=+=+， 由方程组12ykxpykx=+=，消 y 得方程 (k2k1)x=p， 又因为22 21bkak= ，所以21022 221 122022 21akppx xkk akbbpykx yak b= =+= =+， 故 E 为 CD 的中点； (3) 求作点 P1、 P2的步骤： 1求出 PQ 的中点(1 cos ) (1 si
7、n )(,22abE + ， 2求出直线 OE 的斜率2(1 sin )(1 cos )bka+=， 3由12PPPPPQ+=uuur uuur uuur知 E为 CD的中点， 根据 (2)可得 CD的斜率21 22(1 cos )(1 sin )bbkak a= =+， 4从而得直线 CD 的方程：(1 sin ) (1 cos ) (1 cos )()2(1sin) 2bb ayxa + = +， 5将直线 CD 与椭圆 的方程联立，方程组的解即为点 P1、 P2的坐标 欲使 P1、 P2存在，必须点 E 在椭圆内， 所以22(1 cos ) (1 sin )144+ ，化简得1sin cos2 ，2sin( )44 ， 又 0 ，即3444 ，所以2arcsin44 4 ， 故 的取值范围是2(0, arcsin )44+
