1、绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 文科数学 第卷 （选择题） 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 (+) ()+()PAB PA PB= S=4R2 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中R表示球的半径 ( ) () ()PA B PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 34VR3= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P( ) (1 ) ( 0,1,2, , )kk n
2、knnkCp p k n=L 一、选择题 （ 1）设全 集 *U6xNx= 或 （） 3xx （ 3）已知2sin3 = ，则 cos( 2 ) = (A) 53 (B) 19 (C) 19(D) 53（ 4）函数 1ln( 1)( 1)yxx=+ 的反函数是 (A) 11( 0)xye x+= (B) 11( 0)xye x= + (C) 11( R )xye x+= (D) 11( R )xye x=+ (5) 若变量 ,x y满足约束条件132 5xyxxy+ ，则 2zxy= + 的最大值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 （ 6）如果等差数列 na 中，3a +4a +
3、5a =12，那么 1a +2a + +7a = (A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35 （ 7）若曲线2y xaxb=+在点 (0, )b 处的切线方程式 10xy +=，则 （ A） 1, 1ab= （ B） 1, 1ab= （ C） 1, 1ab= （ D） 1, 1ab= （ 8） 已知三棱锥 S ABC 中， 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形， SA 垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 （ A）34（ B）54（ C）74（ D） 34（ 9）将标号为 1 ,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中
4、，若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 （ A） 12 种 （ B） 18 种 （ C） 36 种 （ D） 54 种 （ 10）ABC中，点 D 在边 AB 上，CD平分ACB，若 CB a= ， CA b= ， 1, 2ab=，则CD= （ A）1233ab+ （ B）2233ab+ （ C）3455ab+ （ D）4355ab+ （ 11）与正方体111 1ABCD ABC D 的三条棱 AB、1CC 、11AD所在直线的距离相等的点 （ A）有且只有 1 个 （ B）有且只有 2 个 （ C）有且只有 3 个 （ D）有无数个 （ 12）已知椭
5、圆 C：22xa+22by=1 (0)ab 的离心率为23，过右焦点 F 且斜率为 k（ k0）的直线与 C 相交于 A、 B 两点，若 AF =3 FB，则 k= （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 第卷（非选择题） 二 .填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 （ 13）已知 是第二象限的角，1tan2 = ，则 cos = _. (14) 91()xx+ 的展开式中3x 的系数是 _ (15) 已知抛物线2C2(0)ypxp=： 的准线为 l，过 M(1,0)且斜 率为 3 的直线与 l相交于点 A,与 C 的一个交点为 B,若， AM MB=uu
6、uur uuur，则 p 等于 _. （ 16）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆， AB 为圆与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=_. 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 10 分） ABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD=33,5sin13B = ,3cos5ADC = .求AD. （ 18）（本小题满分 12 分） 已知 na 是各项均为正数的等比例数列，且 1212112( )aaaa+= + ，34534511164( )aaaaaa+
7、= +.( ) 求 na 的通项公式； （）设21()nnnbaa=+ ,求数列 nb 的前 n项和nT .（ 19）（本小题满分 1 2 分） 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AC BC， AA1=AB， D 为 BB1的中点， E 为 AB1上的一点， AE=3EB1. （）证明：DE 为异面直线 AB 1与 CD 的公垂线； （）设异面直线 AB 1与CD的夹角为45o,求二面角A 1-AC1-B1的大小. （ 20）（本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1， T2， T3， T4，电流能通过 T1， T2，T3的概率都是 p ，电
8、流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立 .已知 T1， T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 （）求 p ； （）求电流能在 M 与N 之间通过的概率. （ 21）（本小题 满分 12 分） 已知函数32() 3 3 1f xx ax x= + （）设 2a = ，求 ()f x 的单调区间； （）设 ()f x 在区间（ 2,3）中至少有一个极值点，求 a的取值范围 . （22）（本小题满分12分） 已知斜率为 1 的直线 l与双曲线 C：22221( 0, 0)xyabab =相交于 B、D 两点，且 BD的中点为 M(1,3). （）求 C的离心率；
9、（）设 C的右顶点为 A，右焦点为 F， DF BF =17 ，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x轴相切. 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考 一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. B 10. B 11. D 12. B 二、填空题 13. 255 14. 84 15. 2 16. 3 三、解答题 （ 17）解： 由3cos 052ADC B= ，故12, 1qa= 所以 12nna= （）由（）知2212111 124 24nnn nnnnba aaa=+ =+=+因此 () ()1 1111
10、11 41 141 4 . 4 1 . 2 2 4 4 2 1144 41 314nnn nnnnTnn =+ + + = + + = + +（ 19）解法一： （）连结1AB,记1AB与1AB 的交点为 F.因为面11AA BB 为正方形，故11AB AB ，且1AF=FB .又1AE=3EB ，所以1FE=EB ，又 D 为1BB 的中点，故1DE BF DE AB， . 作 CG AB ,G 为垂足，由 AC=BC 知， G 为 AB 中点 . 又由底面 ABC 面11AA B B，得 CG 11AA B B. 连结 DG，则1DG AB ，故 DE DG ,由三垂线定理，得 DE CD
11、 . 所以 DE 为异面直线1AB 与 CD的公垂线. （）因为1DG AB ，故 CDG 为异面直线1AB 与 CD的夹角， CDG=45o. 设AB=2，则1AB 2 2= ， DG= 2 ， CG= 2 ,AC= 3 . 作111BH AC ,H 为垂足，因为底面111 11ABC AACC面 ,故111BH AACC面 ， 又作1HK AC ， K 为垂足， 连结1BK,由三垂线定理， 得11BK AC ， 因此1BKH为二面角111AACB的平面角 2211 11 1111112 223AB AC ABBHAC= 22111133HC BC B H= 22 1111232(3) 7,
12、37AA HCAC HKAC=+ = = = 11tan 14BHBKHHK= 所以二面角111AACB的大小为 arctan 14 解法二： （）以 B 为坐标原点，射线 BA 为 x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz . 设 AB=2，则 A（ 2,0,0,），1B(0,2,0)， D（ 0,1,0），13E( , ,0)22， 又设 C（ 1,0,c） ,则 ()()111DE 0 B A= 2,-2,0 ,DC= 1,-1,c22=uuur uuuuruur， . 于是1DE B A=0,DE DC=0uuur uuuur uuur uuurnullnull. 故1DE
13、 B A DE DC， , 所以 DE 为异面直线1AB 与 CD的公垂线. （）因为1,B ADC= =null. 由于 ,mn 在 (,2 3) 单调增加； 当 (2 3,2 3)x + 时 () 0, ()f xfx 在 (2 3, )+ + 单调增加； 综上所述， ()f x 的单调递增区间是 (,2 3) 和 (2 3, )+ + ， ()f x 的单调递减区间是 (2 3,2 3)+ （）22() 3( ) 1 f xxa a =+， 当210a时， () 0, ()f xfx 为增函数，故 ()f x 无极值点； 当210a时， () 0fx = 有两个根 22121, 1xa
14、a xa a= =+ 由题意知，22213,213aa aa +或 式无解，式的解为5543a， 因此 a的取值范围是5543， . （22）解： （）由题设知， l的方程为： 2yx=+， 代入 C 的方程，并化简，得222 2 222()44 0bax axaab =， 设 11 2 2B( , ) ( , )x yDxy、 ， 则22212 1222 2244,aaabxx xxba ba+= = 由 (1, 3)M 为BD的中点知1212xx+= ，故2221412aba =即223ba= ， 故222cab a=+= 所以 C 的离心率 2cea= （）由知，C 的方程为：22 23
15、3x ya= ， 212 1243( ,0), (2 ,0), 2, 02aAa F a x x xx+= = 故不妨设12,x ax a ， 22 222111 1 1BF = ( 2 ) ( 2 ) 3 3 2x ay xa xaax+=+=， 22 222222 2 2FD = ( 2 ) ( 2 ) 3 3 2x ay xa xa xa+=+=， 2212 12 12BF FD ( 2 )(2 )= 4 2 ( ) 5 4 8axxa xx axxa a a= + + = +null . 又 BF FD 17=null ， 故 254817aa+=， 解得 1a = ，或95a = （舍去）， 故212 12 12BD = 2 2 ( ) 4 6xx xx xx= + =null ， 连结 MA，则由 A(1,0) ， M(1,3) 知 MA 3= ，从而MA=MB=MD ,且 MA x 轴，因此以 M 为圆心， MA 为半径的圆经过 A、 B、 D 三点，且在点 A 处与 x轴相切，所以过 A、B、 D 三点的圆与 x轴相切 .
