1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 第卷 一、选择题： （ 1） i是虚数单位，计算23ii i+= （ A） 1 （ B） 1 （ C） i （ D） i （ 2）下列四个图像所表示的函数，在点 0x = 处连续的是 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 3）552log 10 log 0.25+= （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 4 （ 4）函数2() 1f xxmx=+的图像关于直线 1x = 对称的充要条件是 （ A） 2m= （ B） 2m= （ C） 1m= （ D） 1m= （ 5） 设点 M 是线段 BC 的中点，
2、点 A 在直线 BC 外，216,BCABACABAC=+ = ,uuur uuur uuur uuur uuur则AM=uuuur（ A） 8 （ B） 4 （ C） 2 （ D） 1 （ 6）将函数 siny x= 的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 （ A） sin(2 )10yx= （ B） sin(2 )5yx= （ C）1sin( )210yx= （ D）1sin( )220yx= BCDANMO（ 7）某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品甲车间加工一箱原料需耗费
3、工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （ A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 （ B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 （ C）甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 （ D）甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱 （ 8）已知数列 na 的首项10a ，其
4、前 n项的和为nS ，且112nnSSa+= + ，则 limnnnaS= （ A） 0 （ B）12（ C） 1 （ D） 2 （ 9）椭圆22221( )xyabab+=0的右焦点 F ，其右准线与 x轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是 （ A）20,2 （ B）10,2（ C） )21,1（ D）1,12（ 10）由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没有重复数字且 1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 （ A） 72 （ B） 96 （ C） 108 （ D） 144 （ 11） 半径为 R 的球 O的直径
5、AB 垂直于平面 ， 垂足为 B ， BCDnull 是平面 内边长为 R的正三角形，线段 AC 、 AD分别与球面交于点 M， N，那么 M、 N 两点间的球面距离是 （ A）17arccos25R （ B）18arccos25R （ C）13R （ D）415R （ 12）设 0abc，则221121025()aacab a a b+ +的最小值是 AB（ A） 2 （ B） 4 （ C） 25 （ D） 5 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类） 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线上 （ 13）631(2
6、)x 的展开式中的第四项是 _ （ 14）直线 250xy+=与圆228xy+=相交于 A、 B 两点，则 AB=_ （ 15）如图，二面角 l 的大小是 60，线段 AB B l ， AB 与 l所成的角为 30则 AB 与平面 所成 的角的正弦值是 _ （ 16）设 S 为复数集 C 的非空子集若对任意 x,y S ，都有 x y,x y,xy S+ ，则称 S为封闭集。下列命题： 集合 Sabi= + （ a,b为整数， i为虚数单位）为封闭集； 若 S 为封闭集，则一定有 0 S ； 封闭集一定是无限集； 若 S 为封闭集，则满足 STC的任意集合 T 也是封闭集 其中真命题是 _ （
7、写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17） （本小题满分 12 分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （）求中奖人数的分布列及数学期望 E DA BCDMOABC（ 18） （本小题满分 12 分） 已知正方体 ABCD A C D的棱长为 1， 点 M 是棱 AA的中点， 点 O是对角线 BD的中点 （）求证： OM 为异面直线 AA和 BD
8、的公垂线； （）求二面角 M BC B的大小； （）求三棱锥 M OBC 的体积 （ 19） （本小题满分 12 分） （）证明两角和的余弦公式 C :cos( ) cos cos sin sin + =； 由+aC 推导两角和的正弦公式 .sincoscossin)sin(: aaaSa+=+ （）已知 ABC 的面积123SABAC=uuur uuur，且35cosB = ，求 cosC （ 20） （本小题满分 12 分） 已知定点 10 20A( , ),F( , ) ，定直线12l:x= ，不在 x轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l的距离的 2 倍设点 P 的轨迹为 E
9、，过点 F 的直线交 E 于 B C、 两点，直线AB AC、 分别交 l于点 M N、 （）求 E 的方程； （）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ，并说明理由 （ 21） （本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足1202a,a=，且对任意 m,n N* 都有 211212)(22 nmaanmnm+=+（）求35a,a； （）设21 21nn nba a (nN*)+= 证明： nb 是等差数列； （）设 *),0()(112Nnqqaacnnnn=+，求数列 nc 的前 n项和nS （ 22） （本小题满分 14 分） 设11xxaf(x)a+=（ 0a 且 1a ） ，
10、 g(x)是 f(x)的反函数 （）设关于 x的方程217atlog g( x)(x )( x)=在区间 26, 上有实数解，求 t的取值范围； （）当 ae= （ e为自然对数的底数）时，证明：22221nknng(k )n(n )=+； （）当120 =BBAAAAAAAAbcACAB得由题意又.1010sinsincoscos)(9cos =+ BABABA .1010)cos()(coscos =+=+= BABAC 故 （ 12 分） （ 20）本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力。 解： （）设 则),( yxP ,212)2(2
11、2=+ xyx 化简得 ).0(1322= yyx （ 4 分） （）当直线 BC 与 x轴不生直时，设 BC 的方程为 ).0)(2( = kxky 与双曲线方程 得联立消去 yyx 1322= 4)(2)2)(2(,334*34),(),(.003,0)34(4)3(212122122122212221221122222+=+=+=+xxxxkxxkyykkxxkkxxyxCyxBkkxkxk则设且由题意知.39)438334(2222222=+=kkkkkkk因为 .1,21xx ),)1(23,23(.)1(2323(,)1(23,21(),1(122221211+=+=+=xyFNx
12、yFMxyMxxyyAB同理可得点的坐标为因此的方程为所以直线因此 += )23()23(FNFM)1)(1(492121+ xxyy0)134334(438149222222=+=kkkkkk当直线 BC 与 x轴垂直时，其方程为 ),3,2(),3,2(,2 = CBx 则 AB 的方程为 点的坐标为因此 Mxy ,1+= ).23,23(),23,21( =FM 同理可得 ,023)23()23()23( =+=FNFM 综上， .,0 FNFMFNFM = 即 故以线段 MN 为直径的圆过点 F。（ 12 分） （ 21）本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理
13、论证、分析与解决问题的能力。 解： （）由题意，令 .6221,2123=+= aaanm 可得 再令 .20821,3135=+= aaanm 可得 （ 2 分） （）即于是可得代替以由已知时当8)(82)2(,*12121)1(21)1(2121212=+=+nnnnnnnaaaaaaamnNn.81=+ nnbb 所以，数列 .8的等差数列是公差为nb （ 5 分） （）由（） 、 （）的解答可知 .8,6131的等差数列公差为是首项 = aabbn则 即,28 =nnb .281212=+naann另由已知（令 )1=m 可得， 312)1(2=+naaannn那么， 12212121
14、+=+naaaannnnnnn212228=+=于是，12=nnnqc 当 ).1(2642,1 +=+= nnnSqnK时 当12462642,1+=nnqnqqqSq L时 两边同乘 q可得 .2)1(26421222 nnnqnqnqqqqS +=+L 上述两式相减即得 nnnnqqqqSq 2)1(2)1(121+=L =nnnqqq2112 =qnqqnnn+1)1(121所以21)1(1)1(2+=+qqnnqSnnn综上所述，+=+=+)12(),1(,)1(1)1(2)1()1(21分LLLLqqqnnqqnnSnnn（ 22）本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用
15、等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解： （）由题意，得 ,011+=yyan 故 ).,1()1,(,11log)( += xxxxga由11log)7)(1(log2+= xxxxtaa得 ).5)(1(3151836,2),7()1(22=+=xxxxtxxxt则列表如下： x 2 （ 2， 5） 5 （ 5， 6） 6 t 0 t 5 极大值 25 所以 32,5 =最大值最小值tt 所以 t 的取值范围为 5， 32（ 5 分） （）111531421311)(2+=nnnnnnkgnnL 2)1(1)11534231(1=+=nnnn
16、nn L.),0()(.0)11(112)(,0,12111)(2222上是增函数在所以则令+=+=+=zuzzzzuzzznzzznzzu)9()1(22)(,02)1(2)1(1)1(210)1()2)1(,012)1(22分即却所以又因为LLLL+=+=nnnnkgnnnnnnnnnnnnnnn （）1)1(21)1()1()(,*,2,2.4221)1(,132111)1(1,1,1111+=+=+=+=+=+kkkpppkfNkknpfnnnnfppn则时设时当时当则设nPCPCPC242242421+=L=+=+=+=+nnnnnnfkfnnnnnnkfnkkkkCCkf12241441)1()(.114114241)(11441)1(4121)(1所以从而所以综上，总有 .4)(1=nnnk （ 14 分）
