1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟，第卷 1 至3 页，第卷 4 至11 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项： 1 答第卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。 3 本卷共 10 小题，每小题 5 分，共50分。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 如果事
2、件 A、B相互独立，那么 P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B) 棱柱的体积公式 V=Sh, 棱锥的体积公式 V=13sh, 其中 S 标示棱柱的底面积。 其中S标示棱锥的底面积。 h 表示棱柱的高。 h 示棱锥的高。 一 选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）i 是虚数单位，复数1312ii+=+(A)1i (B)55i (C)-5-5i (D)-1i （2）函数f(x)= 23xx+ 的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） （3）命题“若 f(x)是奇函数，则 f(-x)是奇函数”
3、的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则 f(-x)是偶函数 （B）若 f(x)不是奇函数，则 f(-x)不是奇函数 （C）若 f(-x)是奇函数，则 f(x)是奇函数 （D）若 f(-x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数 （4）阅读右边的程序框图，若输出 s 的值为-7，则判断框内可填写 (A)i3? （B）i4? （C）i5? （D）i6? (5)已知双曲线22221( 0, 0)xyabab =的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线224y x=的准线上，则双曲线的方程为 （A）22136 108xy= （B） 221927xy = （C）221108 36xy= （D
4、）22127 9xy = （6） 已知 na 是首项为 1 的等比数列，ns 是 na 的前 n 项和， 且369ss= ， 则数列1na的前 5 项和为 （A）158或 5 （B）3116或 5 （C）3116（D）158（7）在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若223ab bc= ，sin 2 3 sinCB= ，则A= （A）030 （B）060 （C）0120 （D）0150 （8）若函数f(x)=212log , 0,log ( ), 0xxxxf(-a),则实数 a 的取值范围是 （A） （-1，0）（0，1） （B） （-，-1）（1,+） （C） （-1
5、，0）（1,+） （D） （-，-1）（0,1） (9)设集合A= | | 1, , | | 2, .x xa xRB xxb xR 若A B,则实数a,b 必满足 （A） |3ab+ （B） |3ab+ （C） |3ab （D） |3ab (10) 如图，用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 （A）288 种 （B）264 种 （C）240种 （D）168 种 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第卷 注意事项： 1 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2 用钢笔
6、或圆珠笔直接答在试卷上。 3 本卷共 12 小题，共 100分。 二填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共24分，把答案天灾题中横线上。 （11）甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。 （12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （13）已知圆 C 的圆心是直线1,(1xtyt=+为参数） 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0相切，则圆 C 的方程为 （14）如图，四边形 ABCD是圆 O 的内接四边形，延长AB
7、 和 DC 相交于点 P，若PB 1 PC 1=, =PA 2 PD 3,则BCAD的值为 （15）如图，在 ABCnull 中， AD AB , 3BCBD=uuur uuur, 1AD =uuur,则 AC AD =uuur uuurnull . （16）设函数2() 1fx x= ，对任意2,3x + ，24()(1)4()xf mfx fx fmm+恒成立，则实数 m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共76 分。解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 已知函数2( ) 2 3 sin cos 2cos 1( )f xxxxxR=+
8、 （）求函数 ()f x 的最小正周期及在区间 0,2 上的最大值和最小值； （）若006() , ,542fx x =，求0cos 2x 的值。 （18）.（本小题满分 12分） 某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。 （）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率 （）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率； （）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1次未击中，则额外加 1分；若 3 次全击中，则额外加 3分，记 为射手射击
9、3 次后的总的分数，求 的分布列。 （19） （本小题满分 12 分） 如图，在长方体111 1ABCD ABC D 中， E、 F 分别是棱 BC,1CC 上的点， 2CF AB CE= ,1: 1:2:4AB AD AA = （1） 求异面直线 EF 与1AD所成角的余弦值； （2） 证明 AF 平面1AED （3） 求二面角1AEDF 的正弦值。 （20） （本小题满分 12 分） 已知椭圆22221( 0xyabab+=） 的离心率32e= ， 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。 （1） 求椭圆的方程； （2） 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 ,A B ，已知点 A 的坐标为
10、（ ,0a ） ，点0(0, )Qy在线段 AB 的垂直平分线上，且 4QA QB =uuur uuurnull ，求0y 的值 （21） （本小题满分 14 分） 已知函数 () ( )xf xxcxR= （）求函数 ()f x 的单调区间和极值； （）已知函数 ()ygx= 的图象与函数 ()yfx= 的图象关于直线 1x = 对称，证明当1x 时， () ()f xgx （）如果12x x ，且12() ()f xfx= ，证明122xx+ （22） （本小题满分 14 分） 在数列 na 中，10a = ，且对任意*kN .21ka，2ka ，21ka+成等差数列，其公差为kd 。 （
11、）若kd =2k ，证明2ka ，21ka+，22ka+成等比数列（*kN ） （）若对任意*kN ，2ka ，21ka+，22ka+成等比数列，其公比为kq 。 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答 一、 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 （1）A （2）B （3）B （4）D （5）B （6）C （7）A （8）C （9）D （10）B 二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 24 分。 （11）24:23 （12）103（13）22(1) 2xy+ += （14）66（15） 3 (16)33,
12、22 +三、解答题 （17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 sin( )yA x = + 的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分 12 分。 （1）解：由2( ) 2 3 sin cos 2cos 1f xxxx= +，得 2( ) 3(2sin cos ) (2cos 1) 3 sin 2 cos 2 2sin(2 )6fx x x x x x x=+=+=+ 所以函数 ()f x 的最小正周期为 因为 () 2sin26fx x=+在区间 0,6 上为增函数，在区间 ,62 上为减函数，又 (0) 1, 2, 162ff f =
13、 ，所以函数 ()f x 在区间 0,2 上的最大值为 2，最小值为-1 （）解：由（1）可知00()2sin26fx x=+又因为06()5fx = ，所以03sin 265x+ =由0,42x ，得0272,636x +从而2004cos 2 1 sin 2665xx += += 所以 00 0 0343cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin66 6 6 6 6 10xx x x =+=+= 18.本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分 12 分。 （1）解：设 X
14、为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 X 25,3B.在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率 222540(2) 13 3 243PX C = = （）解：设“第 i次射击击中目标”为事件 (1,2,3,4,5)iAi= ； “射手在 5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 A,则 123 4 5 1234 5 12345()()()()PA PAAAAA PAAAAA PAAAAA=+ =32 3 2321121123333333 + =881（）解：由题意可知， 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6 312311(0)( )327PPAA= = =
15、123 1 23 123(1)( )( )( )P PAAA PAA A PAAA = + + =2221 1211 223 3 333 3 3 9 + = 123212 4(2)( )333 27PPAA = = 12 3 123(3)( )( )PPAAPAA = + =222111 83333 27 + = 123(6)( )PPAA = =328327=所以 的分布列是 （19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分 12 分。 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系， 点 A
16、 为坐标原点，设 1AB= ,依题意得 (0,2,0)D , (1, 2,1)F ,1(0,0,4)A ,31, , 02E（1） 解：易得10, ,12EF=uuur,1(0,2, 4)AD= uuuur于是1113cos ,5EF ADEF ADEF AD=uuur uuuuruuur uuuurnulluuur uuuur 所以异面直线 EF 与1AD所成角的余弦值为35（2） 证明：已知 (1, 2,1)AF =uuur,131, , 42EA=uuur,11, , 02ED=uuur于是 AFuuur1EAuuur=0， AFuuur EDuuur=0.因此，1AF EA , AF
17、ED ,又1EA ED E= 所以 AF 平面1AED (3)解：设平面 EFD的法向量 (, ,)uxyz=r，则00uEFuED=r uuurnullruuurnull,即102102yzxy+= +=不妨令 X=1,可得 (1, 2 1u= ） 。由（2）可知，AF为平面1AED的一个法向量。 于是2cos , = =3|AFAF|AF|uuu ，从而5sin , =3AFu 所以二面角1A-ED-F的正弦值为53方法二： （1）解：设 AB=1，可得 AD=2,AA 1=4,CF=1.CE=12链接 B 1C,BC1，设 B 1C与BC 1 交于点 M,易知 A 1DB 1C，由1CE
18、 CF 1=CB CC 4,可知 EFBC 1.故BMC 是异面直线 EF 与 A 1D 所成的角，易知BM=CM=11BC= 52,所以2223cos25BM CM BCBMCBM CM+= =null,所以异面直线 FE与A 1D 所成角的余弦值为35（2） 证明： 连接AC， 设AC与DE交点N 因为12CD ECBC AB= = ，所以 Rt DCE Rt CBAnull ，从而 CDE BCA = ，又由于 90CDE CED + = ,所以90BCA CED+=， 故ACDE,又因为CC 1DE 且1CC AC C = ， 所以 DE平面 ACF，从而AFDE. 连接 BF，同理可
19、证 B 1C平面 ABF,从而 AFB 1C,所以 AFA 1D因为1DE AD D=，所以 AF平面 A 1ED (3)解：连接A 1N.FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF 平面ACF, A 1N平面 ACF，所以 DENF,DEA 1N,故1ANF 为二面角 A 1-ED-F 的平面角 易知 RtCNE RtCBAnull ，所以CN ECBCAC= ，又 5AC = 所以55CN = ，在221305Rt NCF NF CF CN Rt A AN=+=null中， 在 中22114305NA A A AN=+= 连接 A 1C1,A1F 在2211 1 11 114Rt AC F
20、AF AC C F=+=中， 22 2111112cos23AN FN AFRt ANF ANFAN FN+= =在中， 。所以15sin3ANF= 所以二面角 A 1-DE-F 正弦值为53（20）本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12 分 （1）解：由3e2ca= ，得2234ac= ，再由222cab= ，得 2ab= 由题意可知， 122 4, 22ab ab= =即 解方程组22abab=得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为2214xy+= (2)解：由（1）可知A（-2
21、,0） 。设B点的坐标为（x 1,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为y=k(x+2), 于是 A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14ykxxy= + =由方程组消去 Y 并整理，得22 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0kx kx k+= 由21 216 42,14kxk=+得 2112228 4,14 14kkxy=+从而 设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为22282(,)14 14kkkk+以下分两种情况： （1）当 k=0时，点 B 的坐标为（2,0） 。线段 AB的垂直平分线为 y 轴，于是 00 0(2, y), (2, = 2QA QB y
22、QA QB y = = null）由 4，得 2 （2）当 K 0 时，线段 AB 的垂直平分线方程为222218()14 14kkYxkk k=+令 x=0，解得0 2614kyk=+由0110(2, y), ( ,QA QB x y y= = ） 21010 22222(2 8 ) 6 4 62( ( )14 14 14 14kkk kQA QB x y y y= + +null ）= 42224(16 15 1)4(1 4 )kkk+=+= 整理得2014 2 1472, =75kk y= 故所以 综上00214=22 =5yy或 （21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调
23、性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分 14 分 （）解：f () (1 )xx xe= 令 f(x)=0,解得 x=1 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 X ( ,1 ) 1 (1, +) f(x) + 0 - f(x) null 极大值 null 所以f(x)在( ,1 )内是增函数，在( 1, +)内是减函数。 函数 f(x)在x=1 处取得极大值 f(1)且f(1)=1e（）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)2xe令 F(x)=f(x)-g(x),即2() ( 2)x xFx xe x e =+ 于是22(
24、 ) ( 1)( 1)x xFx x e e= 当 x1 时，2x-20,从而2x-2e10, 0, Fxe 又所以 (x)0,从而函数 F（x）在1,+)是增函数。 又 F(1)=-1 -1ee 0=，所以x1时，有 F(x)F(1)=0,即f(x)g(x). )证明： （1） 若12 12 12(1)(1)0, ) ), 1.xx xx xx= = = 12由（ ）及f(x f(x 则 与 矛盾。 （2）若12 1212(1)(1)0, ) ), .xx xxxx = = 12由（ ）及f(x f(x 得 与 矛盾。 根据（1） （2）得12 12(1)(1)0, 1, 1.xx xx不妨
25、设 由（）可知， )2f(x )2g(x ,则 )2g(x = )2f(2-x ，所以 )2f(x )2f(2-x ,从而)1f(x )2f(2-x .因为21x ，所以221x 22 x ,即12x x+ 2. (22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。 （）证明：由题设，可得*4,2121aa kNkk=+。 所以1 31( ) ( ) . ( )21 2121 2123aaaa aa aakkkkk= + + + =44(1).41kk+
26、+ =2k(k+1) 由1a =0，得222 ( 1), 2 2 , 2( 1) .21 2 21 22akkaakka kkkk=+ = = =+从而 于是1121 22 22 21,221 12aa aakk kkakakaa+ += =+所以 。 所以*2,22122kdk kNaa akk k=+ +时，对任意 成等比数列。 （）证法一： （i）证明：由2,21 21kaaakk +成等差数列，及 ,22122aa akk k+成等比数列，得21 21 12,2212122 1kaakkaa a qkk kaaqkkk+= +=+=+当1q 1 时，可知kq 1，k *N 从而11 1
27、 111, 1( 2)111211kqqqqkkkkqk=+=即 所以11qk是等差数列，公差为 1。 （）证明：10a = ，22a = ，可得34a = ，从而142,2q = =111q =1.由（）有 *1111, ,1kkkkq kNqkk+=+= = 得 所以2*222 21 1 22 1,21 2 2aa akkk kkkNaa akk k+ += = +（）从而 因此， 2222*2222(1)222 14. . . . . .2 2 . . 2 ( 1),1(1)(2) 12224 2kaa akkkk kkakNkkaa a kk kkk+=+以下分两种情况进行讨论： （1
28、） 当 n 为偶数时，设 n=2m(*mN ) 若m=1,则2222nkkkna=. 若 m2，则 22 221221 1 1221(2 ) (2 1) 42nm m mkk k kkk kkk k kaa a k= = =+=+ + 11 1441 44 1 11122( 1) 2( 1) 2( 1) 2 111 3122(1)(1)222.mm mkk kkk kkmmkk kk kk k kmm nmn = =+ + =+ + =+ + + = + + = 所以31 32 , 2 2, 4,6,8.22nnkknan a=+ =从而 (2)当n 为奇数时，设 n=2m+1（*mN ） 2
29、22 222221(2 1) 3 1 (2 1)422 2( 1)nmkkkkmkkm mmaaa mm=+=+ =+11 314222( 1) 2 1mnmn=+ =+所以22312,21nkkknan=+从而22322,3,572nkkknna= = 综合（1） （2）可知，对任意 2n ,nN ,有223222nkkkna= 证法二： （i）证明：由题设，可得21 2 2 2 2(1),kk kkkkkkda a qaa aq+= = = 212221 2 2 2(1),kkkkkkkkkda a qaqaaqq+= = 所以1kkkdqd+= 23 22 1 11222 22 2 21
30、111kkk k k kkaad d d qqqaqa+ += = =+ =+ =+ 由11q 可知 1, *kqkN。可得111 111111kkkkkqqqqq+ =， 所以11kq是等差数列，公差为 1。 （ii）证明：因为120, 2,aa=所以1212daa= =。 所以3214aad=+=，从而3122aqa=，1111q=。于是，由（i）可知所以11kq是公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得11kq = ( )11kk+ =，故1kkqk+= 。 从而11kkkd kqdk+= 。 所以1 2112 112. . . .121kkkkkddd dkkkddd dk k=，由12d = ，可得 2kdk= 。 于是，由（i）可知()221 221,2, *kkakkakkN+=+ = 以下同证法一。
