1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（文科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部分 3 至 5 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共 50 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 柱体的体积公式 (
2、 ) () ()PA B PA PB+= + VSh= 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ， 13VSh= 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 k 次的概率 () (1 ) ( 0,1,2, )kk nknnPk Cp p k n= 球的表面积公式 台体的体积公式 24SR= ()112213VhSS S=+ 球的体积公式 其中12,SS分别表示台体的上、下底面积， 343V
3、R= h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 50 分） 一、选择 题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）设 21. 4Pxx Qxx PQ= =pp，则 （ A） 12xx pp （ B） 31xx pp （ C） 14xxpp （ D） 21xx pp （ 2）已知函数()() log 1, () 1,f xxfaa=+ =若则（ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 （ 3）设 i 为虚数单位，则51ii=+（ A） 23i （ B） 23i+ （ C） 23i （ D） 23
4、i+ （ 4）某程度框图如图所示，若输出的 57S = ，则判断框内为 （ A） 4?k f （ B） 5?k f （ C） 6?k f （ D） 7?k f （ 5）设1S 为等比数列 na 的前 n 项和，122280SaaS =，则 （ A） 11 （ B） 8 （ C） 5 （ D） 11 （ 6）设 0,2xpp 则“ xsin2 x1”是“ xsin x1”的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 7）若实数 x、 y 满足不等式组330,230,10,xyxyxy+ +则 x+y 的最大值为 （ A） 9 （
5、B）157（ C） 1 （ D）715（ 8）若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的体积是 （ A）33523cm （ B）33203cm （ C）32243cm （ D）31603cm （ 9）已知 x 是函数1() 21fxx=+的一个零点，若20(1, ), 2 ( , )axxxx +，则 （ A）12() 0,() 0fx fxpp （ B）12() 0,() 0fx fxpf （ C）12() 0,() 0fx fxfp （ D）12() 0,() 0fx fxff （ 10）设 O 为坐标原点， F1， F2是双曲线22xa22yb（ a 0， b 0）的焦点，
6、若在双曲线上存在点 P，满足F1P F2=60， OP = 7 a， 则该双曲线的渐近线方程为 （ A） x 3 y=0 （ B） 3 x y=0 (C) x 2 y=0 (D) 2 x y=0 非选择题部分（共 100 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 （ 11）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 ， . （ 12）函数 f(x)=sin2(2x4)的最小正周期是 . （ 13）已知平面向量 ， ， 1, =2， （ 2 ） ，则的值是 . （ 14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 那么位于表中的第 n 行第 n+1 列的
7、数 是 . （ 15）若正实数 x ,y 满足 2x+y+6=xy，则 xy 的最小值是 . （ 16）某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，七月份销售额比六份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x ,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等 .若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元，则 x 的最小值是 . （ 17）在平行四边形 ABCD 中， O 是 AC 与 BD 的交点， P， Q， M， N 分别是线段 OA、 OB、 OC、 OD 的中点 .在 A， P， M， C 中任取一点记为 E，在 B， Q， N， D 中任取一点记为
8、 F.设 G 为满足向量 OG OE OF=+uuur uuur uuur的点，则在上述的点 G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 18） （本题满分 13 分）在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，设 S 为 ABC 的面积，满足 S34（ a2 b2 c2） . （）求角 C 的大小 ; （）求 sinA sinB 的最大值 . （ 19） （本题满分 14 分）设 a1， d 为实数，首项为 a1， z 差为 d 的等差数 an的前
9、n 项和为 Sn，满足 S2S6 15 0. （）若 S5 S.求 Sn及 a1; （ ）求 d 的取值范围 . （ 20） （本题满分 14 分）如图，在平行四边形ABCD 中， AB 2BC， ABC 120， E 为线段 AB的中线，将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A DE，使 平面 A DE平面 BCD， F 为线段 A C 的中点 . （）求证： BF平面 A DE; （）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面 A DE 所成角的余弦值 . （ 21） （本题满分 15 分）已知函数 f（ x）（ a） （ a b） （ a， b R， ab） . （）当 a 1， b
10、 2 时，求曲线 y f（ x）在点（ 2， f（ 2） ）处的切线方程 ; （）设 x1， x2是 f（ x）的两个极值点， x3是 f（ x）的一个零点，且 x3 x1， x3 x2. 证明：存在实数 x4，使得 x1， x2， x3， x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求 x4. （ 22） （本题满分 15 分）已知 m 是非零实数，抛物线 C： y2 2px（ p 0）的焦点 F 在直线 l： x my22m 0 上 . （）若 m 2，求抛物线 C 的方程 ; （）设直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点，过 A， B 分别作抛物线 C 的准线的垂直，垂足为 A1， B1，
11、 AA1F， BB1F 的重心分别为 G， H.求证：对任意非零实数 m，抛物线 C的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外 . 数学（文科）试题参考答案 一、选择 题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 （ 1） D （ 2） B （ 3） C （ 4） A （ 5） A （ 6） B （ 7） A （ 8） B （ 9） B （ 10） D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 （ 11） 45， 46 （ 12）2(13) 10 （ 14） n2+n （ 15） 18 （ 16） 20 （ 17）34三、解答题：本大
12、题共 5 小题，共 72 分。 （ 18）本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。满分 14 分。 ( )解：由题意可知 12absinC=34,2abcosC. 所以 tanC= 3 . 因为 0C ， 所以 C=3. （ )解：由已知 sinA+sinB=sinA+sin( -C-A)=sinA+sin(23-A) =sinA+32A+12sinA= 3 sin(A+6) 3 . 当 ABC 为正三角形时取等号， 所以 sinA+sinB 的最大值是 3 . (19)本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时 考查运算求解能力及分析问题解决问
13、题的能力。满分 14 分。 ( )解：由题意知 S0=5-15S-3, a=S-S=-8 所以1110 5,58.Sa dad+=解得 a1=7 所以 S=-3,a1=7 ( )解：因为 SS+15=0, 所以 (5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a12+9da1+10d2+1=0. 故 (4a1+9d)2=d2-8. 所以 d2 8. 故 d 的取值范围为 d -2 2 或 d 2 2 . (20)本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分 14 分。 ( )证明：取 AD 的中点 G，连结 GF， CE，由条件易
14、知 FG CD， FG=12CD. BE CD,BE=12CD. 所以 FG BE,FG=BE. 故四边形 BEGF 为平行四边形 , 所以 BF平面 A DE. （ )解：在平行四边形 ABCD 中，设 BC=a, 则 AB-CD=2A,AD=AE=EB=a, 连 CE. 因为 ABC=120 , 在 BCE 中，可得 CE= 3 a, 在 ADE 中，可得 DE=a, 在 CDE 中，因为 CD2=CE2+DE2，所以 CE DE, 在正三角形 ADE 中， M 为 DE 中点，所以 A M DE. 由平面 ADE 平面 BCD, 可知 AM平面 BCD,A M CE. 取 A E 的中点
15、 N，连线 NM、 NF， 所以 NF DE,NF A M. 因为 DE 交 A M 于 M, 所以 NF.平面 A DE, 则 FMN 为直线 FM 与平面 A DE 新成角 . 在 Rt FMN 中， NF=32a,MN=12a,FM=a, 则 cos/ =12. 所以直线 FM 与平面 A DE 所成角的余弦值为12. (21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。满分 15 分。 ( )解：当 a=1,b=2 时， 因为 f (x)=(x-1)(3x-5). 故 f (2)=1. 又 f（ 2） 0，
16、 所以 f（ x）在点（ 2， 0）处的切线方程为 y x 2. （）证明：因为 f（ x） 3（ x a） （ x23ab+） ， 由于 ab. 故 a23ab+. 所以 f（ x）的两个极值点为 x a， x23ab+. 不妨设 x1 a ， x223ab+， 因为 x3 x1， x3 x2，且 x3是 f（ x）的零点， 故 x3 b. 又因为23ab+ a 2（ b23ab+） ， x412（ a23ab+）23ab+， 所以 a，23ab+，23ab+， b 依次成等差数列， 所以存在实数 x4满足题意，且 x423ab+. （ 22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆
17、的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。 （）解：因为焦点 F（2P， 0）在直线 l 上，得 p m2， 又 m 2，故 p 4. 所以抛物线 C 的方程为 y2 8x. （）证明：因为抛物线 C 的焦点 F 在直线 l 上， 所以 p， lm2， 所以抛物线 C 的方程为 y2 2m2x. 设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， 由222,22,mxmyy mx=+=消去 x 得 y2 2m3y m4 0， 由于 m 0，故 4m6 4m4 0， 且有 y1 y2 2m3， y1y2 m4， 设 M， M2分别为线段 AA1， B
18、B1的中 点， 由于 212,2 ,M CCFMH HF=uuuur uuur uuuuur uuur可知 G（112,33x y） ， H（222,33x y） ， 所以24212 12(),6636xx myy m mm+=+ 31222 2,63yy m+= 所以 GH 的中点 M22 22,363mmm+. 设 R 是以线段 GH 为直径的圆的半径， 则 R2=142 19GH = (m2+4)(m2+1)m2. 设抛物线的准线与 x 轴交点 N(22m， 0)， 则2MN =2242 32236 3mmm m+ +=19m4(m4+8 m2+4) =19m4(m2+1)( m2+4)+3m2 19m2(m2+1)( m2+4)=R2. 故 N 在以线段 GH 为直径的圆外 .
