1、绝密启封并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页时量 120 分钟，满分 150 分 参考公式：锥体的体积公式为13VSh= ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 1, 2, 3M = ， 2,3, 4N = ，则 A M N B NM C 2,3MN=ID 1, 4MN=U2下列命题中的假命题是 A Rx ，120x B Nx ， ()10x2 C Rx ， lg1 D Rx ，
2、 tan 2x = 3极坐标方程 cos = 和参数方程1,23x ty t= +（ t 为参数）所表示的图形分别是 A圆、直线 B直线、圆 C圆、圆 D直线、直线 4在 Rt ABC 中， 90C=o， 4AC = ，则 AB ACuuuruuurnull 等于 A 16 B 8 C 8 D 16 5421dxx等于 A 2ln2 B 2ln2 C ln 2 D ln 2 6在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c若 120C=o， 2ca= ，则 A a b B a b C a=b D a 与 b 的大小关系不能确定 7在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个
3、排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A 10 B 11 C 12 D 15 8用 ,min ba 表示 a， b 两数中的最小值，若函数 |,min|)( txxxf += 的图象关于直线21=x 对称，则 t 的值为 A -2 B 2 C -1 D 1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9已知一种材料的最佳加入量在 110g 到 210g 之间 .若用 0.618 法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 . 10如图 1 所示
4、，过 O 外一点 P 作一直线与 O 交于 A， B 两点 .已知 PA=2，点 P 到 O 的切线长 PT=4，则弦 AB 的长为 . 11在区间 -1， 2上随机取一个数 x，则 1| x 的概率为 . 12图 2 是求222123+2+100 的值的程序框图，则正整数 n = 错误！ 13图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 203cm 的几何体的三视图，则 h = cm 14过抛物线22( 0)xpyp= 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 ,AB两点， ,AB在x 轴上的正射影分别为 ,DC若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ，则 p = 15若数列 na 满足：对任意的
5、nN ，只有有限个正整数 m 使得man 成立，记这样的m 的个数为 ()na，则得到一个新数列 ()na例如，若数列 na 是 1, 2, 3 ,n， ，则数列 ()na是 0,1, 2, 1,n， 已知对任意的 Nn ，2nan= ，则5()a= ， ( ) )na= 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数2() 3sin2 2sinf xxx= （）求函数 ()f x 的最大值； （ II）求函数 )(xf 的零点集合 . 17 （本小题满分 12 分） 图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位
6、：吨）的频率分布直方图 . （ I）求直方图中 x 的值； （ II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民（看作有放回的抽样） ，求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望 . 18 （本小题满分 12 分） 如图 5 所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是棱 DD1的中点 . （ I）求直线 BE 和平面 ABB1A1所成角的正弦值； （ II）在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F/平面 A1BE？证明你的结论 . 19 （本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A， B 两点各建一个考察基
7、地视冰川面为平面形，以过 A， B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（图 6） 在直线 2x = 的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超过655km的区域；在直线 2x = 的左侧，考察范围为到 A， B 两点的距离之和不超过 45km 的区域 （）求考察区域边界曲线的方程； （）如图 6 所示，设线段12PP ，23PP是冰川的部分边界线（不考虑其他边界） ，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 20 （本小题满分 13 分） 已
8、知函数 ),()(2Rcbcbxxxf += ，对任意 Rx ，恒有 ).()( xfxf （ I）证明：当 0x 时， ;)()(2cxxf + （ II）若对满足题设条件的任意 b， c，不等式 )()()(22bcMbfcf 恒成立，求 M的最小值 . 21 （本小题满分 13 分） 数列 )(*Nnan 中，11,+=naaa 是函数 xanxnaxxfnnn22233)3(2131)( += 的极小值点 . （ I）当 a=0 时，求通项 ;na （ II）是否存在 a，使数列 na 是等比数列？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 参考答案 一、选择题：本大题共8小
9、题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 4 CBAD 5 8 DABD 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9 171.81 或 48.2 10 6 113212 100 13 4 14 2 15 2，2n 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16解： （ I）因为 )2cos1(2sin3)( xxxf = ,1)62sin( +=x 所以，当2262+=+ kx ，即 )(6Zkkx += 时，函数 )(xf 取得最大值 1. （ II）解法 1 由（ I）
10、及 0)( =xf 得21)62sin( =+x ，所以 6262+=+ kx ，或 ,65262+=+ kx 即3, += kxkx 或 故函数 )(xf 的零点的集合为 ,3,| Zkkxkxx += 或 解法 2 由 0)( =xf 得 ,sin2cossin322xxx = 于是 0sin =x ，或 xsincos3 = 即 .3tan =x 由 kxx = 可知0sin ；由 3tan =x 可知 .3 += kx 故函数 )(xf 的零点的集合为 ,3,| Zkkxkxx += 或 17解： （ I）依题意及频率分布直方图知， 0.02+0.1+x+0.37+0.39=1, 解得
11、 x=0.12. （ II）由题意知， XB（ 3， 0.1） . 因此 ,243.09.01.0)1(,729.09.0)0(21303= CXPCXP .001.01.0)3(,027.09.01.0)2(333223= CXPCXP 故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0 729 0 243 0 027 0 001 X 的数学期望为 EX=3 0.1=0.3. 18解法 1 设正方体的棱长为 1，如图所示，以1, AAADAB 为单位正交基底建立空间直角坐标系 . （ I）依题意，得 B（ 1， 0， 0） ， E（21,1,0 ） ， A（ 0， 0， 0） ， D（
12、0， 1， 0） ，所以 ).0,1,0(),21,1,1( = ADBE 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，因为 AD平面 ABB1A1，所以 AD 是平面 ABB1A1的一个法向量， 设直线 BE 和平面 ABB1A1所成的角为 ，则 .321231|sin =ADBEADBE 即直线 BE 和平面 ABB1A1所成的角的正弦值为 .32（ II）依题意，得 )21,1,1(),1,0,1(),1,0,0(11= BEBAA 设 ),( zyxn = 是平面 A1BE 的一个法向量，则由 0,01= BEnBAn ，得 =+=+,0210zyxzx所以 .21, zyzx = 取 )
13、2,1,2(,2 = nz 得 设 F 是棱 C1D 上的点，则 F（ t， 1， 1） ).10( t 又 ),1,0,1(1B 所以 ).0,1,1(1= tFB D 而 FB1平面 A1BE，于是 B1F/平面 A1BE 01)1(20)2,1,2()0,1,1(01=+= ttnFB Ft =21为 C1D1的中点，这说明在棱 C1D1上存在点 F（ C1D1的中点） ，使 B1F/平面 A1BE. 解法 2（ I）如图（ a）所示，取 AA1的中点 M，连结 EM， BM.因为 E 是 DD1的中点，四边形 ADD1A2为正方形，所以 EM/AD. 又在正方体 ABCD A1B1C1
14、D1中， AD平面 ABB1A1，所以 EM平面 ABB1A1，从而BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1上的射影， EBM 为 BE 和平面 ABB1A1所成的角 . 设正方体的棱长为 2，则 EM=AD=2， .3122222=+=BE 于是， 在 BEMRt 中， .32sin =BEEMEBM 即直线 BE 和平面 ABB1A1所成的角的正弦值为 .32 （ II）在棱 C1D 上存在点 F，使 B1F/平面 A1BE. 事实上，如图（ b）所示，分别取 C1D1和 CD 的中点为 F， G，连结 EG， BG， CD1，FG.因 A1D1/B1C1/BC， 且 A1D1=BC， 所
15、以四边形 A1BCD1是平行四边形， 因此， D1C/A1B.又 E， G 分别为 D1D， CD 的中点，所以 EG/D1C，从而 EG/A1B，这说明 A1， B， G，E，共面，所以 BG平面 A1BE. 因四边形 C1CDD1与 B1BCC1皆为正方形， F， G 分别为 C1D1和 CD 的中点，所以FG/C1C/B1B，且 FG=C1C=B1B，因此四边形 B1BGF 是平行四边形，所以 B1F/BG，而B1F平面 A1BE， BG平面 A1BE，故 B1F/平面 A1BE. 19解： （ I）设边界曲线上点 P 的坐标为 ).,( yx 当 2x 时，由 54| =+ PBPA
16、知，点 P 在以 A， B，为焦点，长轴长为 542 =a的椭圆上，此时短半轴长 .24)52(22=b 因而其方程为 .142022=+yx故考察区域边界曲线（如图）的方程为 ).2(1420:)2(536)4(:222221= dd 而 ，所以考察区域边界到冰川边界的线的最短距离为 3. 设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为 n 年，则由题设及等比数列求和公式， 得 312)12(2.0n，所以 .4n 故冰川界线移动到考察区域所需的最短时间为 4 年 . 20解： （ I）易知 .2)( bxxf += 由题设，对任意的 ,2,2cbxxbxRx + 即 0)2(2+ bcxbx 恒成
17、立，所以 0)(4)2(2 bcb ， 从而 .142+bc 于是 .0)(2|,|142,12+= bccbcbbcc 因此且 故当 0x 时，有 0)1()2()()(2+=+ ccxbcxfcx 即当 0x 时， .)()(2cxxf + （ II）由（ I）知， .| bc 当 | bc 时，有 .2)()(2222222cbbcbcbbcbcbcvfcfM+=+= 令 .1122,11,tcbbctcbt+=+时， M 的取值集合为 .,23+ 当 | bc = 时，由（ I）知， .2,2 = cb 此时 ,0,08)()(22= bcbfcf 或 从而 )(23)()(22bcb
18、fcf 恒成立 . 综上所述， M 的最小值为 .2321解：易知 ).)(3(2)3()(2222nxaxanxnaxxfnnnn=+= 令 .,3,0)(221nxaxxfnn= 得 （ 1）若 ,32nan 时 单调递增 . 故2)( nxxfn=在 取得极小值 . （ 2）若 ,32nan 仿（ 1）得， )(xfn在nax 3= 取得极小值 . （ 3）若 )(,0)(,32xfxfnannn= 则 无极值 . （）当 0=a 时， .13,0211=a ，则由（ 2）知， 43334= aa . 又因为 ,436324=a 则由（ 2）知， .433245= aa 由此猜测：当 3
19、n 时， .343=nna 下面先用数学归纳法证明：当 3n 时， .32nan 事实上，当 3=n 时，由前面的讨论知结论成立 . 假设当23,)3( kakknk= 时 成立，则由（ 2）知，213 kaakk=+，从而 012)2(2)1(3)1(32221+=+kkkkkkak， 所以 .)1(321+kak故当 3n 时，23 nan 成立 . 于是由（ 2）知，当 3n 时， 4,331=+aaann而 ，因此 .343=nna 综上所述，当 a=0 时， ).3(34,1,0321=naaann（ II）存在 a，使数 列 na 是等比数列， 事实上，由（ 2）知，若对任意的 n
20、，都有23 nan ，则 .31 nnaa =+即数列 na 是首项为 a，公比为 3 的等比数列，且 .31=nnaa 而要使23 nan ，即*23 Nnnan 对一切 都成立，只需nna32 对一切*Nn 都成立 .记 ,31,94,31,33212= bbbnbnn则 令xxy32= ，则 )2(31)3ln2(3122xxxxyxxy ，从而函数xxy32= 在 )+,2 上单调递减，故当 2n 时，数列 nb 单调递减，即数列 nb 中最大项为 .942=b 于是当94a 时，必有 .32nna 这说明，当 ),94( +a 时，数列 na 是等比数列 . 当 ,243.34,94,942221= aaaa 而可得时 由（ 3）知， )(2xf 无极值，不合题意 . 当9431 a 时，可得 ,12,4,3,4321= aaaaaa ，数列 na 不是等比数列 . 当 ,113,312= aa 时 由（ 3）知， )(1xf 无极值，不合题意 . 当 ,12,4,1,314321= aaaaaa 可得时 ，数列 na 不是等比数列 . 综上所述，存在 a，数列 na 是等比数列，且 a 的取值范围为 ).,94( +
