1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 浙 江 卷 ） 数 学 理一 .选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )已 知 i是 虚 数 单 位 ， 则 (-1+i)(2-i)=( )A.-3+iB.-1+3iC.-3+3iD.-1+i解 析 ： (-1+i)(2-i)=-2+i+2i+1=-1+3i，答 案 ： B. 2.(5分 )设 集 合 S=x|x -2， T=x|x2+3x-4 0， 则 (CRS
2、) T=( )A.(-2， 1B.(- ， -4C.(- ， 1D.1， + )解 析 ： 集 合 S=x|x -2， CRS=x|x -2，由 x2+3x-4 0 得 ： T=x|-4 x 1， 故 (CRS) T=x|x 1.答 案 ： C.3.(5分 )已 知 x， y 为 正 实 数 ， 则 ( )A.2 lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx 2lgyC.2lgx lgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx 2lgy解 析 ： 因 为 as+t=as at， lg(xy)=lgx+lgy(x， y为 正 实 数 )， 所 以 2lg(xy)=2l
3、gx+lgy=2lgx 2lgy， 满 足上 述 两 个 公 式 .答 案 ： D.4.(5分 )已 知 函 数 f(x)=Acos( x+ )(A 0， 0， R)， 则 “ f(x)是 奇 函 数 ” 是“ = ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 若 = ， 则 f(x)=Acos( x+ )f(x)=-Asin( x)(A 0， 0， x R)是 奇 函数 ；若 f(x)是 奇 函 数 f(0)=0， f(0)=Acos( 0+ )=Acos =0. =k + ， k
4、Z， 不 一 定 有 = ， “ f(x)是 奇 函 数 ” 是 “ = ” 必 要 不 充 分 条 件 . 答 案 ： B.5.(5分 )某 程 序 框 图 如 图 所 示 ， 若 该 程 序 运 行 后 输 出 的 值 是 ， 则 ( ) A.a=4B.a=5C.a=6D.a=7解 析 ： 由 已 知 可 得 该 程 序 的 功 能 是计 算 并 输 出 S=1+ + + =1+1- =2- .若 该 程 序 运 行 后 输 出 的 值 是 ， 则 2- = . a=4，答 案 ： A.6.(5分 )已 知 ， 则 tan2 =( ) A.B.C.D.解 析 ： ， 又 sin 2 +co
5、s2 =1， 联 立 解 得 ， 或 ， 故 tan = = ， 或 tan =3，代 入 可 得 tan2 = = =- ，或 tan2 = = = .答 案 ： C7.(5分 )设 ABC， P 0是 边 AB 上 一 定 点 ， 满 足 ， 且 对 于 边 AB 上 任 一 点 P， 恒 有则 ( )A. ABC=90B. BAC=90C.AB=ACD.AC=BC解 析 ： 以 AB所 在 的 直 线 为 x 轴 ， 以 AB的 中 垂 线 为 y轴 建 立 直 角 坐 标 系 ， 设 AB=4， C(a， b)， P(x， 0)， 则 BP0=1， A(-2， 0)， B(2， 0)，
6、 P0(1， 0)， =(1， 0)， =(2-x， 0)， =(a-x， b)， =(a-1， b)， 恒 有 ， (2-x)(a-x) a-1恒 成 立 ， 整 理 可 得 x2-(a+2)x+a+1 0恒 成 立 ，令 f(x)=x2-(a+2)x+a+1，当 a+2 -2， 必 有 f(-2) 0， 无 解 ；当 a+2 2， 必 有 f(2) 0， 无 解 ； 当 -2 a+2 2， 必 有 =(a+2)2-4(a+1) 0， 即 =a2 0， a=0， 即 C 在 AB 的 垂 直 平 分 线 上 ， AC=BC， 故 ABC为 等 腰 三 角 形 .答 案 ： D8.(5分 )已
7、 知 e为 自 然 对 数 的 底 数 ， 设 函 数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1， 2)， 则 ( )A.当 k=1 时 ， f(x)在 x=1处 取 得 极 小 值B.当 k=1 时 ， f(x)在 x=1处 取 得 极 大 值C.当 k=2 时 ， f(x)在 x=1处 取 得 极 小 值D.当 k=2 时 ， f(x)在 x=1处 取 得 极 大 值解 析 ： 当 k=1时 ， 函 数 f(x)=(e x-1)(x-1). 求 导 函 数 可 得 f(x)=ex(x-1)+(ex-1)=(xex-1)， f(1)=e-1 0， f(2)=2e2-1 0，则 f(x)在
8、在 x=1处 与 在 x=2处 均 取 不 到 极 值 ，当 k=2时 ， 函 数 f(x)=(ex-1)(x-1)2.求 导 函 数 可 得 f(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=(x-1)(xex+ex-2)， 当 x=1， f(x)=0， 且 当 x 1 时 ， f(x) 0， 当 x0 x 1 时 (x0为 极 大 值 点 )， f(x) 0，故 函 数 f(x)在 (1， + )上 是 增 函 数 ；在 (x0， 1)上 是 减 函 数 ， 从 而 函 数 f(x)在 x=1取 得 极 小 值 .对 照 选 项 .答 案 ： C.9.(5分 )如 图 F 1、 F2是
9、 椭 圆 C1： +y2=1 与 双 曲 线 C2的 公 共 焦 点 A、 B分 别 是 C1、 C2在 第 二 、四 象 限 的 公 共 点 ， 若 四 边 形 AF1BF2为 矩 形 ， 则 C2的 离 心 率 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 设 |AF1|=x， |AF2|=y， 点 A 为 椭 圆 C1： +y2=1 上 的 点 ， 2a=4， b=1， c= ； |AF1|+|AF2|=2a=4， 即 x+y=4； 又 四 边 形 AF 1BF2为 矩 形 ， + = ， 即 x2+y2=(2c)2= =12， 由 得 ： ， 解 得 x=2- ， y=2+ ， 设 双 曲
10、线 C2的 实 轴 长 为 2a， 焦 距 为 2c，则 2m=|AF 2|-|AF1|=y-x=2 ， 2n=2 =2 ， 双 曲 线 C2的 离 心 率 e= = = .答 案 ： D.10.(5分 )在 空 间 中 ， 过 点 A 作 平 面 的 垂 线 ， 垂 足 为 B， 记 B=f (A).设 ， 是 两 个 不 同的 平 面 ， 对 空 间 任 意 一 点 P， Q1=f f (P)， Q2=f f (P)， 恒 有 PQ1=PQ2， 则 ( )A.平 面 与 平 面 垂 直B.平 面 与 平 面 所 成 的 (锐 )二 面 角 为 45C.平 面 与 平 面 平 行D.平 面
11、与 平 面 所 成 的 (锐 )二 面 角 为 60解 析 ： 设 P 1=f (P)， 则 根 据 题 意 ， 得 点 P1是 过 点 P 作 平 面 垂 线 的 垂 足 ， Q 1=f f (P)=f (P1)， 点 Q1是 过 点 P1作 平 面 垂 线 的 垂 足 ，同 理 ， 若 P2=f (P)， 得 点 P2是 过 点 P 作 平 面 垂 线 的 垂 足 ，因 此 Q2=f f (P)表 示 点 Q2是 过 点 P2作 平 面 垂 线 的 垂 足 ， 对 任 意 的 点 P， 恒 有 PQ1=PQ2， 点 Q1与 Q2重 合 于 同 一 点 ，由 此 可 得 ， 四 边 形 PP
12、1Q1P2为 矩 形 ， 且 P1Q1P2是 二 面 角 -l- 的 平 面 角 ， P1Q1P2是 直 角 ， 平 面 与 平 面 垂 直 .答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 28分 . 11.(4分 )设 二 项 式 的 展 开 式 中 常 数 项 为 A， 则 A= .解 析 ： 二 项 式 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为T r+1= (-1)r =(-1)r .令 =0， 解 得 r=3， 故 展 开 式 的 常 数 项 为 - =-10，答 案 ： -10.12.(4分 )若 某 几 何 体 的 三 视 图 (单
13、 位 ： cm)如 图 所 示 ， 则 此 几 何 体 的 体 积 等 于 cm3. 解 析 ： 几 何 体 为 三 棱 柱 去 掉 一 个 三 棱 锥 后 的 几 何 体 ， 底 面 是 直 角 三 角 形 ， 直 角 边 分 别 为 3，4， 侧 面 的 高 为 5， 被 截 取 的 棱 锥 的 高 为 3.如 图 ：V 棱 柱 = =16(cm3).故 答 案 为 ： 1613.(4分 )设 z=kx+y， 其 中 实 数 x， y满 足 ， 若 z的 最 大 值 为 12， 则 实 数 k= .解 析 ： 可 行 域 如 图 ： 由 得 ： A(4， 4)， 同 样 地 ， 得 B(0
14、， 2)， 当 k - 时 ， 目 标 函 数 z=kx+y在 x=4， y=4时 取 最 大 值 ， 即 直 线 z=kx+y在 y 轴 上 的 截 距z最 大 ， 此 时 ， 12=4k+4， 故 k=2. 当 k 时 ， 目 标 函 数 z=kx+y在 x=0， y=2时 取 最 大 值 ， 即 直 线 z=kx+y在 y轴 上 的 截距 z 最 大 ， 此 时 ， 12=0 k+2， 故 k 不 存 在 .综 上 ， k=2.答 案 ： 2.14.(4分 )将 A， B， C， D， E， F 六 个 字 母 排 成 一 排 ， 且 A， B 均 在 C的 同 侧 ， 则 不 同 的
15、排 法 共 有 种 (用 数 字 作 答 )解 析 ： 按 C的 位 置 分 类 ， 在 左 1， 左 2， 左 3， 或 者 在 右 1， 右 2， 右 3，因 为 左 右 是 对 称 的 ， 所 以 只 看 左 的 情 况 最 后 乘 以 2 即 可 .当 C 在 左 边 第 1个 位 置 时 ， 有 A ，当 C 在 左 边 第 2个 位 置 时 A A ，当 C 在 左 边 第 3个 位 置 时 ， 有 A A +A A ，共 为 240种 ， 乘 以 2， 得 480.则 不 同 的 排 法 共 有 480种 .答 案 ： 480.15.(4分 )设 F 为 抛 物 线 C： y 2
16、=4x 的 焦 点 ， 过 点 P(-1， 0)的 直 线 l交 抛 物 线 C 于 两 点 A， B，点 Q 为 线 段 AB 的 中 点 ， 若 |FQ|=2， 则 直 线 l 的 斜 率 等 于 . 解 析 ： 由 题 意 设 直 线 l的 方 程 为 my=x+1， 联 立 得 到 y2-4my+4=0， =16m2-16=16(m2-1) 0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， Q(x0， y0). y1+y2=4m， =2m， x0=my0-1=2m2-1. Q(2m2-1， 2m)，由 抛 物 线 C： y 2=4x得 焦 点 F(1， 0). |QF|=2， ， 化
17、 为 m2=1， 解 得 m= 1， 不 满 足 0.故 满 足 条 件 的 直 线 l不 存 在 .答 案 ： 不 存 在 .16.(4分 ) ABC中 ， C=90 ， M是 BC的 中 点 ， 若 ， 则 sin BAC= .解 析 ： 如 图 ， 设 AC=b， AB=c， CM=MB= ， MAC= ， 在 ABM中 ， 由 正 弦 定 理 可 得 = ， 代 入 数 据 可 得 = ， 解 得sin AMB= ，故 cos =cos( - AMC)=sin AMC=sin( - AMB)=sin AMB= ，而 在 RT ACM中 ， cos = = ，故 可 得 = ， 化 简
18、可 得 a 4-4a2b2+4b4=(a2-2b2)2=0，解 之 可 得 a= b， 再 由 勾 股 定 理 可 得 a2+b2=c2， 联 立 可 得 c= ， 故 在 RT ABC中 ， sin BAC= = = = ，答 案 ：17.(4分 )设 、 为 单 位 向 量 ， 非 零 向 量 =x +y ， x、 y R.若 、 的 夹 角 为30 ， 则 的 最 大 值 等 于 .解 析 ： 、 为 单 位 向 量 ， 和 的 夹 角 等 于 30 ， =1 1 cos30 = . 非 零 向 量 =x +y ， | |= = = ， = = = = ，故 当 =- 时 ， 取 得 最
19、 大 值 为 2，答 案 ： 2.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 72分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .18.(14分 )在 公 差 为 d 的 等 差 数 列 a n中 ， 已 知 a1=10， 且 a1， 2a2+2， 5a3成 等 比 数 列 .( )求 d， an；( )若 d 0， 求 |a1|+|a2|+|a3|+ +|an|.解 析 ： ( )直 接 由 已 知 条 件 a1=10， 且 a1， 2a2+2， 5a3成 等 比 数 列 列 式 求 出 公 差 ， 则 通 项 公式 an可 求 ；( )利
20、 用 ( )中 的 结 论 ， 得 到 等 差 数 列 an的 前 11 项 大 于 等 于 0， 后 面 的 项 小 于 0， 所 以 分类 讨 论 求 d 0 时 |a1|+|a2|+|a3|+ +|an|的 和 .答 案 ： ( )由 题 意 得 ， 即 ，整 理 得 d 2-3d-4=0.解 得 d=-1 或 d=4.当 d=-1时 ， an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+11.当 d=4时 ， an=a1+(n-1)d=10+4(n-1)=4n+6.所 以 an=-n+11 或 an=4n+6；( )设 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 因 为 d 0， 由
21、( )得 d=-1， an=-n+11.则 当 n 11时 ， .当 n 12 时 ， |a 1|+|a2|+|a3|+ +|an|=-Sn+2S11= . 综 上 所 述 ， |a1|+|a2|+|a3|+ +|an|= .19.(14分 )设 袋 子 中 装 有 a 个 红 球 ， b 个 黄 球 ， c个 蓝 球 ， 且 规 定 ： 取 出 一 个 红 球 得 1分 ，取 出 一 个 黄 球 2分 ， 取 出 蓝 球 得 3分 .(1)当 a=3， b=2， c=1时 ， 从 该 袋 子 中 任 取 (有 放 回 ， 且 每 球 取 到 的 机 会 均 等 )2 个 球 ， 记 随机 变
22、 量 为 取 出 此 2球 所 得 分 数 之 和 .求 分 布 列 ；(2)从 该 袋 子 中 任 取 (且 每 球 取 到 的 机 会 均 等 )1 个 球 ， 记 随 机 变 量 为 取 出 此 球 所 得 分 数 .若， 求 a： b： c.解 析 ： (1) 的 可 能 取 值 有 ： 2， 3， 4， 5， 6， 求 出 相 应 的 概 率 可 得 所 求 的 分 布 列 ； (2)先 列 出 的 分 布 列 ， 再 利 用 的 数 学 期 望 和 方 差 公 式 ， 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)由 题 意 得 =2， 3， 4， 5， 6，P( =2)= = ；
23、P( =3)= = ； P( =4)= = ；P( =5)= = ； P( =6)= = .故 所 求 的 分 布 列 为(2)由 题 意 知 的 分 布 列 为 E = =D =(1- )2 +(2- )2 +(3- )2 = .得 ， 解 得 a=3c， b=2c， 故 a： b： c=3： 2： 1.20.(15分 )如 图 ， 在 四 面 体 A-BCD 中 ， AD 平 面 BCD， BC CD， AD=2， BD=2 .M 是 AD 的 中点 ， P是 BM的 中 点 ， 点 Q在 线 段 AC上 ， 且 AQ=3QC. (1)证 明 ： PQ 平 面 BCD；(2)若 二 面 角
24、 C-BM-D的 大 小 为 60 ， 求 BDC的 大 小 .解 析 ： (1)取 BD 的 中 点 O， 在 线 段 CD 上 取 点 F， 使 得 DF=3CF， 连 接 OP、 OF、 FQ.根 据 平 行 线分 线 段 成 比 例 定 理 结 合 三 角 形 的 中 位 线 定 理 证 出 四 边 形 OPQF 是 平 行 四 边 形 ， 从 而 PQ OF，再 由 线 面 平 行 判 定 定 理 ， 证 出 PQ 平 面 BCD；(2)过 点 C 作 CG BD， 垂 足 为 G， 过 G 作 GH BM 于 H， 连 接 CH.根 据 线 面 垂 直 的 判 定 与 性 质证 出
25、 BM CH， 因 此 CHG是 二 面 角 C-BM-D的 平 面 角 ， 可 得 CHG=60 .设 BDC= ， 用 解 直角 三 角 形 的 方 法 算 出 HG和 CG 关 于 的 表 达 式 ， 最 后 在 Rt CHG 中 ， 根 据 正 切 的 定 义 得 出tan CHG= = ， 从 而 得 到 tan = ， 由 此 可 得 BDC.答 案 ： (1)取 BD的 中 点 O， 在 线 段 CD 上 取 点 F， 使 得 DF=3CF， 连 接 OP、 OF、 FQ. ACD中 ， AQ=3QC且 DF=3CF， QF AD 且 QF= AD， BDM中 ， O、 P 分
26、别 为 BD、 BM 的 中 点 ， OP DM， 且 OP= DM， 结 合 M为 AD中 点 得 ： OP AD 且 OP= AD， OP QF 且 OP=QF， 可 得 四 边 形 OPQF 是 平 行 四 边 形 ， PQ OF， PQ平 面 BCD且 OF平 面 BCD， PQ 平 面 BCD；(2)过 点 C 作 CG BD， 垂 足 为 G， 过 G 作 GH BM于 H， 连 接 CH， AD 平 面 BCD， CG平 面 BCD， AD CG，又 CG BD， AD、 BD是 平 面 ABD内 的 相 交 直 线 ， CG 平 面 ABD， 结 合 BM平 面 ABD， 得C
27、G BM， GH BM， CG、 GH 是 平 面 CGH内 的 相 交 直 线 ， BM 平 面 CGH， 可 得 BM CH，因 此 ， CHG是 二 面 角 C-BM-D的 平 面 角 ， 可 得 CHG=60 ， 设 BDC= ， 可 得 ，Rt BCD中 ， CD=BDcos =2 cos ， CG=CDsin = sin cos ， BG=BCsin =2 sin2 ， Rt BMD中 ， HG= = ； Rt CHG 中 ， tan CHG= = ， tan = ， 可 得 =60 ， 即 BDC=60 .21.(15分 )如 图 ， 点 P(0， -1)是 椭 圆 C1： +
28、=1(a b 0)的 一 个 顶 点 ， C1的 长 轴 是 圆C 2： x2+y2=4的 直 径 ， l1， l2是 过 点 P 且 互 相 垂 直 的 两 条 直 线 ， 其 中 l1交 圆 C2于 A、 B两 点 ，l2交 椭 圆 C1于 另 一 点 D.(1)求 椭 圆 C 1的 方 程 ；(2)求 ABD面 积 的 最 大 值 时 直 线 l1的 方 程 .解 析 ： (1)由 题 意 可 得 b=1， 2a=4， 即 可 得 到 椭 圆 的 方 程 ；(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0).由 题 意 可 知 ： 直 线 l1的 斜 率 存 在 ，
29、 设 为 k， 则 直 线l1的 方 程 为 y=kx-1.利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 弦 长 公 式 即 可 得 出 圆 心 O到 直 线 l1的 距 离 和弦 长 |AB|， 又 l2 l1， 可 得 直 线 l2的 方 程 为 x+kx+k=0， 与 椭 圆 的 方 程 联 立 即 可 得 到 点 D的横 坐 标 ， 即 可 得 出 |PD|， 即 可 得 到 三 角 形 ABD 的 面 积 ， 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 即 可 得 出 其 最大 值 ， 即 得 到 k 的 值 .答 案 ： (1)由 题 意 可 得 b=1， 2a=4， 即 a=2.
30、椭 圆 C 1的 方 程 为 ；(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0).由 题 意 可 知 ： 直 线 l1的 斜 率 存 在 ， 设 为 k， 则 直 线 l1的 方 程 为 y=kx-1.又 圆 的 圆 心 O(0， 0)到 直 线 l1的 距 离d= . |AB|= = .又 l 2 l1， 故 直 线 l2的 方 程 为 x+ky+k=0， 联 立 ， 消 去 y 得 到 (4+k2)x2+8kx=0，解 得 ， . 三 角 形 ABD的 面 积 . = ， 当 且 仅 当 时 取 等号 ， 故 所 求 直 线 l1的 方 程 为 .22.(14分 )
31、已 知 a R， 函 数 f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.(1)求 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 方 程 ；(2)当 x 0， 2时 ， 求 |f(x)|的 最 大 值 .解 析 ： (1)求 出 原 函 数 的 导 函 数 ， 求 出 函 数 取 x=1 时 的 导 数 值 及 f(1)， 由 直 线 方 程 的 点 斜 式写 出 切 线 方 程 ；(2)求 出 原 函 数 的 导 函 数 ， 分 a 0， 0 a 1， a 1三 种 情 况 求 |f(x)|的 最 大 值 .特 别 当 0 a 1时 ， 仍 需 要 利 用 导 数 求 函 数 在 区
32、 间 (0， 2)上 的 极 值 ， 然 后 在 根 据 a 的 范 围 分 析 区 间 端点 值 与 极 值 绝 对 值 的 大 小 .答 案 ： (1)因 为 f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3， 所 以 f (x)=3x2-6x+3a，故 f (1)=3a-3， 又 f(1)=1， 所 以 所 求 的 切 线 方 程 为 y=(3a-3)x-3a+4；(2)由 于 f (x)=3(x-1)2+3(a-1)， 0 x 2.故 当 a 0 时 ， 有 f (x) 0， 此 时 f(x)在 0， 2上 单 调 递 减 ， 故|f(x)|max=max|f(0)|， |f(2)|=3-3a
33、.当 a 1 时 ， 有 f (x) 0， 此 时 f(x)在 0， 2上 单 调 递 增 ， 故|f(x)| max=max|f(0)|， |f(2)|=3a-1.当 0 a 1时 ， 由 3(x-1)2+3(a-1)=0， 得 ， .所 以 ， 当 x (0， x1)时 ， f (x) 0， 函 数 f(x)单 调 递 增 ；当 x (x1， x2)时 ， f (x) 0， 函 数 f(x)单 调 递 减 ；当 x (x2， 2)时 ， f (x) 0， 函 数 f(x)单 调 递 增 .所 以 函 数 f(x)的 极 大 值 ， 极 小 值.故 f(x 1)+f(x2)=2 0， .从 而 f(x1) |f(x2)|.所 以 |f(x)|max=maxf(0)， |f(2)|， f(x1).当 0 a 时 ， f(0) |f(2)|.又 =故 . 当 时 ， |f(2)|=f(2)， 且 f(2) f(0).又 = .所 以 当 时 ， f(x1) |f(2)|.故 .当 时 ， f(x 1) |f(2)|.故 f(x)max=|f(2)|=3a-1.综 上 所 述 |f(x)|max= .
