1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 卷 )数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 A=1， 2， 3， B=2， 3， 4， 则 A B=( )A.1， 2， 3， 4B.1， 2， 3C.2， 3， 4D.1， 3， 4解 析 ： A=1， 2， 3， B=2， 3， 4， A B=1， 2， 3， 4答 案 ： A. 2.(1+i)(2+i)=( )A.1-iB.1+
2、3iC.3+iD.3+3i解 析 ： 原 式 =2-1+3i=1+3i.答 案 ： B.3.函 数 sin 2 3f x x 的 最 小 正 周 期 为 ( )A.4B.2 C.D. 2解 析 ： 函 数 sin 2 3f x x 的 最 小 正 周 期 为 ： 22 .答 案 ： C.4.设 非 零 向 量 ab ， 满 足 -a b a b 则 ( )A.a b B. a b C.a b D. a b 解 析 ： 非 零 向 量 ab ， 满 足 -a b a b ， 2 2-a b a b ，解 得 0a b ， a b .答 案 ： A.5.若 a 1， 则 双 曲 线 2 22 1x
3、 ya 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 ( )A.( 2 ， + )B.( 2 ， 2) C.(1， 2 )D.(1， 2)解 析 ： a 1， 则 双 曲 线 2 22 1x ya 的 离 心 率 为 ： 2 21 11 1 2c aa a a ， .答 案 ： C.6.如 图 ， 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 粗 实 线 画 出 的 是 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 该 几 何 体 由 一平 面 将 一 圆 柱 截 去 一 部 分 后 所 得 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.90B.63C.42D.36解 析 ： 由 三 视 图 可
4、 得 ， 直 观 图 为 一 个 完 整 的 圆 柱 减 去 一 个 高 为 6 的 圆 柱 的 一 半 ，2 213 10 3 6 632V . 答 案 ： B.7.设 x， y 满 足 约 束 条 件 2 3 3 02 3 3 03 0 x yx yy ， 则 z=2x+y的 最 小 值 是 ( )A.-15B.-9C.1D.9解 析 ： x、 y满 足 约 束 条 件 2 3 3 02 3 3 03 0 x yx yy 的 可 行 域 如 图 ： z=2x+y经 过 可 行 域 的 A 时 ， 目 标 函 数 取 得 最 小 值 ，由 32 3 3 0yx y 解 得 A(-6， -3)
5、，则 z=2x+y 的 最 小 值 是 ： -15.答 案 ： A.8.函 数 f(x)=ln(x 2-2x-8)的 单 调 递 增 区 间 是 ( )A.(- ， -2)B.(- ， -1)C.(1， + )D.(4， + )解 析 ： 解 ： 由 x2-2x-8 0得 ： x (- ， -2) (4， + )，令 t=x2-2x-8， 则 y=lnt， x (- ， -2)时 ， t=x 2-2x-8 为 减 函 数 ；x (4， + )时 ， t=x2-2x-8 为 增 函 数 ；y=lnt为 增 函 数 ，故 函 数 f(x)=ln(x2-2x-8)的 单 调 递 增 区 间 是 (4
6、， + )， 答 案 ： D.9.甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 同 学 一 起 去 向 老 师 询 问 成 语 竞 赛 的 成 绩 ， 老 师 说 ， 你 们 四 人 中 有 2位 优 秀 ， 2位 良 好 ， 我 现 在 给 甲 看 乙 、 丙 的 成 绩 ， 给 乙 看 丙 的 成 绩 ， 给 丁 看 甲 的 成 绩 ， 看 后甲 对 大 家 说 ： 我 还 是 不 知 道 我 的 成 绩 ， 根 据 以 上 信 息 ， 则 ( )A.乙 可 以 知 道 四 人 的 成 绩B.丁 可 能 知 道 四 人 的 成 绩C.乙 、 丁 可 以 知 道 对 方 的 成 绩D.乙 、 丁 可
7、以 知 道 自 己 的 成 绩解 析 ： 四 人 所 知 只 有 自 己 看 到 ， 老 师 所 说 及 最 后 甲 说 话 ，甲 不 知 自 己 的 成 绩 乙 丙 必 有 一 优 一 良 ， (若 为 两 优 ， 甲 会 知 道 自 己 的 成 绩 ； 若 是 两 良 ， 甲 也 会 知 道 自 己 的 成绩 ) 乙 看 到 了 丙 的 成 绩 ， 知 自 己 的 成 绩 丁 看 到 甲 、 丁 也 为 一 优 一 良 ， 丁 知 自 己 的 成 绩 .答 案 ： D.10.执 行 如 图 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 a=-1， 则 输 出 的 S=( ) A.2B.3C.
8、4D.5解 析 ： 执 行 程 序 框 图 ， 有 S=0， K=1， a=-1， 代 入 循 环 ，第 一 次 满 足 循 环 ， S=-1， a=1， K=2；满 足 条 件 ， 第 二 次 满 足 循 环 ， S=1， a=-1， K=3；满 足 条 件 ， 第 三 次 满 足 循 环 ， S=-2， a=1， K=4； 满 足 条 件 ， 第 四 次 满 足 循 环 ， S=2， a=-1， K=5；满 足 条 件 ， 第 五 次 满 足 循 环 ， S=-3， a=1， K=6；满 足 条 件 ， 第 六 次 满 足 循 环 ， S=3， a=-1， K=7；7 6 不 成 立 ，
9、退 出 循 环 输 出 ， S=3.答 案 ： B.11.从 分 别 写 有 1， 2， 3， 4， 5 的 5 张 卡 片 中 随 机 抽 取 1张 ， 放 回 后 再 随 机 抽 取 1 张 ， 则 抽得 的 第 一 张 卡 片 上 的 数 大 于 第 二 张 卡 片 上 的 数 的 概 率 为 ( )A. 110B. 15 C. 310D. 25解 析 ： 从 分 别 写 有 1， 2， 3， 4， 5的 5张 卡 片 中 随 机 抽 取 1 张 ， 放 回 后 再 随 机 抽 取 1张 ，基 本 事 件 总 数 n=5 5=25，抽 得 的 第 一 张 卡 片 上 的 数 大 于 第
10、二 张 卡 片 上 的 数 包 含 的 基 本 事 件 有 ：(2， 1)， (3， 1)， (3， 2)， (4， 1)， (4， 2)， (4， 3)， (5， 1)， (5， 2)， (5， 3)， (5， 4)，共 有 m=10 个 基 本 事 件 ， 抽 得 的 第 一 张 卡 片 上 的 数 大 于 第 二 张 卡 片 上 的 数 的 概 率 10 225 5p .答 案 ： D. 12.过 抛 物 线 C： y2=4x 的 焦 点 F， 且 斜 率 为 3 的 直 线 交 C于 点 M(M 在 x 轴 上 方 )， l 为 C 的准 线 ， 点 N在 l上 ， 且 MN l， 则
11、 M 到 直 线 NF 的 距 离 为 ( )A. 5B.2 2C.2 3D.3 3解 析 ： 抛 物 线 C： y 2=4x的 焦 点 F(1， 0)， 且 斜 率 为 3的 直 线 ： y= 3 (x-1)，过 抛 物 线 C： y2=4x的 焦 点 F， 且 斜 率 为 3 的 直 线 交 C 于 点 M(M在 x 轴 上 方 )， l可 知 ： 2 43 1y xy x ， 解 得 M(3， 2 3).可 得 N(-1， 23)， NF的 方 程 为 ： y=- 3 (x-1)， 即 3 3 0 x y ， 则 M 到 直 线 NF 的 距 离 为 ： 3 3 2 3 3 2 33 1
12、 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 ， 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 20分13.函 数 f(x)=2cosx+sinx的 最 大 值 为 _.解 析 ： 函 数 2 5 52cos sin 5 cos sin 5sin5 5f x x x x x x ， 其 中 tan =2，可 知 函 数 的 最 大 值 为 ： 5 . 答 案 ： 5 .14.已 知 函 数 f(x)是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， 当 x (- ， 0)时 ， f(x)=2x3+x2， 则 f(2)=_.解 析 ： 当 x (- ， 0)时 ， f(x)=2x3+x2， f(-2)=
13、-12，又 函 数 f(x)是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， f(2)=12，答 案 ： 1215.长 方 体 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 3， 2， 1， 其 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， 则 球 O 的 表 面 积 为 _.解 析 ： 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 3， 2， 1， 其 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， 可 知 长 方 体 的 对 角线 的 长 就 是 球 的 直 径 ， 所 以 球 的 半 径 为 ： 2 2 21 143 2 12 2 .则 球 O的 表 面 积 为 ： 2144 142 .答 案 ： 14 .1
14、6. ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 若 2bcosB=acosC+ccosA， 则 B=_.解 析 ： 2bcosB=acosC+ccosA， 由 正 弦 定 理 可 得 ，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB， sinB 0， 1cos 2B ， 0 B ， 3B . 答 案 ： 3三 、 解 答 题 ： 共 70分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ， 第 17 至 21 题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 .第 22、 23
15、题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 .(一 )必 考 题 ： 共 60分 .17.已 知 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 等 比 数 列 bn的 前 n 项 和 为 Tn， a1=-1， b1=1， a2+b2=2.(1)若 a 3+b3=5， 求 bn的 通 项 公 式 ；(2)若 T3=21， 求 S3.解 析 ： (1)设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 等 比 数 列 bn的 公 比 为 q， 运 用 等 差 数 列 和 等 比 数 列的 通 项 公 式 ， 列 方 程 解 方 程 可 得 d， q， 即 可 得 到 所 求 通 项 公
16、 式 ；(2)运 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 ， 解 方 程 可 得 公 比 ， 再 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和 求 和 ， 计 算 即可 得 到 所 求 和 .答 案 ： (1)设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 等 比 数 列 bn的 公 比 为 q，a 1=-1， b1=1， a2+b2=2， a3+b3=5，可 得 -1+d+q=2， -1+2d+q2=5，解 得 d=1， q=2 或 d=3， q=0(舍 去 )，则 bn的 通 项 公 式 为 bn=2n-1， n N*；(2)b1=1， T3=21，可 得 1+q+q2=21，解 得 q=4或
17、 -5，当 q=4时 ， b2=4， a 2=2-4=-2，d=-2-(-1)=-1， S3=-1-2-3=-6；当 q=-5时 ， b2=-5， a2=2-(-5)=7，d=7-(-1)=8， S3=-1+7+15=21.18.如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 侧 面 PAD为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 ABCD， AB=BC= 12 AD， BAD= ABC=90 . (1)证 明 ： 直 线 BC 平 面 PAD；(2)若 PCD面 积 为 2 7， 求 四 棱 锥 P-ABCD 的 体 积 .解 析 ： (1)利 用 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定
18、定 理 证 明 即 可 .(2)利 用 已 知 条 件 转 化 求 解 几 何 体 的 线 段 长 ， 然 后 求 解 几 何 体 的 体 积 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： 四 棱 锥 P-ABCD中 ， BAD= ABC=90 . BC AD， AD 平 面 PAD， BC?平 面 PAD， 直 线 BC 平 面 PAD； (2)解 ： 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 侧 面 PAD 为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 ABCD， AB=BC= 12 AD， BAD= ABC=90 .设 AD=2x，则 AB=BC=x， CD= 2 x， O是 AD的 中 点 ，连 接
19、 PO， OC， CD的 中 点 为 ： E， 连 接 OE， 则 OE= 22 x， PO= 3 x， 2 2 72xPE PO OE ， PCD面 积 为 2 7， 可 得 ： 1 2 72 PE CD ，即 ： 1 7 2 2 72 2 x x ， 解 得 x=2， PE=2 3.则 1 1 1 1 2 4 2 2 3 4 33 2 3 2P ABCDV BC AD AB PO .19.海 水 养 殖 场 进 行 某 水 产 品 的 新 、 旧 网 箱 养 殖 方 法 的 产 量 对 比 ， 收 获 时 各 随 机 抽 取 了 100个 网 箱 ， 测 量 各 箱 水 产 品 的 产 量
20、 (单 位 ： kg)， 其 频 率 分 布 直 方 图 如 下 ： (1)记 A 表 示 事 件 “ 旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于 50kg” ， 估 计 A的 概 率 ；(2)填 写 下 面 列 联 表 ， 并 根 据 列 联 表 判 断 是 否 有 99%的 把 握 认 为 箱 产 量 与 养 殖 方 法 有 关 ：箱 产 量 50kg 箱 产 量 50kg旧 养 殖 法新 养 殖 法(3)根 据 箱 产 量 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 对 两 种 养 殖 方 法 的 优 劣 进 行 比 较 .附 ： P(K 2 K) 0.050 0.010 0.001K 3.841
21、6.635 10.828 22 n ad bcK a b c d a c b d .解 析 ： (1)根 据 题 意 ， 由 旧 养 殖 法 的 频 率 分 布 直 方 图 计 算 可 得 答 案 ；(2) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 以 将 列 联 表 补 全 ， 进 而 计 算 可 得 22 200 62 66 38 34 15.705 10.828100 100 96 104K ， 与 附 表 比 较 即 可 得 答 案 ；(3)由 频 率 分 布 直 方 图 计 算 新 旧 养 殖 法 产 量 的 平 均 数 ， 比 较 即 可 得 答 案 .答 案 ： (1)根 据 题 意
22、， 由 旧 养 殖 法 的 频 率 分 布 直 方 图 可 得 ：P(A)=(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) 5=0.62；(2)根 据 题 意 ， 补 全 列 联 表 可 得 ：箱 产 量 50kg 箱 产 量 50kg 总 计 旧 养 殖 法 62 38 100新 养 殖 法 34 66 100总 计 96 104 200则 有 22 200 62 66 38 34 15.705 10.828100 100 96 104K ，故 有 99%的 把 握 认 为 箱 产 量 与 养 殖 方 法 有 关 ；(3)由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 ：旧 养 殖
23、法 100 个 网 箱 产 量 的 平 均 数 1x =(27.5 0.012+32.5 0.014+37.5 0.024+42.50.034+47.5 0.040+52.5 0.032+57.5 0.032+62.5 0.012+67.5 0.012) 5=59.42=47.1； 新 养 殖 法 100 个 网 箱 产 量 的 平 均 数 2x =(37.5 0.004+42.5 0.020+47.5 0.044+52.50.054+57.5 0.046+62.5 0.010+67.5 0.008) 5=5 10.47=52.35；比 较 可 得 ： 1 2x x ，故 新 养 殖 法 更
24、加 优 于 旧 养 殖 法 .20.设 O 为 坐 标 原 点 ， 动 点 M在 椭 圆 C： 2 2 12x y 上 ， 过 M 作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 N， 点P满 足 2NP NM .(1)求 点 P 的 轨 迹 方 程 ； (2)设 点 Q 在 直 线 x=-3 上 ， 且 1OP PQ .证 明 ： 过 点 P 且 垂 直 于 OQ 的 直 线 l 过 C 的 左 焦点 F.解 析 ： (1)设 M(x0， y0)， 由 题 意 可 得 N(x0， 0)， 设 P(x， y)， 运 用 向 量 的 坐 标 运 算 ， 结 合 M满 足 椭 圆 方 程 ， 化 简 整
25、理 可 得 P 的 轨 迹 方 程 ；(2)设 Q(-3， m)， P( 2cos 2sin ， )， (0 2 )， 运 用 向 量 的 数 量 积 的 坐 标 表 示 ， 可 得 m， 即 有 Q 的 坐 标 ， 求 得 椭 圆 的 左 焦 点 坐 标 ， 求 得 OQ， PF 的 斜 率 ， 由 两 直 线 垂 直 的 条件 ： 斜 率 之 积 为 -1， 即 可 得 证 .答 案 ： (1)设 M(x0， y0)， 由 题 意 可 得 N(x0， 0)，设 P(x， y)， 由 点 P满 足 2NP NM .可 得 0 02 0 x x y y ， ， ，可 得 x-x 0=0， 02
26、y y ，即 有 x0=x， 0 2yy ，代 入 椭 圆 方 程 2 2 12x y ， 可 得 2 2 12 2x y ，即 有 点 P 的 轨 迹 方 程 为 圆 x 2+y2=2；(2)证 明 ： 设 Q(-3， m)， P( 2cos 2sin ， )， (0 2 )，1OP PQ ， 可 得 2 cos 2 sin 3 2 cos 2 sin 1m ， ， ，即 为 2 23 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 1m ，解 得 3 1 2 cos2sinm ，即 有 Q(-3， 3 1 2 cos2sinm )， 椭 圆 2 2 12x y 的 左 焦 点 F(-1，
27、0)，由 1 2 cos2 sinOQk ，2 sin2 cos 1PFk ，由 k OQ kPF=-1，可 得 过 点 P且 垂 直 于 OQ 的 直 线 l 过 C 的 左 焦 点 F.21.设 函 数 f(x)=(1-x2)ex.(1)讨 论 f(x)的 单 调 性 ；(2)当 x 0时 ， f(x) ax+1， 求 a的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)求 出 函 数 的 导 数 ， 求 出 极 值 点 ， 利 用 导 函 数 的 符 号 ， 判 断 函 数 的 单 调 性 即 可 .(2)化 简 f(x)=(1-x)(1+x)e x.f(x) ax+1， 下 面 对 a 的 范
28、围 进 行 讨 论 ： 当 a 1 时 ， 当 0 a 1 时 ， 设 函 数 g(x)=ex-x-1， 则 g (x)=ex-1 0(x 0)， 推 出 结 论 ； 当 a 0 时 ， 推 出 结 果 ， 然 后 得 到 a 的 取 值 范 围 .答 案 ： (1)因 为 f(x)=(1-x2)ex， x R，所 以 f (x)=(1-2x-x2)ex，令 f (x)=0 可 知 x=-1 2 ，当 x -1- 2 或 x -1+ 2 时 f (x) 0， 当 1 2 1 2x 时 f (x) 0，所 以 f(x)在 (- ， -1- 2 )， (-1+ 2 ， + )上 单 调 递 减 ，
29、 在 ( 1 2 1 2 ， )上 单 调递 增 ；(2)由 题 可 知 f(x)=(1-x)(1+x)e x.下 面 对 a 的 范 围 进 行 讨 论 ： 当 a 1 时 ， 设 函 数 h(x)=(1-x)ex， 则 h (x)=-xex 0(x 0)，因 此 h(x)在 0， + )上 单 调 递 减 ，又 因 为 h(0)=1， 所 以 h(x) 1，所 以 f(x)=(1-x)h(x) x+1 ax+1； 当 0 a 1 时 ， 设 函 数 g(x)=ex-x-1， 则 g (x)=ex-1 0(x 0)，所 以 g(x)在 0， + )上 单 调 递 增 ，又 g(0)=1-0-
30、1=0，所 以 e x x+1.因 为 当 0 x 1时 f(x) (1-x)(1+x)2，所 以 (1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2)，取 0 5 4 12ax (0， 1)， 则 (1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0，所 以 f(x 0) ax0+1， 矛 盾 ； 当 a 0 时 ， 取 0 5 12x (0， 1)， 则 f(x0) (1-x0)(1+x0)2=1 ax0+1， 矛 盾 ；综 上 所 述 ， a 的 取 值 范 围 是 1， + ).选 考 题 ： 共 10 分 .请 考 生 在 第 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 .如 果 多 做
31、 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计分 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C 1的 极 坐 标 方 程 为 cos =4.(1)M为 曲 线 C1上 的 动 点 ， 点 P在 线 段 OM 上 ， 且 满 足 |OM| |OP|=16， 求 点 P 的 轨 迹 C2的 直角 坐 标 方 程 ；(2)设 点 A 的 极 坐 标 为 (2， 3 )， 点 B 在 曲 线 C2上 ， 求 OAB面 积 的 最 大 值 .解 析
32、 ： (1)设 P(x， y)， 利 用 相 似 得 出 M点 坐 标 ， 根 据 |OM| |OP|=16列 方 程 化 简 即 可 ；(2)求 出 曲 线 C 2的 圆 心 和 半 径 ， 得 出 B 到 OA的 最 大 距 离 ， 即 可 得 出 最 大 面 积 .答 案 ： (1)曲 线 C1的 直 角 坐 标 方 程 为 ： x=4，设 P(x， y)， M(4， y0)， 则 04x yy ， 0 4yy x ， |OM|OP|=16， 2 2 2016 16x y y ， 即 22 2 21 16yx y x ， x4+2x2y2+y4=16x2， 即 (x2+y2)2=16x2
33、，两 边 开 方 得 ： x2+y2=4x，整 理 得 ： (x-2)2+y2=4(x 0)， 点 P的 轨 迹 C2的 直 角 坐 标 方 程 ： (x-2)2+y2=4(x 0).(2)点 A 的 直 角 坐 标 为 A(1， 3 )， 显 然 点 A在 曲 线 C 2上 ， |OA|=2， 曲 线 C2的 圆 心 (2， 0)到 弦 OA 的 距 离 4 1 3d ， AOB的 最 大 面 积 1 2 3 2 32S OA .选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 a 0， b 0， a 3+b3=2， 证 明 ：(1)(a+b)(a5+b5) 4；(2)a+b 2.解 析
34、： (1)由 柯 西 不 等 式 即 可 证 明 ，(2) 由 a3+b3=2 转 化 为 3 23a b aba b ， 再 由 均 值 不 等 式 可 得 ： 3 223 2a b a baba b ， 即 可 得 到 14 (a+b) 3 2， 问 题 得 以 证 明 .答 案 ： (1)由 柯 西 不 等 式 得 ： 2 25 5 5 5 3 3 4a b a b a a b b a b ，当 且 仅 当 5 5ab ba ， 即 a=b=1 时 取 等 号 ，(2) a3+b3=2， (a+b)(a 2-ab+b2)=2， (a+b)(a+b)2-3ab=2， (a+b)3-3ab(a+b)=2， 3 23a b aba b ，由 均 值 不 等 式 可 得 ： 3 223 2a b a baba b ， 33 32 4a ba b ， 31 24 a b ， a+b 2， 当 且 仅 当 a=b=1 时 等 号 成 立 .
