1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 卷 )数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.31 ii =( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i解 析 ： 3 13 4 2 21 1 1 2i ii i ii i i . 答 案 ： D.2.设 集 合 A=1， 2， 4， B=x|x2-4x+m=0.若 A B=1， 则 B=( )A.1， -3B.1， 0C.1， 3D.1，
2、5解 析 ： 集 合 A=1， 2， 4， B=x|x 2-4x+m=0.若 A B=1， 则 1 A 且 1 B，可 得 1-4+m=0， 解 得 m=3，即 有 B=x|x2-4x+3=0=1， 3.答 案 ： C.3.我 国 古 代 数 学 名 著 算 法 统 宗 中 有 如 下 问 题 ： “ 远 望 巍 巍 塔 七 层 ， 红 光 点 点 倍 加 增 ， 共灯 三 百 八 十 一 ， 请 问 尖 头 几 盏 灯 ？ ” 意 思 是 ： 一 座 7 层 塔 共 挂 了 381 盏 灯 ， 且 相 邻 两 层 中 的下 一 层 灯 数 是 上 一 层 灯 数 的 2倍 ， 则 塔 的 顶
3、 层 共 有 灯 ( )A.1盏B.3盏C.5盏 D.9盏解 析 ： 设 这 个 塔 顶 层 有 a盏 灯 ， 宝 塔 一 共 有 七 层 ， 每 层 悬 挂 的 红 灯 数 是 上 一 层 的 2倍 ， 从 塔 顶 层 依 次 向 下 每 层 灯 数 是 以 2 为 公 比 、 a为 首 项 的 等 比 数 列 ，又 总 共 有 灯 381盏 ， 71 2381 1271 2a a ， 解 得 a=3，则 这 个 塔 顶 层 有 3 盏 灯 .答 案 ： B.4.如 图 ， 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 粗 实 线 画 出 的 是 某 几 何 体 的 三 视 图 ，
4、该 几 何 体 由 一 平 面 将 一 圆 柱 截 去 一 部 分 后 所 得 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.90B.63C.42D.36解 析 ： 由 三 视 图 可 得 ， 直 观 图 为 一 个 完 整 的 圆 柱 减 去 一 个 高 为 6 的 圆 柱 的 一 半 ，2 213 10 3 6 632V .答 案 ： B. 5.设 x， y 满 足 约 束 条 件 2 3 3 02 3 3 03 0 x yx yy ， 则 z=2x+y 的 最 小 值 是 ( )A.-15B.-9C.1D.9解 析 ： x、 y满 足 约 束 条 件 2 3 3 02 3 3 03
5、 0 x yx yy 的 可 行 域 如 图 ： z=2x+y 经 过 可 行 域 的 A 时 ， 目 标 函 数 取 得 最 小 值 ，由 32 3 3 0yx y - 解 得 A(-6， -3)，则 z=2x+y 的 最 小 值 是 ： -15.答 案 ： A.6.安 排 3 名 志 愿 者 完 成 4 项 工 作 ， 每 人 至 少 完 成 1 项 ， 每 项 工 作 由 1人 完 成 ， 则 不 同 的 安 排方 式 共 有 ( )A.12种B.18种C.24种D.36种 解 析 ： 4 项 工 作 分 成 3 组 ， 可 得 ： 24 6C ，安 排 3名 志 愿 者 完 成 4 项
6、 工 作 ， 每 人 至 少 完 成 1项 ， 每 项 工 作 由 1人 完 成 ，可 得 ： 336 36A 种 .答 案 ： D.7.甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 同 学 一 起 去 问 老 师 询 问 成 语 竞 赛 的 成 绩 .老 师 说 ： 你 们 四 人 中 有 2位优 秀 ， 2 位 良 好 ， 我 现 在 给 甲 看 乙 、 丙 的 成 绩 ， 给 乙 看 丙 的 成 绩 ， 给 丁 看 甲 的 成 绩 .看 后 甲对 大 家 说 ： 我 还 是 不 知 道 我 的 成 绩 .根 据 以 上 信 息 ， 则 ( )A.乙 可 以 知 道 四 人 的 成 绩B.丁 可 以
7、 知 道 四 人 的 成 绩C.乙 、 丁 可 以 知 道 对 方 的 成 绩 D.乙 、 丁 可 以 知 道 自 己 的 成 绩解 析 ： 四 人 所 知 只 有 自 己 看 到 ， 老 师 所 说 及 最 后 甲 说 话 ，甲 不 知 自 己 的 成 绩 乙 丙 必 有 一 优 一 良 ， (若 为 两 优 ， 甲 会 知 道 自 己 的 成 绩 ； 若 是 两 良 ， 甲 也 会 知 道 自 己 的 成绩 ) 乙 看 到 了 丙 的 成 绩 ， 知 自 己 的 成 绩 丁 看 到 甲 、 丁 也 为 一 优 一 良 ， 丁 知 自 己 的 成 绩 .答 案 ： D.8.执 行 如 图 的
8、 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 a=-1， 则 输 出 的 S=( ) A.2B.3C.4D.5解 析 ： 执 行 程 序 框 图 ， 有 S=0， K=1， a=-1， 代 入 循 环 ，第 一 次 满 足 循 环 ， S=-1， a=1， K=2；满 足 条 件 ， 第 二 次 满 足 循 环 ， S=1， a=-1， K=3；满 足 条 件 ， 第 三 次 满 足 循 环 ， S=-2， a=1， K=4；满 足 条 件 ， 第 四 次 满 足 循 环 ， S=2， a=-1， K=5；满 足 条 件 ， 第 五 次 满 足 循 环 ， S=-3， a=1， K=6；满 足 条
9、 件 ， 第 六 次 满 足 循 环 ， S=3， a=-1， K=7；7 6 不 成 立 ， 退 出 循 环 输 出 ， S=3.答 案 ： B. 9.若 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 被 圆 (x-2)2+y2=4 所 截 得 的 弦 长 为 2，则 C 的 离 心 率 为 ( )A.2B. 3C. 2D. 2 33 解 析 ： 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 不 妨 为 ： bx+ay=0，圆 (x-2)2+y2=4 的 圆 心 (2， 0)， 半 径 为 ： 2，双
10、 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 被 圆 (x-2)2+y2=4 所 截 得 的 弦 长 为 2，可 得 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 ： 2 2 2 222 1 3 ba b ，解 得 ： 2 224 4 3c ac ， 可 得 e 2=4， 即 e=2.答 案 ： A.10.已 知 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， ABC=120 ， AB=2， BC=CC1=1， 则 异 面 直 线 AB1与 BC1所 成角 的 余 弦 值 为 ( )A. 32B. 155 C. 105D. 33解 析 ： 【 解 法 一 】 如
11、图 所 示 ， 设 M、 N、 P 分 别 为 AB， BB1和 B1C1的 中 点 ，则 AB1、 BC1夹 角 为 MN和 NP夹 角 或 其 补 角(因 异 面 直 线 所 成 角 为 (0， 2 )，可 知 11 52 2MN AB ， 11 22 2NP BC ；作 BC 中 点 Q， 则 PQM为 直 角 三 角 形 ； PQ=1， MQ= 12 AC， ABC中 ， 由 余 弦 定 理 得AC2=AB2+BC2-2AB BC cos ABC =4+1-2 2 1 (- 12 )=7， AC= 7 ， MQ= 72 ；在 MQP中 ， 2 2 112MP MQ PQ ；在 PMN中
12、 ， 由 余 弦 定 理 得 2 2 2 2 2 2 5 2 112 2 2 10cos 2 55 22 2 2MN NP PMMNP MH NP ；又 异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 是 (0， 2 ， AB 1与 BC1所 成 角 的 余 弦 值 为 105 .【 解 法 二 】 如 图 所 示 ， 补 成 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1， 求 BC1D 即 可 ；BC1= 2 ， 2 22 1 2 2 1 cos60 3BD ， C1D= 5 ， BC12+BD2=C1D2， DBC1=90 ， 1 2 10cos 55BC D .答 案 ： C11.若 x=-2是 函
13、数 f(x)=(x 2+ax-1)ex-1的 极 值 点 ， 则 f(x)的 极 小 值 为 ( )A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1解 析 ： 函 数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1，可 得 f (x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1，x=-2是 函 数 f(x)=(x 2+ax-1)ex-1的 极 值 点 ，可 得 ： -4+a+(3-2a)=0.解 得 a=-1.可 得 f (x)=(2x-1)ex-1+(x2-x-1)ex-1，=(x2+x-2)ex-1， 函 数 的 极 值 点 为 ： x=-2， x=1，当 x -2 或 x 1 时 ， f (x) 0
14、 函 数 是 增 函 数 ， x (-2， 1)时 ， 函 数 是 减 函 数 ，x=1时 ， 函 数 取 得 极 小 值 ： f(1)=(12-1-1)e1-1=-1.答 案 ： A.12.已 知 ABC 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 ， P 为 平 面 ABC 内 一 点 ， 则 PA PB PC 的 最 小值 是 ( ) A.-2B. 32C. 43D.-1解 析 ： 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ， 以 BC 中 点 为 坐 标 原 点 ， 则 A(0， 3 )， B(-1， 0)， C(1， 0)，设 P(x， y)， 则 3 1 1PA x y PB x y
15、 PC x y ， ， ， ， ， ，则 22 2 2 3 32 2 3 2 2 2 4PA PB PC x y y x y 当 x=0， y= 32 时 ， 取 得 最 小 值 3 32 4 2 .答 案 ： B二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 20分 . 13.一 批 产 品 的 二 等 品 率 为 0.02， 从 这 批 产 品 中 每 次 随 机 取 一 件 ， 有 放 回 地 抽 取 100 次 ， X表 示 抽 到 的 二 等 品 件 数 ， 则 DX=_.解 析 ： 由 题 意 可 知 ， 该 事 件 满 足 独 立 重 复 试 验 ，
16、 是 一 个 二 项 分 布 模 型 ， 其 中 ， p=0.02， n=100，则 DX=npq=np(1-p)=100 0.02 0.98=1.96.答 案 ： 1.96.14.函 数 2 3sin 3cos 04 2f x x x x ， 的 最 大 值 是 _.解 析 ： 2 23 3sin 3cos 1 cos 3cos4 4f x x x x x ，令 cosx=t 且 t 0， 1， 则 22 1 33 14 2y t t t ，当 t= 32 时 ， f(t)max=1，即 f(x)的 最 大 值 为 1.答 案 ： 115.等 差 数 列 a n的 前 n 项 和 为 Sn，
17、 a3=3， S4=10， 则 1 1nk kS =_.解 析 ： 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， a3=3， S4=10， S4=2(a2+a3)=10，可 得 a2=2， 数 列 的 首 项 为 1， 公 差 为 1， 1 1 2 1 122 1 1n nn nS S n n n n ， ，则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 12 2 3 3 4 1 1 1nk k nS n n n n . 答 案 ： 2 1nn .16.已 知 F 是 抛 物 线 C： y2=8x 的 焦 点 ， M 是 C 上 一 点 ， FM 的 延 长 线 交 y 轴 于
18、 点 N.若 M 为 FN的 中 点 ， 则 |FN|=_.解 析 ： 抛 物 线 C： y2=8x 的 焦 点 F(2， 0)， M 是 C 上 一 点 ， FM 的 延 长 线 交 y 轴 于 点 N.若 M 为FN的 中 点 ，可 知 M的 横 坐 标 为 ： 1， 则 M 的 纵 坐 标 为 ： 2 2 ， 2 22 2 1 2 ( 2 2 0) 6FN FM .答 案 ： 6. 三 、 解 答 题 ： 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 解 答 过 程 或 演 算 步 骤 .第 17 21题 为 必 做 题 ，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 .第 22
19、、 23 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 .(一 )必 考 题 ： 共 60分 .17. ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 2sin 8sin 2BA C .(1)求 cosB；(2)若 a+c=6， ABC面 积 为 2， 求 b.解 析 ： (1)利 用 三 角 形 的 内 角 和 定 理 可 知 A+C= -B， 再 利 用 诱 导 公 式 化 简 sin(A+C)， 利 用 降幂 公 式 化 简 28sin 2B ， 结 合 sin 2B+cos2B=1， 求 出 cosB，(2)由 (1)可 知 8sin 17B
20、 ， 利 用 勾 面 积 公 式 求 出 ac， 再 利 用 余 弦 定 理 即 可 求 出 b.答 案 ： (1) 2sin 8sin 2BA C ， sinB=4(1-cosB)， sin 2B+cos2B=1， 16(1-cosB)2+cos2B=1， (17cosB-15)(cosB-1)=0， 15cos 17B ；(2)由 (1)可 知 8sin 17B ， 1 sin 22ABCS ac B ， 172ac ， 2 2 2 2 2 17 152 cos 2 2 17b a c ac B a c =a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4， b=2. 18
21、.海 水 养 殖 场 进 行 某 水 产 品 的 新 、 旧 网 箱 养 殖 方 法 的 产 量 对 比 ， 收 获 时 各 随 机 抽 取 了 100个 网 箱 ， 测 量 各 箱 水 产 品 的 产 量 (单 位 ： kg)， 其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 ：(1)设 两 种 养 殖 方 法 的 箱 产 量 相 互 独 立 ， 记 A 表 示 事 件 “ 旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于 50kg， 新 养 殖 法 的 箱 产 量 不 低 于 50kg” ， 估 计 A 的 概 率 ；(2)填 写 下 面 列 联 表 ， 并 根 据 列 联 表 判 断 是 否 有 99%的
22、 把 握 认 为 箱 产 量 与 养 殖 方 法 有 关 ：箱 产 量 50kg 箱 产 量 50kg旧 养 殖 法新 养 殖 法(3)根 据 箱 产 量 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 求 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 (精 确 到 0.01).附 ： P(K 2 k) 0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828 22 n ad bcK a b c d a c b d .解 析 ： (1)由 题 意 可 知 ： P(A)=P(BC)=P(B)P(C)， 分 布 求 得 发 生 的 频 率 ， 即 可 求 得 其 概 率 ；(2
23、)完 成 2 2 列 联 表 ： 求 得 观 测 值 ， 与 参 考 值 比 较 ， 即 可 求 得 有 99%的 把 握 认 为 箱 产 量 与 养殖 方 法 有 关 ：(3)根 据 频 率 分 布 直 方 图 即 可 求 得 其 平 均 数 .答 案 ： (1)记 B 表 示 事 件 “ 旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于 50kg” ， C 表 示 事 件 “ 新 养 殖 法 的 箱 产 量 不低 于 50kg” ，由 P(A)=P(BC)=P(B)P(C)， 则 旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于 50kg： (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) 5=
24、0.62，故 P(B)的 估 计 值 0.62，新 养 殖 法 的 箱 产 量 不 低 于 50kg： (0.068+0.046+0.010+0.008) 5=0.66，故 P(C)的 估 计 值 为 ，则 事 件 A 的 概 率 估 计 值 为 P(A)=P(B)P(C)=0.62 0.66=0.4092； A 发 生 的 概 率 为 0.4092；(2)2 2 列 联 表 ： 箱 产 量 50kg 箱 产 量 50kg 总 计旧 养 殖 法 62 38 100新 养 殖 法 34 66 100总 计 96 104 200 则 22 200 62 66 38 34 15.705100 100
25、 96 104K ，由 15.705 6.635， 有 99%的 把 握 认 为 箱 产 量 与 养 殖 方 法 有 关 ；(3)由 题 意 可 知 ： 方 法 一 ： X新 =5 (37.5 0.004+42.5 0.020+47.5 0.044+52.50.068+57.5 0.046+62.5 0.010+67.5 0.008)，=5 10.47，=52.35(kg).新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 52.35(kg)方 法 二 ： 由 新 养 殖 法 的 箱 产 量 频 率 分 布 直 方 图 中 ， 箱 产 量 低 于 50kg的 直 方 图 的 面 积
26、：(0.004+0.020+0.044) 5=0.34，箱 产 量 低 于 55kg的 直 方 图 面 积 为 ： (0.004+0.020+0.044+0.068) 5=0.68 0.5，故 新 养 殖 法 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 为 ： 0.5 0.3450 52.350.068 (kg)，新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 52.35(kg).19.如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 侧 面 PAD为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 ABCD， 12AB BC AD ， BAD= ABC=90 ， E 是 PD 的 中 点 .
27、(1)证 明 ： 直 线 CE 平 面 PAB；(2)点 M 在 棱 PC上 ， 且 直 线 BM与 底 面 ABCD所 成 角 为 45 ， 求 二 面 角 M-AB-D的 余 弦 值 . 解 析 ： (1)取 PA 的 中 点 F， 连 接 EF， BF， 通 过 证 明 CE BF， 利 用 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 定理 证 明 即 可 .(2)利 用 已 知 条 件 转 化 求 解 M 到 底 面 的 距 离 ， 作 出 二 面 角 的 平 面 角 ， 然 后 求 解 二 面 角 M-AB-D的 余 弦 值 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： 取 PA 的 中 点
28、F， 连 接 EF， BF， 因 为 E 是 PD 的 中 点 ，所 以 1 12 2EF AD AB BC AD ， ， BAD= ABC=90 ， 12BC AD ， BCEF是 平 行 四 边 形 ， 可 得 CE BF， BF平 面 PAB， CF平 面 PAB， 直 线 CE 平 面 PAB； (2)四 棱 锥 P-ABCD 中 ，侧 面 PAD为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 ABCD， 12AB BC AD ， BAD= ABC=90 ， E 是 PD 的 中 点 .取 AD 的 中 点 O， M 在 底 面 ABCD上 的 射 影 N 在 OC上 ， 设 AD=2
29、， 则 AB=BC=1， OP= 3 ， PCO=60 ， 直 线 BM 与 底 面 ABCD所 成 角 为 45 ，可 得 ： BN=MN， CN= 33 MN， BC=1，可 得 ： 2 211 3 BN BN ， 62BN ， 62MN ， 作 NQ AB 于 Q， 连 接 MQ，所 以 MQN就 是 二 面 角 M-AB-D的 平 面 角 ， 22 6 101 2 2MQ ，二 面 角 M-AB-D 的 余 弦 值 为 ： 1 105102 . 20.设 O为 坐 标 原 点 ， 动 点 M在 椭 圆 C： 2 2 12x y 上 ， 过 M 作 x轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 N，
30、 点 P满 足 2NP NM .(1)求 点 P 的 轨 迹 方 程 ； (2)设 点 Q 在 直 线 x=-3 上 ， 且 1OP PQ .证 明 ： 过 点 P 且 垂 直 于 OQ 的 直 线 l 过 C 的 左 焦点 F.解 析 ： (1)设 M(x0， y0)， 由 题 意 可 得 N(x0， 0)， 设 P(x， y)， 运 用 向 量 的 坐 标 运 算 ， 结 合 M满 足 椭 圆 方 程 ， 化 简 整 理 可 得 P 的 轨 迹 方 程 ；(2)设 Q(-3， m)， P( 2 cos 2 sin ， )， (0 2 )， 运 用 向 量 的 数 量 积 的 坐 标 表 示
31、 ，可 得 m， 即 有 Q 的 坐 标 ， 求 得 椭 圆 的 左 焦 点 坐 标 ， 求 得 OQ， PF 的 斜 率 ， 由 两 直 线 垂 直 的 条件 ： 斜 率 之 积 为 -1， 即 可 得 证 .答 案 ： (1)设 M(x 0， y0)， 由 题 意 可 得 N(x0， 0)，设 P(x， y)， 由 点 P满 足 2NP NM .可 得 0 02 0 x x y y ， ， ，可 得 x-x0=0， y= 2 y0，即 有 x 0=x， 0 2yy ，代 入 椭 圆 方 程 2 2 12x y ， 可 得 2 2 12 2x y ，即 有 点 P 的 轨 迹 方 程 为 圆
32、 x2+y2=2；(2)证 明 ： 设 Q(-3， m)， P( 2 cos 2 sin ， )， (0 2 )，1OP PQ ， 可 得 2 cos 2 sin 3 2 cos 2 sin 1m ， ， ，即 为 2 23 2 cos 2cos 2 sin 2sin 1m ， 解 得 3 1 2 cos2sinm ，即 有 Q(-3， 3 1 2 cos2sin )，椭 圆 2 2 12x y 的 左 焦 点 F(-1， 0)，由 1 2 cos2 sinOQk ，2 sin2 cos 1PFk ， 由 kOQ kPF=-1，可 得 过 点 P且 垂 直 于 OQ 的 直 线 l 过 C 的
33、 左 焦 点 F.21.已 知 函 数 f(x)=ax2-ax-xlnx， 且 f(x) 0.(1)求 a；(2)证 明 ： f(x)存 在 唯 一 的 极 大 值 点 x0， 且 e-2 f(x0) 2-2.解 析 ： (1)通 过 分 析 可 知 f(x) 0 等 价 于 h(x)=ax-a-lnx 0， 进 而 利 用 1h x a x 可 得 min 1h x h a ， 从 而 可 得 结 论 ；(2) 通 过 (1) 可 知 f(x)=x 2-x-xlnx ， 记 t(x)=f (x)=2x-2-lnx ， 解 不 等 式 可 知 min 1 ln 2 1 02t x t ， 从
34、而 可 知 f (x)=0 存 在 两 根 x0， x2， 利 用 f(x)必 存 在 唯 一极 大 值 点 x0及 0 12x 可 知 0 14f x ， 另 一 方 面 可 知 0 21 1f x f e e .答 案 ： (1)解 ： 因 为 f(x)=ax 2-ax-xlnx=x(ax-a-lnx)(x 0)，则 f(x) 0等 价 于 h(x)=ax-a-lnx 0， 求 导 可 知 1h x a x .则 当 a 0 时 h (x) 0， 即 y=h(x)在 (0， + )上 单 调 递 减 ，所 以 当 x0 1 时 ， h(x0) h(1)=0， 矛 盾 ， 故 a 0.因 为
35、 当 10 x a 时 h (x) 0、 当 x 1a 时 h (x) 0，所 以 min 1h x h a ，又 因 为 h(1)=a-a-ln1=0，所 以 1 1a ， 解 得 a=1； (2)证 明 ： 由 (1)可 知 f(x)=x2-x-xlnx， f (x)=2x-2-lnx，令 f (x)=0， 可 得 2x-2-lnx=0， 记 t(x)=2x-2-lnx， 则 12t x x ，令 t (x)=0， 解 得 ： x= 12 ，所 以 t(x)在 区 间 (0， 12 )上 单 调 递 减 ， 在 ( 12 ， + )上 单 调 递 增 ，所 以 t(x) min=t( 12
36、 )=ln2-1 0， 从 而 t(x)=0 有 解 ， 即 f (x)=0 存 在 两 根 x0， x2，且 不 妨 设 f (x)在 (0， x0)上 为 正 、 在 (x0， x2)上 为 负 、 在 (x2， + )上 为 正 ，所 以 f(x)必 存 在 唯 一 极 大 值 点 x0， 且 2x0-2-lnx0=0，所 以 f(x0)=x02-x0-x0lnx0=x02-x0+2x0-2x02=x0-x02， 由 0 12x 可 知 20 0 0 2max 1 1 12 2 4f x x x ；由 1 0f e 可 知 0 1 12x e ，所 以 f(x)在 (0， x0)上 单
37、调 递 增 ， 在 ( 0 1x e， )上 单 调 递 减 ，所 以 0 21 1f x f e e ；综 上 所 述 ， f(x)存 在 唯 一 的 极 大 值 点 x 0， 且 e-2 f(x0) 2-2.(二 )选 考 题 ： 共 10 分 .请 考 生 在 第 22、 23题 中 任 选 一 题 作 答 .如 果 多 做 ， 按 所 做 的 第 一 题 计分 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C1的 极 坐 标 方
38、 程 为 cos =4.(1)M为 曲 线 C1上 的 动 点 ， 点 P在 线 段 OM 上 ， 且 满 足 |OM| |OP|=16， 求 点 P 的 轨 迹 C2的 直角 坐 标 方 程 ；(2)设 点 A 的 极 坐 标 为 (2， 3 )， 点 B 在 曲 线 C 2上 ， 求 OAB面 积 的 最 大 值 .解 析 ： (1)设 P(x， y)， 利 用 相 似 得 出 M点 坐 标 ， 根 据 |OM| |OP|=16列 方 程 化 简 即 可 ；(2)求 出 曲 线 C2的 圆 心 和 半 径 ， 得 出 B 到 OA的 最 大 距 离 ， 即 可 得 出 最 大 面 积 .答
39、 案 ： (1)曲 线 C1的 直 角 坐 标 方 程 为 ： x=4，设 P(x， y)， M(4， y0)， 则 04x yy ， 0 4yy x ， |OM|OP|=16， 2 2 2016 16x y y ，即 22 2 21 16yx y x ， x4+2x2y2+y4=16x2， 即 (x2+y2)2=16x2，两 边 开 方 得 ： x2+y2=4x，整 理 得 ： (x-2)2+y2=4(x 0)， 点 P的 轨 迹 C2的 直 角 坐 标 方 程 ： (x-2)2+y2=4(x 0).(2)点 A 的 直 角 坐 标 为 A(1， 3 )， 显 然 点 A 在 曲 线 C2上
40、 ， |OA|=2， 曲 线 C 2的 圆 心 (2， 0)到 弦 OA 的 距 离 4 1 3d ， AOB的 最 大 面 积 1 2 3 2 32S OA .选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 a 0， b 0， a3+b3=2， 证 明 ：(1)(a+b)(a5+b5) 4；(2)a+b 2.解 析 ： (1)由 柯 西 不 等 式 即 可 证 明 ，(2)由 a3+b3=2 转 化 为 3 23a b aba b ， 再 由 均 值 不 等 式 可 得 ： 3 223 2a b a baba b ， 即 可 得 到 31 24 a b ， 问 题 得 以 证 明 .答 案 ： (1)由 柯 西 不 等 式 得 ： 2 25 5 5 5 3 3 4a b a b a a b b a b ， 当 且 仅 当 5 5ab ba ， 即 a=b=1 时 取 等 号 ，(2) a3+b3=2， (a+b)(a2-ab+b2)=2， (a+b)(a+b)2-3ab=2， (a+b)3-3ab(a+b)=2， 3 23a b aba b ，由 均 值 不 等 式 可 得 ： 3 223 2a b a baba b ， 33 32 4a ba b ， 31 24 a b ， a+b 2， 当 且 仅 当 a=b=1 时 等 号 成 立 .
