1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 天 津 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 )1.i是 虚 数 单 位 ， 复 数 =( )A. 1-iB. -1+iC. + iD. - + i解 析 ： 复 数 = = . 答 案 ： A.2.设 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 目 标 函 数 z=x+2y的 最 小 值 为 ( )A.2B.3C.4D.5解 析 ： 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 ， 由 z=x+2y， 得 y=- ，平 移 直 线 y=- ， 由 图 象 可 知 当 直
2、线 y=- 经 过 点 B(1， 1)时 ， 直 线 y=- 的 截距 最 小 ， 此 时 z最 小 .此 时 z 的 最 小 值 为 z=1+2 1=3，答 案 ： B.3.阅 读 如 图 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 输 出 S 的 值 为 ( ) A.15B.105C.245D.945解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求 S=1 3 5 (2i+1)的 值 ， 跳 出 循 环 的 i值 为 4， 输 出 S=1 3 5 7=105.答 案 ： B.4.函 数 f(x)= 212log ( 4)x 的 单 调 递 增 区 间 为 (
3、)A.(0， + )B.(- ， 0)C.(2， + ) D.(- ， -2)解 析 ： 令 t=x2-4 0， 可 得 x 2， 或 x -2，故 函 数 f(x)的 定 义 域 为 (- ， -2) (2， + )， 且 函 数 f(x)=g(t)= 12log t .根 据 复 合 函 数 的 单 调 性 ， 本 题 即 求 函 数 t 在 (- ， -2) (2， + ) 上 的 减 区 间 .再 利 用 二 次 函 数 的 性 质 可 得 ， 函 数 t 在 (- ， -2) (2， + ) 上 的 减 区 间 为 (- ， -2)，答 案 ： D.5.已 知 双 曲 线 - =1(
4、a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 平 行 于 直 线 l： y=2x+10， 双 曲 线 的 一 个焦 点 在 直 线 l 上 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( ) A. - =1B. - =1 C. - =1D. - =1解 析 ： 令 y=0， 可 得 x=-5， 即 焦 点 坐 标 为 (-5， 0)， c=5， 双 曲 线 - =1(a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 平 行 于 直 线 l： y=2x+10， =2， c 2=a2+b2， a2=5， b2=20， 双 曲 线 的 方 程 为 - =1.答 案 ： A.6.如 图 ， ABC是 圆 的 内 接 三
5、角 形 ， BAC 的 平 分 线 交 圆 于 点 D， 交 BC于 E， 过 点 B 的 圆 的切 线 与 AD 的 延 长 线 交 于 点 F， 在 上 述 条 件 下 ， 给 出 下 列 四 个 结 论 ： BD 平 分 CBF； FB 2=FD FA； AE CE=BE DE； AF BD=AB BF.所 有 正 确 结 论 的 序 号 是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 圆 周 角 DBC对 应 劣 弧 CD， 圆 周 角 DAC对 应 劣 弧 CD， DBC= DAC. 弦 切 角 FBD对 应 劣 弧 BD， 圆 周 角 BAD对 应 劣 弧 BD， FBD= BAF
6、. BD 是 BAC的 平 分 线 ， BAF= DAC. DBC= FBD.即 BD平 分 CBF.即 结 论 正 确 .又 由 FBD= FAB， BFD= AFB， 得 FBD FAB.由 ， FB 2=FD FA.即 结 论 成 立 . 由 ， 得 AF BD=AB BF.即 结 论 成 立 .正 确 结 论 有 .答 案 ： D7.设 a， b R， 则 “ a b” 是 “ a|a| b|b|” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 又 不 必 要 条 件解 析 ： 若 a b 0， 则 不 等 式 a|a| b
7、|b|等 价 为 a a b b 此 时 成 立 .若 0 a b， 则 不 等 式 a|a| b|b|等 价 为 -a a -b b， 即 a 2 b2， 此 时 成 立 .若 a 0 b， 不 等 式 a|a| b|b|等 价 为 a a -b b， 即 a2 -b2， 此 时 成 立 ，综 上 则 “ a b” 是 “ a|a| b|b|” 的 充 要 条 件 .答 案 ： C8.已 知 菱 形 ABCD的 边 长 为 2， BAD=120 ， 点 E、 F 分 别 在 边 BC、 DC上 ， BE= BC， DF= DC，若 =1， =- ， 则 + =( )A.B. C.D.解 析
8、： 由 题 意 可 得 若 =( + ) ( + )= + + +=2 2 cos120 + + + =-2+4 +4 + 2 2 cos120=4 +4 -2 -2=1， 4 +4 -2 =3 . =- (- )= =(1- ) (1- ) =(1- ) (1- ) =(1- )(1- ) 2 2 cos120 =(1- - + )(-2)=- ，即 - - + =- .由 求 得 + = ，答 案 ： . 二 、 填 空 题 （ 共 6小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分 ）9.某 大 学 为 了 解 在 校 本 科 生 对 参 加 某 项 社 会 实 践 活 动 的 意 向 ，
9、 拟 采 用 分 层 抽 样 的 方 向 ， 从 该校 四 个 年 级 的 本 科 生 中 抽 取 一 个 容 量 为 300的 样 本 进 行 调 查 ， 已 知 该 校 一 年 级 、 二 年 级 、 三年 级 、 四 年 级 的 本 科 生 人 数 之 比 为 4： 5： 5： 6， 则 应 从 一 年 级 本 科 生 中 抽 取 名 学 生 .解 析 ： 根 据 分 层 抽 样 的 定 义 和 方 法 ， 一 年 级 本 科 生 人 数 所 占 的 比 例 为 = ，故 应 从 一 年 级 本 科 生 中 抽 取 名 学 生 数 为 300 =60，答 案 ： 60.10.一 个 几
10、何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 (单 位 ： m)， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 m 3. 解 析 ： 由 三 视 图 知 ： 几 何 体 是 圆 锥 与 圆 柱 的 组 合 体 ，其 中 圆 柱 的 高 为 4， 底 面 直 径 为 2， 圆 锥 的 高 为 2， 底 面 直 径 为 4， 几 何 体 的 体 积 V= 12 4+ 22 2=4 + = .答 案 ： .11.设 a n是 首 项 为 a1， 公 差 为 -1 的 等 差 数 列 ， Sn为 其 前 n项 和 ， 若 S1， S2， S4成 等 比 数 列 ，则 a1的 值 为 .解 析 ： 由 题 意 可 得
11、 ， an=a1+(n-1)(-1)=a1+1-n， Sn= = ，再 根 据 若 S1， S2， S4成 等 比 数 列 ， 可 得 =S1S4， 即 =a1(4a1-6)，解 得 a 1=- ， 答 案 ： - .12.在 ABC中 ， 内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 是 a， b， c， 已 知 b-c= a， 2sinB=3sinC， 则cosA的 值 为 .解 析 ： 在 ABC中 ， b-c= a ， 2sinB=3sinC， 2b=3c ， 由 可 得 a=2c， b= .再 由 余 弦 定 理 可 得 cosA= = =- ，答 案 ： - . 13.在 以 O
12、为 极 点 的 极 坐 标 系 中 ， 圆 =4sin 和 直 线 sin =a相 交 于 A、 B两 点 ， 若 AOB是 等 边 三 角 形 ， 则 a的 值 为 .解 析 ： 直 线 sin =a即 y=a， (a 0)， 曲 线 =4sin ，即 2=4 sin ， 即 x2+(y-2)2=4， 表 示 以 C(0， 2)为 圆 心 ， 以 2 为 半 径 的 圆 ， AOB是 等 边 三 角 形 ， B( a， a)，代 入 x2+(y-2)2=4， 可 得 ( a)2+(a-2)2=4， a 0， a=3.答 案 ： 3.14.已 知 函 数 f(x)=|x 2+3x|， x R，
13、 若 方 程 f(x)-a|x-1|=0 恰 有 4 个 互 异 的 实 数 根 ， 则 实 数a的 取 值 范 围 为 .解 析 ： 由 y=f(x)-a|x-1|=0得 f(x)=a|x-1|， 作 出 函 数 y=f(x)， y=g(x)=a|x-1|的 图 象 ， 当 a 0， 不 满 足 条 件 ， 则 a 0， 此 时 g(x)=a|x-1|= ， 当 -3 x 0时 ， f(x)=-x2-3x， g(x)=-a(x-1)，当 直 线 和 抛 物 线 相 切 时 ， 有 三 个 零 点 ，此 时 -x2-3x=-a(x-1)，即 x2+(3-a)x+a=0，则 由 =(3-a)2-
14、4a=0， 即 a2-10a+9=0， 解 得 a=1或 a=9，当 a=9时 ， g(x)=-9(x-1)， g(0)=9， 此 时 不 成 立 ， 此 时 a=1，要 使 两 个 函 数 有 四 个 零 点 ， 则 此 时 0 a 1，若 a 1， 此 时 g(x)=-a(x-1)与 f(x)， 有 两 个 交 点 ，此 时 只 需 要 当 x 1 时 ， f(x)=g(x)有 两 个 不 同 的 零 点 即 可 ，即 x 2+3x=a(x-1)， 整 理 得 x2+(3-a)x+a=0，则 由 =(3-a)2-4a 0， 即 a2-10a+9 0， 解 得 a 1(舍 去 )或 a 9，
15、综 上 a的 取 值 范 围 是 (0， 1) (9， + )，答 案 ： (0， 1) (9， + )三 、 解 答 题 (共 6 小 题 ， 共 80分 )15.(13分 )已 知 函 数 f(x)=cosx sin(x+ )- cos 2x+ ， x R.( )求 f(x)的 最 小 正 周 期 ；( )求 f(x)在 闭 区 间 - ， 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .解 析 ： ( )根 据 两 角 和 差 的 正 弦 公 式 、 倍 角 公 式 对 解 析 式 进 行 化 简 ， 再 由 复 合 三 角 函 数 的 周期 公 式 求 出 此 函 数 的 最 小 正 周 期 ；
16、( )由 ( )化 简 的 函 数 解 析 式 和 条 件 中 x 的 范 围 ， 求 出 的 范 围 ， 再 利 用 正 弦 函 数 的性 质 求 出 再 已 知 区 间 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .答 案 ： ( )由 题 意 得 ， f(x)=cosx( sinx cosx) =所 以 ， f(x)的 最 小 正 周 期 = .( )由 ( )得 f(x)= ，由 x - ， 得 ， 2x - ， ， 则 ， ， 当 =- 时 ， 即 =-1时 ， 函 数 f(x)取 到 最 小 值 是 ： ，当 = 时 ， 即 = 时 ， f(x)取 到 最 大 值 是 ： ，所 以 ， 所
17、 求 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 .16.(13分 )某 大 学 志 愿 者 协 会 有 6名 男 同 学 ， 4 名 女 同 学 ， 在 这 10 名 同 学 中 ， 3 名 同 学 来 自数 学 学 院 ， 其 余 7 名 同 学 来 自 物 理 、 化 学 等 其 他 互 不 相 同 的 七 个 学 院 ， 现 从 这 10名 同 学 中随 机 选 取 3名 同 学 ， 到 希 望 小 学 进 行 支 教 活 动 (每 位 同 学 被 选 到 的 可 能 性 相 同 ).( )求 选 出 的 3名 同 学 是 来 自 互 不 相 同 学 院 的 概 率 ；( )设 X 为 选
18、 出 的 3名 同 学 中 女 同 学 的 人 数 ， 求 随 机 变 量 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 .解 析 ： ( )利 用 排 列 组 合 求 出 所 有 基 本 事 件 个 数 及 选 出 的 3 名 同 学 是 来 自 互 不 相 同 学 院 的 基 本 事 件 个 数 ， 代 入 古 典 概 型 概 率 公 式 求 出 值 ；( )随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 值 为 0， 1， 2， 3， (k=0， 1， 2， 3)列 出 随机 变 量 X 的 分 布 列 求 出 期 望 值 .答 案 ： ( )设 “ 选 出 的 3名 同 学 是 来 自 互 不 相
19、同 学 院 ” 为 事 件 A，则 ，所 以 选 出 的 3 名 同 学 是 来 自 互 不 相 同 学 院 的 概 率 为 .( )随 机 变 量 X的 所 有 可 能 值 为 0， 1， 2， 3， (k=0， 1， 2， 3) 所 以 随 机 变 量 X的 分 布 列 是随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 .17.(13分 )如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， PA 底 面 ABCD， AD AB， AB DC， AD=DC=AP=2， AB=1，点 E 为 棱 PC的 中 点 . ( )证 明 ： BE DC；( )求 直 线 BE 与 平 面 PBD所 成 角 的 正
20、 弦 值 ；( )若 F 为 棱 PC上 一 点 ， 满 足 BF AC， 求 二 面 角 F-AB-P的 余 弦 值 .解 析 ： (I)以 A 为 坐 标 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 BE， DC的 方 向 向 量 ， 根据 =0， 可 得 BE DC；(II)求 出 平 面 PBD的 一 个 法 向 量 ， 代 入 向 量 夹 角 公 式 ， 可 得 直 线 BE与 平 面 PBD 所 成 角 的 正弦 值 ；( )根 据 BF AC， 求 出 向 量 的 坐 标 ， 进 而 求 出 平 面 FAB和 平 面 ABP的 法 向 量 ，
21、代 入 向 量夹 角 公 式 ， 可 得 二 面 角 F-AB-P 的 余 弦 值 .答 案 ： (I) PA 底 面 ABCD， AD AB，以 A 为 坐 标 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， AD=DC=AP=2， AB=1， 点 E 为 棱 PC的 中 点 . B(1， 0， 0)， C(2， 2， 0)， D(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， E(1， 1， 1) =(0， 1， 1)， =(2， 0， 0) =0， BE DC；( ) =(-1， 2， 0)， =(1， 0， -2)，设 平 面 PBD的 法 向 量 =(x， y，
22、z)，由 ， 得 ， 令 y=1， 则 =(2， 1， 1)， 则 直 线 BE与 平 面 PBD所 成 角 满 足 ： sin = = = ，故 直 线 BE 与 平 面 PBD所 成 角 的 正 弦 值 为 .( ) =(1， 2， 0)， =(-2， -2， 2)， =(2， 2， 0)，由 F 点 在 棱 PC 上 ， 设 = =(-2 ， -2 ， 2 )(0 1)，故 = + =(1-2 ， 2-2 ， 2 )(0 1)，由 BF AC， 得 =2(1-2 )+2(2-2 )=0， 解 得 = ， 即 =(- ， ， )， 设 平 面 FBA的 法 向 量 为 =(a， b， c)
23、， 由 ， 得令 c=1， 则 =(0， -3， 1)，取 平 面 ABP的 法 向 量 =(0， 1， 0)，则 二 面 角 F-AB-P的 平 面 角 满 足 ： cos = = = ，故 二 面 角 F-AB-P 的 余 弦 值 为 ： 18.(13分 )设 椭 圆 + =1(a b 0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1、 F2， 右 顶 点 为 A， 上 顶 点 为B， 已 知 |AB|= |F1F2|.( )求 椭 圆 的 离 心 率 ；( )设 P 为 椭 圆 上 异 于 其 顶 点 的 一 点 ， 以 线 段 PB为 直 径 的 圆 经 过 点 F1， 经 过 原 点 O
24、 的 直 线l与 该 圆 相 切 ， 求 直 线 l的 斜 率 .解 析 ： ( )设 椭 圆 的 右 焦 点 为 F 2(c， 0)， 由 |AB|= |F1F2|.可 得 ， 再 利用 b2=a2-c2， e= 即 可 得 出 .( )由 ( )可 得 b2=c2.可 设 椭 圆 方 程 为 ， 设 P(x0， y0)， 由 F1(-c， 0)， B(0， c)，可 得 ， .利 用 圆 的 性 质 可 得 ， 于 是 =0， 得 到 x 0+y0+c=0， 由 于 点 P 在 椭 圆 上 ， 可 得 .联 立 可 得 =0， 解 得 P .设 圆心 为 T(x1， y1)， 利 用 中
25、点 坐 标 公 式 可 得 T ， 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 可 得 圆的 半 径 r.设 直 线 l的 方 程 为 ： y=kx.利 用 直 线 与 圆 相 切 的 性 质 即 可 得 出 .答 案 ： ( )设 椭 圆 的 右 焦 点 为 F2(c， 0)，由 |AB|= |F 1F2|， 可 得 ， 化 为 a2+b2=3c2.又 b2=a2-c2， a2=2c2. e= .( )由 ( )可 得 b2=c2.因 此 椭 圆 方 程 为 .设 P(x 0， y0)， 由 F1(-c， 0)， B(0， c)， 可 得 =(x0+c， y0)， =(c， c). ， =c(x
26、0+c)+cy0=0， x0+y0+c=0， 点 P在 椭 圆 上 ， .联 立 ， 化 为 =0， x 0 0， ， 代 入 x0+y0+c=0， 可 得 . P .设 圆 心 为 T(x1， y1)， 则 =- ， = . T ， 圆 的 半 径 r= = .设 直 线 l 的 斜 率 为 k， 则 直 线 l 的 方 程 为 ： y=kx. 直 线 l 与 圆 相 切 ， ，整 理 得 k 2-8k+1=0， 解 得 . 直 线 l 的 斜 率 为 .19.(14分 )已 知 q 和 n 均 为 给 定 的 大 于 1 的 自 然 数 ， 设 集 合 M=0， 1， 2， ， q-1，
27、集 合A=x|x=x1+x2q+ +xnqn-1， xi M， i=1， 2， n.( )当 q=2， n=3时 ， 用 列 举 法 表 示 集 合 A；( )设 s， t A， s=a 1+a2q+ +anqn-1， t=b1+b2q+ +bnqn-1， 其 中 ai， bi M， i=1， 2， ， n.证 明 ： 若 an bn， 则 s t. 解 析 ： ( )当 q=2， n=3时 ， M=0， 1， A=x| ， xi M， i=1， 2， 3.即 可 得 到 集 合 A.( )由 题 意 可 得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+ + + (q-1)+(q-1)q+ +(q
28、-1)qn-2+(q-1)qn-1再 利 用 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 即 可 得 出 .答 案 ： ( )当 q=2， n=3 时 ，M=0， 1， A=x| ， x i M， i=1， 2， 3.可 得 A=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7.( )由 设 s， t A， s=a1+a2q+ +anqn-1， t=b1+b2q+ +bnqn-1， 其 中 ai， bi M， i=1， 2， ， n.an bn，可 得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+ + + (q-1)+(q-1)q+ +(q-1)q n-2+(q-1)qn-1= =-1 0. s t.
29、20.(14分 )设 f(x)=x-aex(a R)， x R， 已 知 函 数 y=f(x)有 两 个 零 点 x1， x2， 且 x1 x2.( )求 a 的 取 值 范 围 ；( )证 明 ： 随 着 a的 减 小 而 增 大 ；( )证 明 x 1+x2随 着 a的 减 小 而 增 大 .解 析 ： ( )对 f(x)求 导 ， 讨 论 f (x)的 正 负 以 及 对 应 f(x)的 单 调 性 ， 得 出 函 数 y=f(x)有 两个 零 点 的 等 价 条 件 ， 从 而 求 出 a 的 取 值 范 围 ；( )由 f(x)=0， 得 a= ， 设 g(x)= ， 判 定 g(x
30、)的 单 调 性 即 得 证 ；( )由 于 x1=a ， x2=a ， 则 x2-x1=lnx2-lnx1=ln ， 令 =t， 整 理 得 到x 1+x2= ， 令 h(x)= ， x (1， + )， 得 到 h(x)在 (1， + )上 是 增 函数 ， 故 得 到 x1+x2随 着 t的 减 小 而 增 大 .再 由 ( )知 ， t 随 着 a 的 减 小 而 增 大 ， 即 得 证 .答 案 ： ( ) f(x)=x-aex， f (x)=1-aex；下 面 分 两 种 情 况 讨 论 ： a 0时 ， f (x) 0 在 R 上 恒 成 立 ， f(x)在 R 上 是 增 函
31、数 ， 不 合 题 意 ； a 0时 ， 由 f (x)=0， 得 x=-lna， 当 x变 化 时 ， f (x)、 f(x)的 变 化 情 况 如 下 表 ： f(x)的 单 调 增 区 间 是 (- ， -lna)， 减 区 间 是 (-lna， + )； 函 数 y=f(x)有 两 个 零 点 等 价 于 如 下 条 件 同 时 成 立 ：(i)f(-lna) 0， (ii)存 在 s1 (- ， -lna)， 满 足 f(s1) 0， (iii)存 在 s2 (-lna， + )，满 足 f(s2) 0；由 f(-lna) 0， 即 -lna-1 0， 解 得 0 a e-1；取 s
32、1=0， 满 足 s1 (- ， -lna)， 且 f(s1)=-a 0，取 s 2= +ln ， 满 足 s2 (-lna， + )， 且 f(s2)=( - )+(ln - ) 0； a 的 取 值 范 围 是 (0， e-1).( )由 f(x)=x-aex=0， 得 a= ， 设 g(x)= ， 由 g (x)= ， 得 g(x)在 (- ， 1)上 单调 递 增 ， 在 (1， + )上 单 调 递 减 ，并 且 ， 当 x (- ， 0)时 ， g(x) 0， 当 x (0， + )时 ， g(x) 0，x 1、 x2满 足 a=g(x1)， a=g(x2)， a (0， e-1)
33、及 g(x)的 单 调 性 ， 可 得 x1 (0， 1)， x2 (1， + )；对 于 任 意 的 a1、 a2 (0， e-1)， 设 a1 a2， g(X1)=g(X2)=ai， 其 中 0 X1 1 X2；g(Y1)=g(Y2)=a2， 其 中 0 Y1 1 Y2； g(x)在 (0， 1)上 是 增 函 数 ， 由 a1 a2， 得 g(Xi) g(Yi)， 可 得 X1 Y1； 类 似 可 得 X2 Y2；又 由 X、 Y 0， 得 ； 随 着 a的 减 小 而 增 大 ；( ) x 1=a ， x2=a ， lnx1=lna+x1， lnx2=lna+x2； x2-x1=lnx
34、2-lnx1=ln ， 设 =t， 则 t 1， ， 解 得 x1= ， x2= ， x1+x2= ；令 h(x)= ， x (1， + )， 则 h (x)= ；令 u(x)=-2lnx+x- ， 得 u (x)= ， 当 x (1， + )时 ， u (x) 0， u(x)在 (1， + )上 是 增 函 数 ， 对 任 意 的 x (1， + )， u(x) u(1)=0， h (x) 0， h(x)在 (1， + )上 是 增 函 数 ； 由 得 x1+x2随 着 t 的 减 小 而 增 大 .由 ( )知 ， t 随 着 a的 减 小 而 增 大 ， x1+x2随 着 a 的 减 小 而 增 大 .
