1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 安 徽 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 (共 本 大 题 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 )1.设 i是 虚 数 单 位 ， 复 数 i3+ =( )A.-iB.iC.-1D.1解 析 ： 复 数 i 3+ =-i+ =-i+ =1.答 案 ： D.2.命 题 “ x R， |x|+x2 0” 的 否 定 是 ( )A.x R， |x|+x2 0B.x R， |x|+x2 0C.x 0 R， |x0|+x02 0D.x0 R， |x0|+x02 0解 析 ： 根 据 全 称 命 题 的 否 定
2、是 特 称 命 题 ， 则 命 题 “ x R， |x|+x2 0” 的 否 定 x0 R，|x0|+x02 0，答 案 ： C.3.抛 物 线 y= x2的 准 线 方 程 是 ( )A. y=-1B. y=-2C. x=-1D. x=-2 解 析 ： 抛 物 线 y= x2的 标 准 方 程 为 x2=4y， 焦 点 在 y 轴 上 ， 2p=4， =1， 准 线 方 程 y=- =-1.答 案 ： A.4.如 图 所 示 ， 程 序 框 图 (算 法 流 程 图 )的 输 出 结 果 是 ( ) A. 34B. 55C. 78D. 89解 析 ： 第 一 次 循 环 得 z=2， x=1
3、， y=2；第 二 次 循 环 得 z=3， x=2， y=3；第 三 次 循 环 得 z=5， x=3， y=5；第 四 次 循 环 得 z=8， x=5， y=8；第 五 次 循 环 得 z=13， x=8， y=13；第 六 次 循 环 得 z=21， x=13， y=21；第 七 次 循 环 得 z=34， x=21， y=34；第 八 次 循 环 得 z=55， x=34， y=55； 退 出 循 环 ， 输 出 55，答 案 ： B 5.设 a=log37， b=23.3， c=0.81.1， 则 ( )A. b a cB. c a bC. c b aD. a c b解 析 ： 1
4、 log37 2， b=23.3 2， c=0.81.1 1， 则 c a b，答 案 ： B.6.过 点 P(- ， -1)的 直 线 l 与 圆 x 2+y2=1有 公 共 点 ， 则 直 线 l 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 ( )A. (0， B. (0， C. 0， D. 0， 解 析 ： 由 题 意 可 得 ， 要 求 的 直 线 的 斜 率 存 在 ， 设 为 k， 则 直 线 方 程 为 y+1=k(x+ )，即 kx-y+ k-1=0. 根 据 直 线 和 圆 有 交 点 、 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 或 等 于 半 径 可 得 1，即 3k2-2 k
5、+1 k2+1， 解 得 0 k ， 故 直 线 l的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 0， ，答 案 ： D.7.若 将 函 数 f(x)=sin2x+cos2x的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 ， 所 得 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 则 的最 小 正 值 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 函 数 f(x)=sin2x+cos2x= sin(2x+ )的 图 象 向 右 平 移 的 单 位 ，所 得 图 象 是 函 数 y= sin(2x+ -2 )，图 象 关 于 y轴 对 称 ， 可 得 -2 =k + ， 即 =- ，当 k=-1时 ， 的 最 小 正 值 是
6、. 答 案 ： C.8.一 个 多 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 多 面 体 的 体 积 为 ( ) A.B.C. 6D. 7解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ， 该 多 面 体 是 由 正 方 体 截 去 两 个 正 三 棱 锥 所 成 的 几 何 体 ， 如 图 ，正 方 体 棱 长 为 2， 正 三 棱 锥 侧 棱 互 相 垂 直 ， 侧 棱 长 为 1， 故 几 何 体 的 体 积 为 ： V 正 方 体 -2V 棱 锥 侧 = .答 案 ： A. 9.若 函 数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的 最 小 值 为 3， 则 实 数 a 的 值 为 ( )A.
7、 5或 8B. -1或 5C. -1或 -4D. -4或 8解 析 ： -1时 ， x - ， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 -1；- x -1， f(x)=-x-1+2x+a=x+a-1 -1；x -1， f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 a-2， -1=3或 a-2=3， a=8或 a=5，a=5时 ， -1 a-2， 故 舍 去 ； -1 时 ， x -1， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 2-a；-1 x - ， f(x)=x+1-2x-a=-x-a+1 - +1；x - ， f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 - +1， 2-a=3 或 -
8、 +1=3， a=-1 或 a=-4， a=-1时 ， - +1 2-a， 故 舍 去 ；综 上 ， a=-4或 8.答 案 ： D.10.设 ， 为 非 零 向 量 ， | |=2| |， 两 组 向 量 ， ， ， 和 ， ， ， ， 均 由 2个 和 2个 排 列 而 成 ， 若 + + + 所 有 可 能 取 值 中 的 最 小 值为 4| |2， 则 与 的 夹 角 为 ( )A.B.C.D. 0解 析 ： 由 题 意 ， 设 与 的 夹 角 为 ， 分 类 讨 论 可 得 + + + = + + + =10| |2， 不 满 足 + + + = + + + =5| |2+4| |2
9、cos ， 不 满 足 ； + + + =4 =8| |2cos =4| |2， 满 足 题 意 ， 此 时 cos = ， 与 的 夹 角 为 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 )11.( ) +log 3 +log3 = .解 析 ： ( ) +log3 +log3 = = .答 案 ： .12.如 图 ， 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， 斜 边 BC=2 ， 过 点 A 作 BC的 垂 线 ， 垂 足 为 A 1， 过 点A1作 AC的 垂 线 ， 垂 足 为 A2， 过 点 A2作 A1C 的 垂
10、线 ， 垂 足 为 A3 ， 依 此 类 推 ， 设 BA=a1， AA1=a2，A1A2=a3， ， A5A6=a7， 则 a7= .解 析 ： 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， 斜 边 BC=2 ， sin45 = ， 即 = ， 同 理 = ， = ， 由 归 纳 推 理 可 得 an是 公 比 q= 的 等 比 数 列 ， 首 项 a1=2，则 a7= = ，答 案 ： .13.不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 . 解 析 ： 由 不 等 式 组 作 平 面 区 域 如 图 ， 由 图 可 知 A(2， 0)， C(0， 2)，联 立 ， 解 得 ：
11、B(8， -2). |BC|= .点 A 到 直 线 x+2y-4=0的 距 离 为 d= . .答 案 ： 4.14.若 函 数 f(x)(x R)是 周 期 为 4的 奇 函 数 ， 且 在 0， 2上 的 解 析 式 为 f(x)= ， 则 f( )+f( )= .解 析 ： 函 数 f(x)(x R)是 周 期 为 4的 奇 函 数 ， 且 在 0， 2上 的 解 析 式 为f(x)= ，则 f( )+f( )=f(8- )+f(8- )=f(- )+f(- ) =-f( )-f( )= = = .答 案 ： .15.若 直 线 l 与 曲 线 C 满 足 下 列 两 个 条 件 ：(
12、i)直 线 l 在 点 P(x0， y0)处 与 曲 线 C 相 切 ；(ii)曲 线 C在 点 P 附 近 位 于 直 线 l的 两 侧 ， 则 称 直 线 l 在 点 P处 “ 切 过 ” 曲 线 C.下 列 命 题 正 确 的 是 (写 出 所 有 正 确 命 题 的 编 号 ). 直 线 l： y=0 在 点 P(0， 0)处 “ 切 过 ” 曲 线 C： y=x 3 直 线 l： x=-1在 点 P(-1， 0)处 “ 切 过 ” 曲 线 C： y=(x+1)2 直 线 l： y=x 在 点 P(0， 0)处 “ 切 过 ” 曲 线 C： y=sinx 直 线 l： y=x 在 点
13、P(0， 0)处 “ 切 过 ” 曲 线 C： y=tanx 直 线 l： y=x-1 在 点 P(1， 0)处 “ 切 过 ” 曲 线 C： y=lnx.解 析 ： 对 于 ， 由 y=x3， 得 y =3x2， 则 y |x=0=0， 直 线 y=0 是 过 点 P(0， 0)的 曲 线 C的 切线 ， 又 当 x 0 时 y 0， 当 x 0 时 y 0， 满 足 曲 线 C 在 P(0， 0)附 近 位 于 直 线 y=0两 侧 ， 命 题 正 确 ；对 于 ， 由 y=(x+1) 2， 得 y =2(x+1)， 则 y |x=-1=0，而 直 线 l： x=-1的 斜 率 不 存 在
14、 ， 在 点 P(-1， 0)处 不 与 曲 线 C 相 切 ， 命 题 错 误 ；对 于 ， 由 y=sinx， 得 y =cosx， 则 y |x=0=1， 直 线 y=x是 过 点 P(0， 0)的 曲 线 的 切 线 ，又 x 时 x sinx， x 时 x sinx， 满 足 曲 线 C 在 P(0， 0)附 近位 于 直 线 y=x两 侧 ， 命 题 正 确 ；对 于 ， 由 y=tanx， 得 ， 则 y | x=0=1， 直 线 y=x是 过 点 P(0， 0)的 曲 线 的 切 线 ，又 x 时 tanx x， x 时 tanx x， 满 足 曲 线 C 在 P(0， 0)附
15、 近位 于 直 线 y=x两 侧 ， 命 题 正 确 ；对 于 ， 由 y=lnx， 得 ， 则 y |x=1=1， 曲 线 在 P(1， 0)处 的 切 线 为 y=x-1，由 g(x)=x-1-lnx， 得 ， 当 x (0， 1)时 ， g (x) 0，当 x (1， + )时 ， g (x) 0. g(x)在 (0， + )上 有 极 小 值 也 是 最 小 值 ， 为 g(1)=0. y=x-1 恒 在 y=lnx的 上 方 ， 不 满 足 曲 线 C在 点 P 附 近 位 于 直 线 l的 两 侧 ， 命 题 错 误 . 正 确 的 命 题 是 . 答 案 ： .三 、 解 答 题
16、 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 )16.(12分 )设 ABC 的 内 角 A， B， C 所 对 边 的 长 分 别 为 a， b， c， 且 b=3， c=1， ABC的 面积 为 ， 求 cosA 与 a 的 值 . 解 析 ： 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 ， 求 出 sinA= ， 利 用 平 方 关 系 ， 求 出 cosA， 利 用 余 弦 定理 求 出 a 的 值 .答 案 ： b=3， c=1， ABC的 面 积 为 ， = ， sinA= ，又 sin2A+cos2A=1 cosA= ，由 余 弦 定 理 可 得 a= =2 或 2 .17.(12
17、分 )某 高 校 共 有 学 生 15000人 ， 其 中 男 生 10500 人 ， 女 生 4500人 ， 为 调 查 该 校 学 生每 周 平 均 体 育 运 动 时 间 的 情 况 ， 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 ， 收 集 300 名 学 生 每 周 平 均 体 育 运 动 时间 的 样 本 数 据 （ 单 位 ： 小 时 ） . ( )应 收 集 多 少 位 女 生 的 样 本 数 据 ？( )根 据 这 300个 样 本 数 据 ， 得 到 学 生 每 周 平 均 体 育 运 动 时 间 的 频 率 分 布 直 方 图 (如 图 所示 )， 其 中 样 本 数 据 的 分
18、 组 区 间 为 ： 0， 2， (2， 4， (4， 6， (6， 8， (8， 10， (10， 12，估 计 该 校 学 生 每 周 平 均 体 育 运 动 时 间 超 过 4小 时 的 概 率 ；( )在 样 本 数 据 中 ， 有 60位 女 生 的 每 周 平 均 体 育 运 动 时 间 超 过 4 小 时 ， 请 完 成 每 周 平 均 体育 运 动 时 间 与 性 别 列 联 表 ， 并 判 断 是 否 有 95%的 把 握 认 为 “ 该 校 学 生 的 每 周 平 均 体 育 运 动 时间 与 性 别 有 关 ” . 附 ： K2= .解 析 ： ( )根 据 15000
19、人 ， 其 中 男 生 10500人 ， 女 生 4500人 ， 可 得 应 收 集 多 少 位 女 生 的 样本 数 据 ；( )由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 1-2 (0.100+0.025)=0.75， 即 可 求 出 该 校 学 生 每 周 平 均 体 育 运动 时 间 超 过 4 小 时 的 概 率 ； ( )写 出 2 2 列 联 表 ， 求 出 K2， 与 临 界 值 比 较 ， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： ( )300 =90， 应 收 集 90 位 女 生 的 样 本 数 据 ；( )由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 1-2 (0.100+0.025
20、)=0.75， 该 校 学 生 每 周 平 均 体 育 运 动 时 间 超 过 4 小 时 的 概 率 为 0.75； ( )由 ( )知 ， 300位 学 生 中 有 300 0.75=225人 每 周 平 均 体 育 运 动 时 间 超 过 4小 时 ， 75人 每 周 平 均 体 育 运 动 时 间 不 超 过 4小 时 ， 又 因 为 样 本 数 据 中 有 210份 是 关 于 男 生 的 ， 90 份是 关 于 女 生 的 ， 所 以 每 周 平 均 体 育 运 动 时 间 与 性 别 列 联 表 如 下 ： K 2= 4.762 3.841， 有 95%的 把 握 认 为 “ 该
21、 校 学 生 的 每 周 平 均 体 育 运 动 时 间 与 性 别 有 关 ” .18.(12分 )数 列 an满 足 a1=1， nan+1=(n+1)an+n(n+1)， n N*.( )证 明 ： 数 列 是 等 差 数 列 ；( )设 b n=3n ， 求 数 列 bn的 前 n 项 和 Sn.解 析 ： ( )将 nan+1=(n+1)an+n(n+1)的 两 边 同 除 以 n(n+1)得 ， 由 等 差 数 列 的 定义 得 证 .( )由 ( )求 出 bn=3n =n3n， 利 用 错 位 相 减 求 出 数 列 bn的 前 n项 和 Sn.答 案 ： ( ) na n+1
22、=(n+1)an+n(n+1)， ， ， 数 列 是 以 1 为 首 项 ， 以 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ；( )由 ( )知 ， ， ，bn=3n =n 3n， 3 n-1+n 3n 3n+n 3n+1 - 得 3n-n 3n+1= = . 19.(13分 )如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD的 底 面 是 边 长 为 8的 正 方 形 ， 四 条 侧 棱 长 均 为 2 ， 点 G，E， F， H 分 别 是 棱 PB， AB， CD， PC上 共 面 的 四 点 ， 平 面 GEFH 平 面 ABCD， BC 平 面 GEFH.( )证 明 ： GH EF； ( )若 EB
23、=2， 求 四 边 形 GEFH的 面 积 .解 析 ： ( )证 明 GH EF， 只 需 证 明 EF 平 面 PBC， 只 需 证 明 BC EF， 利 用 BC 平 面 GEFH即 可 ；( )求 出 四 边 形 GEFH的 上 底 、 下 底 及 高 ， 即 可 求 出 面 积 .答 案 ： ( ) BC 平 面 GEFH， 平 面 GEFH 平 面 ABCD=EF， BC平 面 ABCD， BC EF， EF平 面 PBC， BC平 面 PBC， EF 平 面 PBC， 平 面 EFGH 平 面 PBC=GH， EF GH；( )连 接 AC， BD交 于 点 O， BD交 EF
24、于 点 K， 连 接 OP， GK. PA=PC， O为 AC中 点 ， PO AC，同 理 可 得 PO BD，又 BD AC=O， AC底 面 ABCD， BD底 面 ABCD， PO 底 面 ABCD，又 平 面 GEFH 平 面 ABCD， PO平 面 GEFH， PO 平 面 GEFH， 平 面 PBD 平 面 GEFH=GK， PO GK， 且 GK 底 面 ABCD GK是 梯 形 GEFH的 高 AB=8， EB=2， ， KB= ， 即 K 为 OB 中 点 ，又 PO GK， GK= PO， 即 G 为 PB 中 点 ， 且 GH= ，由 已 知 可 得 OB=4 ， PO
25、= = =6， GK=3，故 四 边 形 GEFH 的 面 积 S= = =18. 20.(13分 )设 函 数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3， 其 中 a 0.( )讨 论 f(x)在 其 定 义 域 上 的 单 调 性 ；( )当 x 0， 1时 ， 求 f(x)取 得 最 大 值 和 最 小 值 时 的 x的 值 .解 析 ： ( )利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 即 可 ；( )利 用 ( )的 结 论 ， 讨 论 两 根 与 1的 大 小 关 系 ， 判 断 函 数 在 0， 1时 的 单 调 性 ， 得 出 取 最值 时 的 x 的 取 值 .答 案 ：
26、( )f(x)的 定 义 域 为 (- ， + )， f (x)=1+a-2x-3x2，由 f (x)=0， 得 x 1= ， x2= ， x1 x2， 由 f (x) 0得 x ， x ；由 f (x) 0 得 x ；故 f(x)在 (- ， )和 ( ， + )单 调 递 减 ，在 ( ， )上 单 调 递 增 ；( ) a 0， x 1 0， x2 0，(i)当 a 4时 ， x2 1， 由 ( )知 ， f(x)在 0， 1上 单 调 递 增 ， f(x)在 x=0和 x=1处 分 别取 得 最 小 值 和 最 大 值 .(ii)当 0 a 4时 ， x2 1， 由 ( )知 ， f(
27、x)在 0， x2单 调 dz， 在 x2， 1上 单 调 递 减 ，因 此 f(x)在 x=x2= 处 取 得 最 大 值 ， 又 f(0)=1， f(1)=a， 当 0 a 1 时 ， f(x)在 x=1处 取 得 最 小 值 ；当 a=1时 ， f(x)在 x=0和 x=1处 取 得 最 小 值 ；当 1 a 4时 ， f(x)在 x=0处 取 得 最 小 值 .21.(13分 )设 F 1， F2分 别 是 椭 圆 E： + =1(a b 0)的 左 、 右 焦 点 ， 过 点 F1的 直 线 交 椭圆 E 于 A， B 两 点 ， |AF1|=3|F1B|.( )若 |AB|=4，
28、ABF2的 周 长 为 16， 求 |AF2|；( )若 cos AF2B= ， 求 椭 圆 E 的 离 心 率 .解 析 ： ( )利 用 |AB|=4， ABF2的 周 长 为 16， |AF1|=3|F1B|， 结 合 椭 圆 的 定 义 ， 即 可 求 |AF2|；( )设 |F 1B|=k(k 0)， 则 |AF1|=3k， |AB|=4k， 由 cos AF2B= ， 利 用 余 弦 定 理 ， 可 得 a=3k，从 而 AF1F2是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 即 可 求 椭 圆 E 的 离 心 率 .答 案 ： ( ) |AB|=4， |AF1|=3|F1B|， |AF1|=3， |F1B|=1， ABF2的 周 长 为 16， 4a=16， |AF1|+|AF2|=2a=8， |AF2|=5；( )设 |F1B|=k(k 0)， 则 |AF1|=3k， |AB|=4k， |AF2|=2a-3k， |BF2|=2a-k cos AF2B= ， (4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)(2a-k)，化 简 可 得 a=3k， |AF2|=|AF1|=3k， |BF2|=5k |BF2|2=|AF2|2+|AB|2， AF1 AF2， AF1F2是 等 腰 直 角 三 角 形 ， c= a， e= = .
