2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）数学文及答案解析.docx

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2、.sin2 0D.cos2 0解析： tan 0，，则 sin2 =2sin cos 0.答案： C.3.设 z= +i，则 |z|=( ) A.B.C.D.2解析： z= +i= +i= ，故 |z|= = .答案： B.4.已知双曲线 - =1(a 0)的离心率为 2，则 a=( ) A.2B. C.D.1解析：双曲线的离心率 e= =2，解答 a=1.答案： D.5.设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的

4、， AB 的中点，则 + =( )A.B. C.D.解析： D， E， F 分别为 ABC的三边 BC， CA， AB 的中点， + =( + )+( + )= + = ( + )= . 答案： A 7.在函数 y=cos 丨 2x 丨， y=丨 cosx丨， y=cos(2x+ ) y=tan(2x- )中，最小正周期为的所有函数为 ( )A. B. C. D. 解析：函数 y=cos 丨 2x 丨的最小正周期为 = ， y=丨 cosx丨的最小正周期为 = ， y=cos(2x+ )的最小

5、正周期为 = ， y=tan(2x- )的最小正周期为，答案： A8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ( ) A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体如图：几何体是三棱柱 .答案： B. 9.执行如图的程序框图，若输入的 a

6、， b， k分别为 1， 2， 3，则输出的 M=( ) A.B.C.D.解析：由程序框图知：第一次循环 M=1+ = ， a=2， b= ， n=2；第二次循环 M=2+ = ， a= ， b= ， n=3；第三次循环 M= + = ， a= ， b= ， n=4. 不满足条件 n 3，跳出循环体，输出 M= .答案： D.10.已知抛物线 C： y2=x 的焦点为 F， A(x0， y0)是 C 上一点， |AF|= x0， x0=( )A.1B.2C.4D.8 解析：由抛物

7、线的定义，可得 |AF|=x0+ ， |AF|= x0， x0+ = x0， x0=1，答案： A.11.设 x， y满足约束条件，且 z=x+ay的最小值为 7，则 a=( )A.-5B.3C.-5或 3D.5或 -3解析：由约束条件作可行域如图，联立，解得 . A( ).当 a=0时 A为 ( )， z=x+ay 的最小值为，不满足题意；当 a 0 时，由 z=x+ay 得，要使 z最小，则直线在 y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存

8、在；当 a 0 时，由 z=x+ay 得，由图可知，当直线过点 A时直线在 y轴上的截距最小， z 最小 . 此时 z= ，解得： a=3或 a=-5(舍 ).答案： B.12.已知函数 f(x)=ax3-3x2+1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0，则 a 的取值范围是 ( )A. (2， + )B. (1， + ) C. (- ， -2)D. (- ， -1)解析：当 a=0时， f(x)=-3x2+1=0，解得 x= ，函数 f(x)有两个零点，不符

9、合题意，应舍去；当 a 0 时，令 f (x)=3ax2-6x=3ax =0，解得 x=0或 x= 0，列表如下： x + ， f(x) - ，而 f(0)=1 0，存在 x 0，使得 f(x)=0，不符合条件： f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0，应舍去 .当 a 0 时， f (x)=3ax2-6x=3ax =0，解得 x=0或 x= 0，列表如下：而 f(0)=1 0， x + 时， f(x) - ，存在 x 0 0，使得 f(x0)=0， f(x)存在唯一的零点 x0，

10、且 x0 0，极小值 = ，化为 a2 4， a 0， a -2.综上可知： a 的取值范围是 (- ， -2).答案： C.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13.将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 .解析：首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到 2 本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可 . 答案： 2 本不

11、同的数学书和 1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学 1，数学 2，语文），（数学 1，语文，数学 2），（数学 2，数学 1，语文），（数学 2，语文，数学1），（语文，数学 1，数学 2），（语文，数学 2，数学 1）共 6 个，其中 2本数学书相邻的有（数学 1，数学 2，语文），（数学 2，数学 1，语文），（语文，数学1，数学 2），（

12、语文，数学 2，数学 1）共 4个，故本数学书相邻的概率 P= .答案： . 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B， C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 .解析：由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 A 城市或 B 城市，但甲说：我去过的

13、城市比乙多，但没去过 B城市，则乙只能是去过 A， B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为 A.答案： A. 15.设函数 f(x)= ，则使得 f(x) 2成立的 x的取值范围是 .解析： x 1时， ex-1 2， x ln2+1， x 1；x 1 时， 2， x 8， 1 x 8，综上，使得 f(x) 2成立的 x的取值范围是 x 8.答案： x 8.16.如图，为测量山高 MN

14、，选择 A 和另一座山的山顶 C为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角 MAN=60 ， C 点的仰角 CAB=45 ，以及 MAC=75 ；从 C 点测得 MCA=60 .已知山高 BC=100m，则山高 MN= m. 解析： ABC中， BAC=45 ， ABC=90 ， BC=100， AC= =100 . AMC中， MAC=75 ， MCA=60 ， AMC=45 ，由正弦定理可得，即，解得 AM=100 .Rt AMN中， MN=AMsin MAN=100 sin60 =150(m

15、)，答案： 150.三、解答题：解答应写出文字说明 .证明过程或演算步骤 17.（ 12 分）已知 an是递增的等差数列， a2， a4是方程 x2-5x+6=0的根 .(1)求 an的通项公式；(2)求数列的前 n 项和 .解析： (1)解出方程的根，根据数列是递增的求出 a2， a4的值，从而解出通项；(2)将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和 .答案： (1)方程 x 2-5x+6=0的

16、根为 2， 3.又 an是递增的等差数列，故 a2=2， a4=3，可得 2d=1， d= ，故 an=2+(n-2) = n+1，(2)设数列的前 n 项和为 Sn，S n= ， Sn= ， - 得 S n= = ，解得 Sn= =2- .18.（ 12 分）从某企业生产的产品中抽取 100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指

17、标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合 “ 质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品 80%” 的规定？解析： (1)根据频率分布直方图做法画出即可；(2)用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可 .(3)求出质量指标值不低于 95

18、的产品所占比例的估计值，再和 0.8比较即可 .答案： (1)频率分布直方图如图所示： (2)质量指标的样本平均数为 =80 0.06+90 0.26+100 0.38+110 0.22+120 0.08=100，质量指标的样本的方差为S2=(-20)2 0.06+(-10)2 0.26+0 0.38+102 0.22+202 0.08=104，这种产品质量指标的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104.(3)质量指标值不低于

19、95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合 “ 质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品 80%” 的规定 . 19.（ 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 BB1C1C为菱形， B1C 的中点为 O，且 AO 平面BB1C1C.(1)证明： B 1C AB；(2)若 AC AB1， CBB1=60 ， BC=1，求三棱柱 ABC-A

20、1B1C1的高 .解析： (1)连接 BC1，则 O为 B1C 与 BC1的交点，证明 B1C 平面 ABO，可得 B1C AB；(2)作 OD BC，垂足为 D，连接 AD，作 OH AD，垂足为 H，证明 CBB1为等边三角形，求出B1到平面 ABC的距离，即可求三棱柱 ABC-A1B1C1的高 .答案： (1)连接 BC1，则 O为 B1C 与 BC1的交点，侧面 BB1C1C 为菱形， BC1 B1C， AO 平面 BB 1C1C， AO B1C， AO BC1=O， B1

21、C 平面 ABO， AB平面 ABO， B1C AB；(2)作 OD BC，垂足为 D，连接 AD，作 OH AD，垂足为 H， BC AO， BC OD， AO OD=O， BC 平面 AOD， OH BC， OH AD， BC AD=D， OH 平面 ABC， CBB 1=60 ， CBB1为等边三角形， BC=1， OD= ， AC AB1， OA= B1C= ，由 OHAD=ODOA，可得 AD= = ， OH= ， O 为 B 1C 的中点， B1到平面 ABC的距离为，三棱柱 ABC-A1B1C1的高 .20.（

22、12 分）已知点 P(2， 2)，圆 C： x2+y2-8y=0，过点 P的动直线 l 与圆 C交于 A， B 两点，线段 AB的中点为 M， O 为坐标原点 .(1)求 M 的轨迹方程；(2)当 |OP|=|OM|时，求 l的方程及 POM的面积 .解析： (1)由圆 C 的方程求出圆心坐标和半径，设出 M 坐标，由与数量积等于 0 列式得 M 的轨迹方程； (2)设 M 的轨迹的圆心为 N，由 |OP|=|OM|得到 ON PM.求出 ON所

23、在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到 PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出 O 到 l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出 PM的长度，代入三角形面积公式得答案 .答案： (1)由圆 C： x2+y2-8y=0，得 x2+(y-4)2=16，圆 C的圆心坐标为 (0， 4)，半径为 4.设 M(x， y)，则， .由题意可得： .即 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0.整理得： (x-

24、1) 2+(y-3)2=2.由于点 P 在圆 C内部， M 的轨迹方程是 (x-1)2+(y-3)2=2.(2)由 (1)知 M 的轨迹是以点 N(1， 3)为圆心，为半径的圆，由于 |OP|=|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N上，从而 ON PM. k ON=3，直线 l 的斜率为 - . 直线 PM 的方程为，即 x+3y-8=0.则 O 到直线 l 的距离为 .又 N 到 l 的距离为， |PM|= = . .21.（ 12 分）设函

25、数 f(x)=alnx+ x 2-bx(a 1)，曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线斜率为 0，(1)求 b；(2)若存在 x0 1，使得 f(x0) ，求 a 的取值范围 .解析： (1)利用导数的几何意义即可得出；(2)对 a 分类讨论：当 a 时，当 a 1 时，当 a 1 时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 .答案： (1)f (x)= (x 0)，曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线斜率为 0， f

26、 (1)=a+(1-a) 1-b=0，解得 b=1.(2)函数 f(x)的定义域为 (0， + )，由 (1)可知： f(x)=alnx+ ， = . 当 a 时，则，则当 x 1 时， f (x) 0，函数 f(x)在 (1， + )单调递增，存在 x0 1，使得 f(x0) 的充要条件是，即，解得；当 a 1时，则，则当 x 时， f (x) 0，函数 f(x)在上单调递减；当 x 时， f (x) 0，函数 f(x)在上单调递增 . 存在 x0 1，使得 f(x0)

27、的充要条件是，而 = + ，不符合题意，应舍去 . 若 a 1 时， f(1)= ，成立 .综上可得： a的取值范围是 .请考生在第 22， 23， 24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时清写清题号。【选修 4-1：几何证明选讲】22.（ 10 分）如图，四边形 ABCD是 O 的内接四边形， AB的延长线与 DC的延长线交于点 E，且 CB=CE.( )证明： D= E；( )

28、设 AD 不是 O 的直径， AD的中点为 M，且 MB=MC，证明： ADE为等边三角形 . 解析： ( )利用四边形 ABCD是 O 的内接四边形，可得 D= CBE，由 CB=CE，可得 E= CBE，即可证明： D= E；( )设 BC的中点为 N，连接 MN，证明 AD BC，可得 A= CBE，进而可得 A= E，即可证明 ADE为等边三角形 . 答案： ( ) 四边形 ABCD是 O 的内接四边形， D= CBE， CB=CE， E= CBE，

29、D= E；( )设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MB=MC 知 MN BC， O 在直线 MN上， AD 不是 O 的直径， AD的中点为 M， OM AD， AD BC， A= CBE， CBE= E， A= E，由 ( )知， D= E， ADE为等边三角形 .【选修 4-4：坐标系与参数方程】23.已知曲线 C： + =1，直线 l：（ t 为参数）( )写出曲线 C的参数方程，直线 l 的普通方程 .( )过曲线 C 上任意一点 P 作与 l夹角

30、为 30 的直线，交 l于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 .解析： ( )联想三角函数的平方关系可取 x=2cos 、 y=3sin 得曲线 C的参数方程，直接消掉参数 t得直线 l的普通方程；( )设曲线 C 上任意一点 P(2cos ， 3sin ).由点到直线的距离公式得到 P到直线 l的距离，除以 sin30 进一步得到 |PA|，化积后由三角函数的范围求得 |PA|的最大值与最小值 .答案：

31、 ( )对于曲线 C： + =1，可令 x=2cos 、 y=3sin ，故曲线 C 的参数方程为， ( 为参数 ).对于直线 l：，由得： t=x-2，代入并整理得： 2x+y-6=0；( )设曲线 C 上任意一点 P(2cos ， 3sin ).P到直线 l的距离为. 则，其中为锐角 .当 sin( + )=-1时， |PA|取得最大值，最大值为 . 当 sin( + )=1 时， |PA|取得最小值，最小值为 .【选修 4-5：不等式选讲】24

32、.若 a 0， b 0，且 + = .( )求 a3+b3的最小值；( )是否存在 a， b，使得 2a+3b=6？并说明理由 .解析： ( )由条件利用基本不等式求得 ab 4，再利用基本不等式求得 a 3+b3的最小值 .( )根据 ab 4 及基本不等式求的 2a+3b 8，从而可得不存在 a， b，使得 2a+3b=6.答案： ( ) a 0， b 0，且 + = ， = + 2 ， ab 2，当且仅当 a=b= 时取等号 . a3+b3 2 2 =4 ，当且仅当 a=b= 时取等号， a 3+b3的最小值为 4 .( )由 (1)可知， 2a+3b 2 =2 4 6，故不存在 a， b，使得 2a+3b=6成立 .

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