1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 福 建 卷 ） 数 学 文一 .选 择 题 :本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 60分1.若 集 合 P=x|2 x 4， Q=x|x 3， 则 PQ 等 于 ( )A.x|3 x 4B.x|3 x 4C.x|2 x 3D.x|2 x 3解 析 ： P=x|2 x 4， Q=x|x 3， PQ=x|3 x 4.答 案 ： A. 2.复 数 (3+2i)i等 于 ( )A. -2-3iB. -2+3iC. 2-3iD. 2+3i解 析 ： (3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.答 案 ： B.3.
2、以 边 长 为 1 的 正 方 形 的 一 边 所 在 所 在 直 线 为 旋 转 轴 ， 将 该 正 方 形 旋 转 一 周 所 得 圆 柱 的 侧 面积 等 于 ( )A. 2B. C. 2 D. 1解 析 ： 边 长 为 1的 正 方 形 ， 绕 其 一 边 所 在 直 线 旋 转 一 周 ， 得 到 的 几 何 体 为 圆 柱 ，则 所 得 几 何 体 的 侧 面 积 为 ： 1 2 1=2 ，答 案 ： A.4.阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 输 出 的 n的 值 为 ( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4解 析 ： 由 程 序 框
3、 图 知 ： 第 一 次 循 环 n=1， 21 1；第 二 次 循 环 n=2， 22=4.不 满 足 条 件 2n n2， 跳 出 循 环 ， 输 出 n=2.答 案 ： B.5.命 题 “ x 0， + )， x 3+x 0” 的 否 定 是 ( )A.x (- ， 0)， x3+x 0B.x (- ， 0)， x3+x 0C.x0 0， + )， x03+x0 0D.x0 0， + )， x03+x0 0解 析 ： 命 题 “ x 0， + )， x3+x 0” 是 一 个 全 称 命 题 . 其 否 定 命 题 为 ： x 0 0， + )， x03+x0 0答 案 ： C.6.已
4、知 直 线 l 过 圆 x2+(y-3)2=4的 圆 心 ， 且 与 直 线 x+y+1=0垂 直 ， 则 l 的 方 程 是 ( )A. x+y-2=0B. x-y+2=0C. x+y-3=0D. x-y+3=0解 析 ： 由 题 意 可 得 所 求 直 线 l经 过 点 (0， 3)， 斜 率 为 1，故 l 的 方 程 是 y-3=x-0， 即 x-y+3=0，答 案 ： D. 7.将 函 数 y=sinx的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 ， 得 到 函 数 y=f(x)的 函 数 图 象 ， 则 下 列 说 法 正确 的 是 ( )A. y=f(x)是 奇 函 数B. y=f(x
5、)的 周 期 为 C. y=f(x)的 图 象 关 于 直 线 x= 对 称D. y=f(x)的 图 象 关 于 点 (- ， 0)对 称解 析 ： 将 函 数 y=sinx的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 ， 得 y=sin(x+ )=cosx.即 f(x)=cosx. f(x)是 周 期 为 2 的 偶 函 数 ， 选 项 A， B 错 误 ； cos =cos(- )=0， y=f(x)的 图 象 关 于 点 (- ， 0)、 ( ， 0)成 中 心 对 称 . 答 案 ： D.8.若 函 数 y=logax(a 0， 且 a 1)的 图 象 如 图 所 示 ， 则 下 列 函 数
6、 正 确 的 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 由 对 数 函 数 的 图 象 知 ， 此 函 数 图 象 过 点 (3， 1)， 故 有 y=loga3=1， 解 得 a=3，对 于 A， 由 于 y=a-x是 一 个 减 函 数 故 图 象 与 函 数 不 对 应 ， A错 ；对 于 B， 由 于 幂 函 数 y=xa是 一 个 增 函 数 ， 且 是 一 个 奇 函 数 ， 图 象 过 原 点 ， 且 关 于 原 点 对 称 ，图 象 与 函 数 的 性 质 对 应 ， 故 B正 确 ；对 于 C， 由 于 a=3， 所 以 y=(-x)a是 一 个 减 函 数 ， 图 象 与
7、函 数 的 性 质 不 对 应 ， C 错 ；对 于 D， 由 于 y=log a(-x)与 y=logax 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 所 给 的 图 象 不 满 足 这 一 特 征 ， 故D错 .答 案 ： B.9.要 制 作 一 个 容 积 为 4m3， 高 为 1m的 无 盖 长 方 体 容 器 ， 已 知 该 溶 器 的 底 面 造 价 是 每 平 方 米20元 ， 侧 面 造 价 是 每 平 方 米 10元 ， 则 该 容 器 的 最 低 总 造 价 是 ( )A. 80元B. 120元 C. 160元D. 240元解 析 ： 设 池 底 长 和 宽 分 别 为 a，
8、b， 成 本 为 y， 则 长 方 形 容 器 的 容 器 为 4m3， 高 为 1m， 底 面 面 积 S=ab=4， y=20S+102(a+b)=20(a+b)+80， a+b 2 =4， 当 a=b=2 时 ， y取 最 小 值 160， 即 该 容 器 的 最 低 总 造 价 是 160 元 ，答 案 ： C.10.设 M 为 平 行 四 边 形 ABCD对 角 线 的 交 点 ， O 为 平 行 四 边 形 ABCD所 在 平 面 内 任 意 一 点 ， 则等 于 ( )A. B. 2C. 3D. 4解 析 ： O为 任 意 一 点 ， 不 妨 把 A点 看 成 O点 ， 则 =
9、， M 是 平 行 四 边 形 ABCD的 对 角 线 的 交 点 ， =2 =4答 案 ： D.11.已 知 圆 C： (x-a)2+(y-b)2=1， 设 平 面 区 域 = ， 若 圆 心 C ， 且 圆 C 与 x轴 相 切 ， 则 a 2+b2的 最 大 值 为 ( )A. 5B. 29C. 37D. 49解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 圆 心 为 (a， b)， 半 径 为 1 圆 心 C ， 且 圆 C 与 x 轴 相 切 ， b=1， 则 a2+b2=a2+1， 要 使 a2+b2的 取 得 最 大 值 ， 则 只 需 a最 大 即
10、可 ，由 图 象 可 知 当 圆 心 C位 于 B 点 时 ， a 取 值 最 大 ，由 ， 解 得 ， 即 B(6， 1)， 当 a=6， b=1时 ， a2+b2=36+1=37， 即 最 大 值 为37，答 案 ： C12.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 两 点 P 1(x1， y1)， P2(x2， y2)间 的 “ L-距 离 ” 定 义 为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则 平 面 内 与 x 轴 上 两 个 不 同 的 定 点 F1， F2的 “ L-距 离 ” 之 和 等 于 定 值(大 于 |F1F2|)的 点 的 轨 迹 可 以 是 ( )A. B.C
11、. D.解 析 ： 设 F1(-c， 0)， F2(c， 0)，再 设 动 点 M(x， y)， 动 点 到 定 点 F1， F2的 “ L-距 离 ” 之 和 等 于 m(m 2c 0)，由 题 意 可 得 ： |x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m， 即 |x+c|+|x-c|+2|y|=m.当 x -c， y 0时 ， 方 程 化 为 2x-2y+m=0；当 x -c， y 0时 ， 方 程 化 为 2x+2y+m=0；当 -c x c， y 0 时 ， 方 程 化 为 y= ；当 -c x c， y 0 时 ， 方 程 化 为 y=c- ；当 x c， y 0 时 ， 方 程 化
12、为 2x+2y-m=0；当 x c， y 0 时 ， 方 程 化 为 2x-2y-m=0.结 合 题 目 中 给 出 的 四 个 选 项 可 知 ， 选 项 A 中 的 图 象 符 合 要 求 . 答 案 ： A.二 、 填 空 题 :本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 16分13.(4分 )如 图 ， 在 边 长 为 1 的 正 方 形 中 随 机 撒 1000粒 豆 子 ， 有 180粒 落 到 阴 影 部 分 ， 据 此估 计 阴 影 部 分 的 面 积 为 .解 析 ： 正 方 形 的 面 积 S=1， 设 阴 影 部 分 的 面 积 为 S， 随 机 撒 10
13、00 粒 豆 子 ， 有 180粒 落 到 阴 影 部 分 ， 几 何 槪 型 的 概 率 公 式 进 行 估 计 得 ， 即 S=0.18， 答 案 ： 0.1814.(4分 )在 ABC中 ， A=60 ， AC=2， BC= ， 则 AB等 于 .解 析 ： 在 ABC中 ， A=60 ， AC=b=2， BC=a= ， 由 余 弦 定 理 得 ： a2=b2+c2-2bccosA， 即 3=4+c2-2c， 解 得 ： c=1， 则 AB=c=1，答 案 ： 115.(4分 )函 数 f(x)= 的 零 点 个 数 是 .解 析 ： 当 x 0 时 ， 由 f(x)=0得 x 2-2=
14、0， 解 得 x= 或 x= (舍 去 )，当 x 0 时 ， 由 f(x)=0 得 2x-6+lnx=0， 即 lnx=6-2x，作 出 函 数 y=lnx和 y=6-2x在 同 一 坐 标 系 图 象 ， 由 图 象 可 知 此 时 两 个 函 数 只 有 1 个 零 点 ， 故 函 数 f(x)的 零 点 个 数 为 2，答 案 ： 216.(4分 )已 知 集 合 a， b， c=0， 1， 2， 且 下 列 三 个 关 系 ： a 2； b=2； c 0有 且 只 有 一 个 正 确 ， 则 100a+10b+c等 于 .解 析 ： 由 a， b， c=0， 1， 2得 ， a、 b
15、、 c的 取 值 有 以 下 情 况 ：当 a=0时 ， b=1、 c=2或 b=2、 c=1， 此 时 不 满 足 条 件 ；当 a=1时 ， b=0、 c=2或 b=2、 c=0， 此 时 不 满 足 条 件 ；当 a=2时 ， b=1、 c=0， 此 时 不 满 足 条 件 ；当 a=2时 ， b=0、 c=1， 此 时 满 足 条 件 ；综 上 得 ， a=2、 b=0、 c=1， 代 入 100a+10b+c=201，答 案 ： 201. 三 .解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 74分 .17.(12分 )在 等 比 数 列 an中 ， a2=3， a5=81.(
16、)求 an；( )设 bn=log3an， 求 数 列 bn的 前 n 项 和 Sn.解 析 ： ( )设 出 等 比 数 列 的 首 项 和 公 比 ， 由 已 知 列 式 求 解 首 项 和 公 比 ， 则 其 通 项 公 式 可 求 ；( )把 ( )中 求 得 的 an代 入 bn=log3an， 得 到 数 列 bn的 通 项 公 式 ， 由 此 得 到 数 列 bn是 以 0为 首 项 ， 以 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 由 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 得 答 案 .答 案 ： ( )设 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q，由 a2=3， a5=8
17、1， 得 ， 解 得 . ；( ) ， bn=log3an， .则 数 列 bn的 首 项 为 b1=0，由 bn-bn-1=n-(n-1)=1， 可 知 数 列 bn是 以 1 为 公 差 的 等 差 数 列 . .18.(12分 )已 知 函 数 f(x)=2cosx(sinx+cosx). ( )求 f( )的 值 ；( )求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 及 单 调 递 增 区 间 .解 析 ： ( )利 用 三 角 恒 等 变 换 化 简 函 数 的 解 析 式 为 f(x)= sin(2x+ )+1， 从 而 求 得f( )的 值 .( )根 据 函 数 f(x)= si
18、n(2x+ )+1， 求 得 它 的 最 小 正 周 期 .令2k - 2x+ 2k + ， k Z， 求 得 x 的 范 围 ， 可 得 函 数 的 单 调 递 增 区 间 .答 案 ： ( ) 函 数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x= sin(2x+ )+1， f( )= sin( + )+1= sin +1= +1=2.( ) 函 数 f(x)= sin(2x+ )+1， 故 它 的 最 小 正 周 期 为 = .令 2k - 2x+ 2k + ， k Z， 求 得 k - x k + ，故 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 k - ， k
19、+ ， k Z.19.(12分 )如 图 ， 三 棱 锥 A-BCD 中 ， AB 平 面 BCD， CD BD. ( )求 证 ： CD 平 面 ABD；( )若 AB=BD=CD=1， M 为 AD 中 点 ， 求 三 棱 锥 A-MBC 的 体 积 .解 析 ： ( )证 明 CD 平 面 ABD， 只 需 证 明 AB CD；( )利 用 转 换 底 面 ， VA-MBC=VC-ABM= S ABMCD， 即 可 求 出 三 棱 锥 A-MBC的 体 积 .答 案 ： ( ) AB 平 面 BCD， CD平 面 BCD， AB CD， CD BD， AB BD=B， CD 平 面 AB
20、D；( ) AB 平 面 BCD， BD平 面 BCD， AB BD. AB=BD=1， S ABD= ， M 为 AD 中 点 ， S ABM= S ABD= ， CD 平 面 ABD， VA-MBC=VC-ABM= S ABMCD= .20.(12分 )根 据 世 行 2013年 新 标 准 ， 人 均 GDP低 于 1035美 元 为 低 收 入 国 家 ； 人 均 GDP为1035-4085美 元 为 中 等 偏 下 收 入 国 家 ； 人 均 GDP为 4085-12616美 元 为 中 等 偏 上 收 入 国 家 ；人 均 GDP不 低 于 12616 美 元 为 高 收 入 国
21、家 .某 城 市 有 5 个 行 政 区 ， 各 区 人 口 占 该 城 市 人 口 比例 及 人 均 GDP如 下 表 ： ( )判 断 该 城 市 人 均 GDP是 否 达 到 中 等 偏 上 收 入 国 家 标 准 ；( )现 从 该 城 市 5 个 行 政 区 中 随 机 抽 取 2 个 ， 求 抽 到 的 2 个 行 政 区 人 均 GDP都 达 到 中 等 偏 上收 入 国 家 标 准 的 概 率 .解 析 ： ( )利 用 所 给 数 据 ， 计 算 该 城 市 人 均 GDP， 即 可 得 出 结 论 ；( )利 用 古 典 概 型 概 率 公 式 ， 即 可 得 出 结 论
22、.答 案 ： ( )设 该 城 市 人 口 总 数 为 a， 则 该 城 市 人 均 GDP为 =6400 该 城 市 人 均 GDP达 到 中 等 偏 上 收 入 国 家 标 准 ；( )从 该 城 市 5个 行 政 区 中 随 机 抽 取 2个 ， 共 有 =10种 情 况 ， 抽 到 的 2个 行 政 区 人 均 GDP都 达 到 中 等 偏 上 收 入 国 家 标 准 ， 共 有 =3 种 情 况 ， 抽 到 的 2 个 行 政 区 人 均 GDP都 达 到 中 等 偏 上 收 入 国 家 标 准 的 概 率 .21.(12分 )已 知 曲 线 上 的 点 到 点 F(0， 1)的 距
23、 离 比 它 到 直 线 y=-3的 距 离 小 2.( )求 曲 线 的 方 程 ；( )曲 线 在 点 P 处 的 切 线 l与 x轴 交 于 点 A.直 线 y=3分 别 与 直 线 l 及 y 轴 交 于 点 M， N，以 MN 为 直 径 作 圆 C， 过 点 A 作 圆 C的 切 线 ， 切 点 为 B， 试 探 究 ： 当 点 P在 曲 线 上 运 动 (点P与 原 点 不 重 合 )时 ， 线 段 AB的 长 度 是 否 发 生 变 化 ？ 证 明 你 的 结 论 .解 析 ： ( )设 S(x， y)曲 线 上 的 任 意 一 点 ， 利 用 抛 物 线 的 定 义 ， 判
24、断 S 满 足 配 额 我 想 的 定义 ， 即 可 求 曲 线 的 方 程 ；( )通 过 抛 物 线 方 程 利 用 函 数 的 导 数 求 出 切 线 方 程 ， 求 出 A、 M的 坐 标 ， N 的 坐 标 ， 以 MN为直 径 作 圆 C， 求 出 圆 心 坐 标 ， 半 径 是 常 数 ， 即 可 证 明 当 点 P在 曲 线 上 运 动 (点 P 与 原 点 不重 合 )时 ， 线 段 AB 的 长 度 不 变 . 答 案 ： ( )设 S(x， y)曲 线 上 的 任 意 一 点 ，由 题 意 可 得 ： 点 S 到 F(0， 1)的 距 离 与 它 到 直 线 y=-1的
25、距 离 相 等 ，曲 线 是 以 F 为 焦 点 直 线 y=-1为 准 线 的 抛 物 线 ， 曲 线 的 方 程 为 ： x2=4y.( )当 点 P在 曲 线 上 运 动 (点 P 与 原 点 不 重 合 )时 ， 线 段 AB 的 长 度 不 变 ， 证 明 如 下 ： 由 ( )可 知 抛 物 线 的 方 程 为 y= ，设 P(x0， y0)(x0 0)则 y0= ， 由 y 得 切 线 l 的 斜 率 k= = 切 线 l 的 方 程 为 ： ， 即 .由 得 ，由 得 ，又 N(0， 3)， 所 以 圆 心 C( )， 半 径 r= = 点 P在 曲 线 上 运 动 (点 P
26、与 原 点 不 重 合 )时 ， 线 段 AB 的 长 度 不 变 . 22.(14分 )已 知 函 数 f(x)=ex-ax(a为 常 数 )的 图 象 与 y 轴 交 于 点 A， 曲 线 y=f(x)在 点 A 处 的切 线 斜 率 为 -1.(1)求 a 的 值 及 函 数 f(x)的 极 值 ；(2)证 明 ： 当 x 0 时 ， x2 ex；(3)证 明 ： 对 任 意 给 定 的 正 数 c， 总 存 在 x0， 使 得 当 x (x0， + )时 ， 恒 有 x2 cex.解 析 ： (1)利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 得 a， 再 利 用 导 数 法 求 得 函 数
27、 的 极 值 ；(2)构 造 函 数 g(x)=ex-x2， 利 用 导 数 求 得 函 数 的 最 小 值 ， 即 可 得 出 结 论 ；(3)利 用 (2)的 结 论 ， 令 x 0= ， 则 ex x2 x， 即 x2 cex.即 得 结 论 成 立 .答 案 ： (1)由 f(x)=ex-ax得 f (x)=ex-a.又 f (0)=1-a=-1， a=2， f(x)=ex-2x， f (x)=ex-2.由 f (x)=0 得 x=ln2， 当 x ln2 时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 ；当 x ln2 时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 增 ； 当 x=
28、ln2时 ， f(x)有 极 小 值 为 f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4.f(x)无 极 大 值 .(2)令 g(x)=ex-x2， 则 g (x)=ex-2x，由 (1)得 ， g (x)=f(x) f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4 0， 即 g (x) 0， 当 x 0 时 ， g(x) g(0) 0， 即 x2 ex；(3)对 任 意 给 定 的 正 数 c， 总 存 在 x 0= 0.当 x (x0， + )时 ，由 (2)得 ex x2 x， 即 x2 cex. 对 任 意 给 定 的 正 数 c， 总 存 在 x0， 使 得 当 x (x0， + )时 ， 恒 有 x2 cex.
