1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 福 建 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 个 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 要 求 的 .1.复 数 z=(3-2i)i 的 共 轭 复 数 等 于 ( )A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i解 析 ： z=(3-2i)i=2+3i， .答 案 ： C. 2.某 空 间 几 何 体 的 正 视 图 是 三 角 形 ， 则 该 几 何 体 不 可 能 是 ( )A. 圆 柱B. 圆 锥C.
2、 四 面 体D. 三 棱 柱解 析 ： 圆 柱 的 正 视 图 为 矩 形 ，答 案 ： A3.等 差 数 列 a n的 前 n 项 和 为 Sn， 若 a1=2， S3=12， 则 a6等 于 ( )A. 8B. 10C. 12D. 14解 析 ： 由 题 意 可 得 S3=a1+a2+a3=3a2=12，解 得 a2=4， 公 差 d=a2-a1=4-2=2， a6=a1+5d=2+5 2=12，答 案 ： C.4.若 函 数 y=log ax(a 0， 且 a 1)的 图 象 如 图 所 示 ， 则 下 列 函 数 图 象 正 确 的 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 由 题 意
3、 可 知 图 象 过 (3， 1)， 故 有 1=log a3， 解 得 a=3，选 项 A， y=a-x=3-x= 单 调 递 减 ， 故 错 误 ；选 项 B， y=x3， 由 幂 函 数 的 知 识 可 知 正 确 ；选 项 C， y=(-x)3=-x3， 其 图 象 应 与 B 关 于 x轴 对 称 ， 故 错 误 ；选 项 D， y=loga(-x)=log3(-x)， 当 x=-3时 ， y=1， 但 图 象 明 显 当 x=-3时 ， y=-1， 故 错 误 .答 案 ： B.5.阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 输 出 的 S的 值
4、 等 于 ( ) A. 18B. 20C. 21D. 40解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求 S=21+22+ +2n+1+2+ +n的 值 ， S=21+22+1+2=2+4+1+2=9 15， S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20 15. 输 出 S=20.答 案 ： B.6.直 线 l： y=kx+1与 圆 O： x 2+y2=1相 交 于 A， B 两 点 ， 则 “ k=1” 是 “ OAB 的 面 积 为 ” 的( )A. 充 分 而 不 必 要 条 件B. 必 要 而 不 充 分 条 件C. 充 分 必 要 条 件D. 既
5、 不 充 分 又 不 必 要 条 件解 析 ： 若 直 线 l： y=kx+1与 圆 O： x 2+y2=1 相 交 于 A， B 两 点 ，则 圆 心 到 直 线 距 离 d= ， |AB|=2 ，若 k=1， 则 |AB|= ， d= ， 则 OAB的 面 积 为 = 成 立 ， 即 充分 性 成 立 .若 OAB的 面 积 为 ， 则 S= = 2 = = ，解 得 k= 1， 则 k=1不 成 立 ， 即 必 要 性 不 成 立 .故 “ k=1” 是 “ OAB的 面 积 为 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 . 答 案 ： A.7.已 知 函 数 f(x)= ， 则 下 列 结
6、论 正 确 的 是 ( ) A. f(x)是 偶 函 数B. f(x)是 增 函 数C. f(x)是 周 期 函 数D. f(x)的 值 域 为 -1， + )解 析 ： 由 解 析 式 可 知 当 x 0 时 ， f(x)=cosx为 周 期 函 数 ，当 x 0 时 ， f(x)=x2+1， 为 二 次 函 数 的 一 部 分 ，故 f(x)不 是 单 调 函 数 ， 不 是 周 期 函 数 ， 也 不 具 备 奇 偶 性 ， 故 可 排 除 A、 B、 C，对 于 D， 当 x 0时 ， 函 数 的 值 域 为 -1， 1，当 x 0 时 ， 函 数 的 值 域 为 值 域 为 (1，
7、+ )， 故 函 数 f(x)的 值 域 为 -1， + )， 故 正 确 .答 案 ： D8.在 下 列 向 量 组 中 ， 可 以 把 向 量 =(3， 2)表 示 出 来 的 是 ( ) A. =(0， 0)， =(1， 2)B. =(-1， 2)， =(5， -2)C. =(3， 5)， =(6， 10)D. =(2， -3)， =(-2， 3)解 析 ： 根 据 ，选 项 A： (3， 2)= (0， 0)+ (1， 2)， 则 3= ， 2=2 ， 无 解 ， 故 选 项 A 不 能 ；选 项 B： (3， 2)= (-1， 2)+ (5， -2)， 则 3=- +5 ， 2=2
8、-2 ， 解 得 ， =2， =1， 故选 项 B能 . 选 项 C： (3， 2)= (3， 5)+ (6， 10)， 则 3=3 +6 ， 2=5 +10 ， 无 解 ， 故 选 项 C不 能 .选 项 D： (3， 2)= (2， -3)+ (-2， 3)， 则 3=2 -2 ， 2=-3 +3 ， 无 解 ， 故 选 项 D 不 能 .答 案 ： B.9.设 P， Q 分 别 为 圆 x2+(y-6)2=2和 椭 圆 +y2=1上 的 点 ， 则 P， Q 两 点 间 的 最 大 距 离 是 ( )A. 5B. +C. 7+D. 6解 析 ： 设 椭 圆 上 的 点 为 (x， y)，
9、 则 圆 x 2+(y-6)2=2的 圆 心 为 (0， 6)， 半 径 为 ， 椭 圆 上 的 点 与 圆 心 的 距 离 为 = 5 ， P， Q两 点 间 的 最 大 距 离 是 5 + =6 .答 案 ： D.10.用 a 代 表 红 球 ， b 代 表 蓝 球 ， c 代 表 黑 球 ， 由 加 法 原 理 及 乘 法 原 理 ， 从 1 个 红 球 和 1 个 蓝球 中 取 出 若 干 个 球 的 所 有 取 法 可 由 (1+a)(1+b)的 展 开 式 1+a+b+ab 表 示 出 来 ， 如 ： “ 1” 表 示 一 个 球 都 不 取 、 “ a” 表 示 取 出 一 个
10、红 球 ， 而 “ ab” 则 表 示 把 红 球 和 蓝 球 都 取 出 来 .以 此 类 推 ，下 列 各 式 中 ， 其 展 开 式 可 用 来 表 示 从 5个 无 区 别 的 红 球 、 5 个 无 区 别 的 蓝 球 、 5 个 有 区 别 的黑 球 中 取 出 若 干 个 球 ， 且 所 有 的 蓝 球 都 取 出 或 都 不 取 出 的 所 有 取 法 的 是 ( )A. (1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B. (1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C. (1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D. (1+a5)(1
11、+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)解 析 ： 所 有 的 蓝 球 都 取 出 或 都 不 取 出 的 所 有 取 法 中 ， 与 取 红 球 的 个 数 和 黑 球 的 个 数 无 关 ， 而红 球 篮 球 是 无 区 别 ， 黑 球 是 有 区 别 的 ，根 据 分 布 计 数 原 理 ， 第 一 步 取 红 球 ， 红 球 的 取 法 有 (1+a+a 2+a3+a4+a5)，第 二 步 取 蓝 球 ， 有 (1+b5)，第 三 步 取 黑 球 ， 有 (1+c)5，所 以 所 有 的 蓝 球 都 取 出 或 都 不 取 出 的 所 有 取 法 有 (1+a+a2+a3+a4+a5
12、)(1+b5)(1+c)5，答 案 ： A.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 20分 .把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置11.(4分 )若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=3x+y 的 最 小 值 为 . 解 析 ： 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ， 由 z=3x+y， 得 y=-3x+z，平 移 直 线 y=-3x+z， 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-3x+z， 经 过 点 A(0， 1)时 ， 直 线 y=-3x+z的 截 距最 小 ， 此 时 z 最 小 .此 时
13、z 的 最 小 值 为 z=0 3+1=1，答 案 ： 112.(4分 )在 ABC中 ， A=60 ， AC=4， BC=2 ， 则 ABC的 面 积 等 于 .解 析 ： ABC中 ， A=60 ， AC=4， BC=2 ，由 正 弦 定 理 得 ： ， ， 解 得 sinB=1， B=90 ， C=30 ， ABC的 面 积 = .答 案 ： .13.(4分 )要 制 作 一 个 容 器 为 4m3， 高 为 1m 的 无 盖 长 方 形 容 器 ， 已 知 该 容 器 的 底 面 造 价 是 每平 方 米 20 元 ， 侧 面 造 价 是 每 平 方 米 10元 ， 则 该 容 器 的
14、 最 低 总 造 价 是 (单 位 ： 元 )解 析 ： 设 池 底 长 和 宽 分 别 为 a， b， 成 本 为 y，则 长 方 形 容 器 的 容 器 为 4m 3， 高 为 1m， 故 底 面 面 积 S=ab=4， y=20S+102(a+b)=20(a+b)+80， a+b 2 =4， 故 当 a=b=2 时 ， y取 最 小 值 160， 即 该 容 器 的 最 低 总 造 价 是 160 元 ，答 案 ： 16014.(4分 )如 图 ， 在 边 长 为 e(e为 自 然 对 数 的 底 数 )的 正 方 形 中 随 机 撒 一 粒 黄 豆 ， 则 它 落 到 阴影 部 分 的
15、 概 率 为 . 解 析 ： 由 题 意 ， y=lnx 与 y=ex关 于 y=x对 称 ， 阴 影 部 分 的 面 积 为 2 (e-ex)dx=2(ex-ex) =2， 边 长 为 e(e为 自 然 对 数 的 底 数 )的 正 方 形 的 面 积 为 e2， 落 到 阴 影 部 分 的 概 率 为 .答 案 ： .15.(4分 )若 集 合 a， b， c， d=1， 2， 3， 4， 且 下 列 四 个 关 系 ： a=1； b 1； c=2； d 4 有 且 只 有 一 个 是 正 确 的 ， 则 符 合 条 件 的 有 序 数 组 (a， b， c，d)的 个 数 是 .解 析
16、： 由 题 意 ， a=2时 ， b=1， c=4， d=3； b=3， c=1， d=4；a=3时 ， b=1， c=4， d=2； b=1， c=2， d=4； b=2， c=1， d=4； a=4时 ， b=1， c=3， d=2； 符 合 条 件 的 有 序 数 组 (a， b， c， d)的 个 数 是 6 个 .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 80分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤16.(13分 )已 知 函 数 f(x)=cosx(sinx+cosx)- .(1)若 0 ， 且 sin = ， 求 f( )
17、的 值 ；(2)求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 及 单 调 递 增 区 间 .解 析 ： (1)利 用 同 角 三 角 函 数 关 系 求 得 cos 的 值 ， 分 别 代 入 函 数 解 析 式 即 可 求 得 f( )的 值 .(2)利 用 两 角 和 公 式 和 二 倍 角 公 式 对 函 数 解 析 式 进 行 恒 等 变 换 ， 进 而 利 用 三 角 函 数 性 质 和 周期 公 式 求 得 函 数 最 小 正 周 期 和 单 调 增 区 间 . 答 案 ： (1) 0 ， 且 sin = ， cos = ， f( )=cos (sin +cos )- = ( + )
18、- = .(2)f(x)=cosx(sinx+cosx)- =sinxcosx+cos2x- = sin2x+ cos2x= sin(2x+ )， T= = ，由 2k - 2x+ 2k + ， k Z， 得 k - x k + ， k Z， f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 k - ， k + ， k Z. 17.(13分 )在 平 面 四 边 形 ABCD中 ， AB=BD=CD=1， AB BD， CD BD， 将 ABD沿 BD折 起 ， 使得 平 面 ABD 平 面 BCD， 如 图 .(1)求 证 ： AB CD；(2)若 M 为 AD 中 点 ， 求 直 线 AD与 平 面
19、 MBC 所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： (1)利 用 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 即 可 得 出 ；(2)建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 .设 直 线 AD与 平 面 MBC 所 成 角 为 ， 利 用 线 面 角 的 计 算 公 式 sin =|cos |= 即 可 得 出 .答 案 ： (1) 平 面 ABD 平 面 BCD， 平 面 ABD 平 面 BCD=BD， AB平 面 ABD， AB BD， AB 平 面 BCD， 又 CD平 面 BCD， AB CD.(2)建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 . AB=BD=CD=
20、1， AB BD， CD BD， B(0， 0， 0)， C(1， 1， 0)， A(0， 0， 1)， D(0， 1， 0)， M . =(0， 1， -1)， =(1， 1， 0)， = .设 平 面 BCM的 法 向 量 =(x， y， z)， 则 ，令 y=-1， 则 x=1， z=1. =(1， -1， 1).设 直 线 AD 与 平 面 MBC所 成 角 为 .则 sin =|cos |= = = .18.(13分 )为 回 馈 顾 客 ， 某 商 场 拟 通 过 摸 球 兑 奖 的 方 式 对 1000位 顾 客 进 行 奖 励 ， 规 定 ： 每 位 顾 客 从 一 个 装 有
21、 4个 标 有 面 值 的 球 的 袋 中 一 次 性 随 机 摸 出 2个 球 ， 球 上 所 标 的 面 值 之 和 为该 顾 客 所 获 的 奖 励 额 .(1)若 袋 中 所 装 的 4 个 球 中 有 1 个 所 标 的 面 值 为 50 元 ， 其 余 3个 均 为 10元 ， 求 ： 顾 客 所 获 的 奖 励 额 为 60元 的 概 率 ； 顾 客 所 获 的 奖 励 额 的 分 布 列 及 数 学 期 望 ；(2)商 场 对 奖 励 总 额 的 预 算 是 60000 元 ， 并 规 定 袋 中 的 4 个 球 只 能 由 标 有 面 值 10元 和 50 元的 两 种 球
22、组 成 ， 或 标 有 面 值 20元 和 40元 的 两 种 球 组 成 .为 了 使 顾 客 得 到 的 奖 励 总 额 尽 可 能符 合 商 场 的 预 算 且 每 位 顾 客 所 获 的 奖 励 额 相 对 均 衡 ， 请 对 袋 中 的 4 个 球 的 面 值 给 出 一 个 合 适的 设 计 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 计 算 顾 客 所 获 的 奖 励 额 为 60元 的 概 率 ， 依 题 意 得 X得 所 有 可 能 取 值 为 20， 60， 分 别 求 出 P(X=60)， P(X=20)， 画 出 顾
23、客 所 获 的 奖 励 额 的 分 布 列求 出 数 学 期 望 ；(2)先 讨 论 ， 寻 找 期 望 为 60元 的 方 案 ， 找 到 (10， 10， 50， 50)， (20， 20， 40， 40)两 种 方 案 ， 分 别 求 出 数 学 期 望 和 方 差 ， 然 后 做 比 较 ， 问 题 得 以 解 决 .答 案 ： (1)设 顾 客 所 获 取 的 奖 励 额 为 X， 依 题 意 ， 得 P(X=60)= ， 即 顾 客 所 获 得 奖 励 额 为 60元 的 概 率 为 ， 依 题 意 得 X 得 所 有 可 能 取 值 为 20， 60， P(X=60)= ， P(
24、X=20)= ， 即 X的 分 布 列 为 所 以 这 位 顾 客 所 获 的 奖 励 额 的 数 学 期 望 为 E(X)=20 +60 =40(2)根 据 商 场 的 预 算 ， 每 个 顾 客 的 平 均 奖 励 额 为 60元 ， 所 以 先 寻 找 期 望 为 60 元 的 可 能 方 案 .对 于 面 值 由 10 元 和 50 元 组 成 的 情 况 ， 如 果 选 择 (10， 10， 10， 50)的 方 案 ， 因 为 60 元 是 面值 之 和 的 最 大 值 ， 所 以 数 学 期 望 不 可 能 为 60元 ， 如 果 选 择 (50， 50， 50， 10)的 方
25、案 ， 因 为 60元 是 面 值 之 和 的 最 小 值 ， 所 以 数 学 期 望 也 不 可能 为 60元 ，因 此 可 能 的 方 案 是 (10， 10， 50， 50)记 为 方 案 1，对 于 面 值 由 20 元 和 40 元 的 组 成 的 情 况 ， 同 理 可 排 除 (20， 20， 20， 40)和 (40， 40， 40， 20)的 方 案 ， 所 以 可 能 的 方 案 是 (20， 20， 40， 40)， 记 为 方 案 2，以 下 是 对 这 两 个 方 案 的 分 析 ：对 于 方 案 1， 即 方 案 (10， 10， 50， 50)设 顾 客 所 获
26、取 的 奖 励 额 为 X1， 则 X1的 分 布 列 为 X1 的 数 学 期 望 为 E(X1)= .X1 的 方 差 D(X1)= = ，对 于 方 案 2， 即 方 案 (20， 20， 40， 40)设 顾 客 所 获 取 的 奖 励 额 为 X2， 则 X2的 分 布 列 为X 2 的 数 学 期 望 为 E(X2)= =60，X2 的 方 差 D(X2)=差D(X1) = .由 于 两 种 方 案 的 奖 励 额 的 数 学 期 望 都 符 合 要 求 ， 但 方 案 2奖 励 额 的 方 差 比 方 案 1小 ， 所 以 应该 选 择 方 案 2.19.(13分 )已 知 双
27、曲 线 E： - =1(a 0， b 0)的 两 条 渐 近 线 分 别 为 l 1： y=2x， l2： y=-2x.(1)求 双 曲 线 E 的 离 心 率 ； (2)如 图 ， O为 坐 标 原 点 ， 动 直 线 l分 别 交 直 线 l1， l2于 A， B 两 点 (A， B分 别 在 第 一 、 第 四象 限 )， 且 OAB的 面 积 恒 为 8， 试 探 究 ： 是 否 存 在 总 与 直 线 l 有 且 只 有 一 个 公 共 点 的 双 曲 线E？ 若 存 在 ， 求 出 双 曲 线 E 的 方 程 ， 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 .解 析 ： (1)依 题 意
28、， 可 知 =2， 易 知 c= a， 从 而 可 求 双 曲 线 E 的 离 心 率 ；(2)由 (1)知 ， 双 曲 线 E 的 方 程 为 - =1， 设 直 线 l 与 x 轴 相 交 于 点 C， 分 l x轴 与 直线 l 不 与 x 轴 垂 直 讨 论 ， 当 l x 轴 时 ， 易 求 双 曲 线 E 的 方 程 为 - =1.当 直 线 l 不 与 x轴 垂 直 时 ， 设 直 线 l的 方 程 为 y=kx+m， 与 双 曲 线 E的 方 程 联 立 ， 利 用 由 S OAB= |OC|y1-y2|=8可 证 得 ： 双 曲 线 E 的 方 程 为 - =1， 从 而 可
29、 得 答 案 .答 案 ： (1)因 为 双 曲 线 E的 渐 近 线 分 别 为 l1： y=2x， l2： y=-2x， 所 以 =2.所 以 =2.故 c= a，从 而 双 曲 线 E 的 离 心 率 e= = .(2)由 (1)知 ， 双 曲 线 E 的 方 程 为 - =1. 设 直 线 l 与 x 轴 相 交 于 点 C，当 l x 轴 时 ， 若 直 线 l 与 双 曲 线 E 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ， 则 |OC|=a， |AB|=8，所 以 |OC| |AB|=8，因 此 a4a=8， 解 得 a=2， 此 时 双 曲 线 E的 方 程 为 - =1.以 下 证
30、 明 ： 当 直 线 l不 与 x 轴 垂 直 时 ， 双 曲 线 双 曲 线 E 的 方 程 为 - =1也 满 足 条 件 .设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+m， 依 题 意 ， 得 k 2 或 k -2；则 C(- ， 0)， 记 A(x 1， y1)， B(x2， y2)，由 得 y1= ， 同 理 得 y2= ，由 S OAB= |OC|y1-y2|得 ： |- | - |=8， 即 m2=4|4-k2|=4(k2-4).因 为 4-k2 0， 所 以 =4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16)，又 因 为 m 2=4(k2-4)， 所 以 =
31、0， 即 直 线 l与 双 曲 线 E 有 且 只 有 一 个 公 共 点 .因 此 ， 存 在 总 与 直 线 l 有 且 只 有 一 个 公 共 点 的 双 曲 线 E， 且 E的 方 程 为 - =1.20.(14分 )已 知 函 数 f(x)=ex-ax(a为 常 数 )的 图 象 与 y 轴 交 于 点 A， 曲 线 y=f(x)在 点 A 处 的切 线 斜 率 为 -1.(1)求 a 的 值 及 函 数 f(x)的 极 值 ；(2)证 明 ： 当 x 0 时 ， x 2 ex；(3)证 明 ： 对 任 意 给 定 的 正 数 c， 总 存 在 x0， 使 得 当 x (x0， +
32、)时 ， 恒 有 x2 cex.解 析 ： (1)利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 得 a， 再 利 用 导 数 法 求 得 函 数 的 极 值 ；(2)构 造 函 数 g(x)=ex-x2， 利 用 导 数 求 得 函 数 的 最 小 值 ， 即 可 得 出 结 论 ；(3)利 用 (2)的 结 论 ， 令 x0= ， 则 ex x2 x， 即 x2 cex.即 得 结 论 成 立 .答 案 ： (1)由 f(x)=ex-ax得 f (x)=ex-a.又 f (0)=1-a=-1， a=2， f(x)=e x-2x， f (x)=ex-2.由 f (x)=0 得 x=ln2，当 x l
33、n2 时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 ；当 x ln2 时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 增 ； 当 x=ln2时 ， f(x)有 极 小 值 为 f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4.f(x)无 极 大 值 .(2)令 g(x)=ex-x2， 则 g (x)=ex-2x，由 (1)得 ， g (x)=f(x) f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4 0， 即 g (x) 0， 当 x 0 时 ， g(x) g(0) 0， 即 x 2 ex；(3)对 任 意 给 定 的 正 数 c， 总 存 在 x0= 0.当 x (x0， + )时 ，由 (2)得
34、 ex x2 x， 即 x2 cex. 对 任 意 给 定 的 正 数 c， 总 存 在 x0， 使 得 当 x (x0， + )时 ， 恒 有 x2 cex.在 21-23 题 中 考 生 任 选 2 题 作 答 ， 满 分 7 分 .如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 前 两 题 计 分 .作 答 时 ，先 用 2B铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 对 应 题 号 右 边 的 方 框 涂 黑 ， 并 将 所 选 题 号 填 入 括 号 中 .选 修 4-2： 矩 阵 与 变 换 21.(7分 )已 知 矩 阵 A的 逆 矩 阵 A-1=( ).(1)求 矩 阵 A；(2)
35、求 矩 阵 A-1的 特 征 值 以 及 属 于 每 个 特 征 值 的 一 个 特 征 向 量 .解 析 ： (1)利 用 AA-1=E， 建 立 方 程 组 ， 即 可 求 矩 阵 A；(2)先 根 据 特 征 值 的 定 义 列 出 特 征 多 项 式 ， 令 f( )=0 解 方 程 可 得 特 征 值 ， 再 由 特 征 值 列 出方 程 组 即 可 解 得 相 应 的 特 征 向 量 .答 案 ： (1)设 A= ， 则 由 AA -1=E得 = ， 解 得 a= ， b=- ， c=- ， d= ， 所 以 A= ；(2)矩 阵 A-1的 特 征 多 项 式 为 f( )= =(
36、 -2)2-1，令 f( )=( -2)2-1=0， 可 求 得 特 征 值 为 1=1， 2=3，设 1=1对 应 的 一 个 特 征 向 量 为 = ，则 由 1 =M ， 得 x+y=0， 得 x=-y， 可 令 x=1， 则 y=-1，所 以 矩 阵 M的 一 个 特 征 值 1=1对 应 的 一 个 特 征 向 量 为 ，同 理 可 得 矩 阵 M 的 一 个 特 征 值 2=3 对 应 的 一 个 特 征 向 量 为 .五 、 选 修 4-4： 极 坐 标 与 参 数 方 程22.(7分 )已 知 直 线 l的 参 数 方 程 为 (t为 参 数 )， 圆 C 的 参 数 方 程
37、为 ( 为 常 数 ).(1)求 直 线 l 和 圆 C 的 普 通 方 程 ；(2)若 直 线 l 与 圆 C 有 公 共 点 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)消 去 参 数 ， 把 直 线 与 圆 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ；(2)求 出 圆 心 到 直 线 的 距 离 d， 再 根 据 直 线 l 与 圆 C有 公 共 点 d r 即 可 求 出 .答 案 ： (1)直 线 l 的 参 数 方 程 为 ， 消 去 t 可 得 2x-y-2a=0；圆 C 的 参 数 方 程 为 ， 两 式 平 方 相 加 可 得 x 2+y2=16；(2)圆
38、心 C(0， 0)， 半 径 r=4.由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得 圆 心 C(0， 0)到 直 线 L 的 距 离 d= . 直 线 L 与 圆 C 有 公 共 点 ， d 4， 即 4， 解 得 -2 a 2 .六 、 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲23.已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)=|x+1|+|x-2|的 最 小 值 为 a.(1)求 a 的 值 ；(2)若 p， q， r 为 正 实 数 ， 且 p+q+r=a， 求 证 ： p 2+q2+r2 3.解 析 ： (1)由 绝 对 值 不 等 式 |a|+|b| |a-b|， 当 且 仅 当 ab 0， 取 等 号 ；(2)由 柯 西 不 等 式 ： (a2+b2+c2)(d2+e2+f2) (ad+be+cf)2， 即 可 证 得 . 答 案 ： (1) |x+1|+|x-2| |(x+1)-(x-2)|=3，当 且 仅 当 -1 x 2 时 ， 等 号 成 立 ， f(x)的 最 小 值 为 3， 即 a=3；(2)由 (1)知 ， p+q+r=3， 又 p， q， r 为 正 实 数 ， 由 柯 西 不 等 式 得 ， (p2+q2+r2)(12+12+12) (p 1+q 1+r 1)2=(p+q+r)2=32=9，即 p2+q2+r2 3.
