1、2 0 1 5 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 福 建 卷 ） 数 学 文 （ 1 ）第 I 卷 （ 选 择 题 共 60 分 ）一 、 选 择 题 ： 本 题 共 1 2 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 6 0 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1 .若 (1 ) (2 3)i i a bi （ , ,a b R i 是 虚 数 单 位 ） ， 则 ,a b 的 值 分 别 等 于 （ ）A. 3, 2B. 3,2C. 3, 3 D. 1,4【 答 案 】 A【 解 析 】试
2、题 分 析 ： 由 已 知 得 3 2i a bi ， 所 以 3, 2a b ， 选 A.2 .若 集 合 2 2M x x ， 0,1,2N ， 则 M N 等 于 （ ）A. 0B.1 C. 0,1,2D 0,1【 答 案 】 D解 析 ：3 .下 列 函 数 为 奇 函 数 的 是 ( )A. y xB. xy e C. cosy xD. x xy e e 【 答 案 】 D【 解 析 】 试 题 分 析 ： 函 数 y x 和 xy e 是 非 奇 非 偶 函 数 ； cosy x 是 偶 函 数 ； x xy e e 是 奇 函 数 ， 故 选 D.4 .阅 读 如 图 所 示 的
3、 程 序 框 图 ， 阅 读 相 应 的 程 序 .若 输 入 x 的 值 为 1 ， 则 输 出 y 的 值 为 （ ）A.2B.7C.8D.1 2 8 【 答 案 】 C【 解 析 】试 题 分 析 ： 由 题 意 得 ， 该 程 序 表 示 分 段 函 数 2 , 2,9 , 2x xy x x ， 则 (1) 9 1 8f ， 故 选 C.考 点 ： 程 序 框 图 .5 .若 直 线 1( 0, 0)x y a ba b 过 点 (1,1)， 则 a b 的 最 小 值 等 于 （ ）A.2B.3 C.4D.5【 答 案 】 C解 析 ：6 .若 5sin 13 ， 且 为 第 四
4、象 限 角 ， 则 tan 的 值 等 于 （ ） A. 125B. 125C. 512D. 512【 答 案 】 D【 解 析 】试 题 分 析 ： 由 5sin 13 ， 且 为 第 四 象 限 角 ， 则 2 12cos 1 sin 13 ， 则 sintan cos 512 ， 故 选 D.7 .设 (1,2)a ， (1,1)b ， c a kb .若 b c ， 则 实 数 k 的 值 等 于 （ ）A. 32B. 53C.53D. 32【 答 案 】 A 解 析 ： 由 已 知 得 ， 因 为 b c ， 则 ， 因 此 ， 解 得.8 .如 图 ， 矩 形 ABCD中 ， 点
5、A在 x 轴 上 ， 点 B 的 坐 标 为 (1,0).且 点 C 与 点 D 在 函 数1, 0( ) 1 1, 02x xf x x x 的 图 像 上 .若 在 矩 形 ABCD内 随 机 取 一 点 ， 则 该 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 等 于 （ ）A.16B. 14 C.38D.12 【 答 案 】 B解 析 ： 由 已 知 得 B（ 1 ， 0 ） ， C（ 1 ， 2 ） ， D（ -2 ， 2 ） ， F（ 0 ， 1 ） .则 矩 形 ABCD 面 积 为 3 2 =6 ， 阴 影 部 分 面 积 为， 故 该 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 等 于
6、 .9 .某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 等 于 （ ）A.8 2 2B.11 2 2C.14 2 2 D.15 【 答 案 】 B【 解 析 】试 题 分 析 ： 由 三 视 图 还 原 几 何 体 ， 该 几 何 体 是 底 面 为 直 角 梯 形 ， 高 为 2的 直 四 棱 柱 ， 且 底 面 直 角 梯 形 的 两 底 分 别 为12， ， 直 角 腰 长 为 1， 斜 腰 为 2 .底 面 积 为 12 3 32 ， 侧 面 积 为 则 其 表 面 积 为 2+2+4+2 2=8+2 2， 所 以 该 几 何 体 的 表 面
7、积 为 11 2 2 ， 故 选 B.1 0 .变 量 ,x y满 足 约 束 条 件 02 2 00 x yx ymx y ， 若 2z x y 的 最 大 值 为 2 ， 则 实 数 m 等 于 （ ）A. 2B. 1C.1D. 2【 答 案 】 C 【 解 析 】 分 析 ： 将 目 标 函 数 变 形 为 2y x z ， 当 z 取 最 大 值 ， 则 直 线 纵 截 距 最 小 ， 故 当 0m 时 ， 不 满 足 题 意 ； 当 0m时 ， 画 出 可 行 域 ， 如 图 所 示 ， 其 中 2 2( , )2 1 2 1mB m m .显 然 (0,0)O 不 是 最 优 解
8、， 故 只 能 2 2( , )2 1 2 1mB m m 是 最 优解 ， 代 入 目 标 函 数 得 4 2 22 1 2 1mm m ， 解 得 1m ， 故 选 C.1 1 .已 知 椭 圆 2 22 2: 1( 0)x yE a ba b 的 右 焦 点 为 F .短 轴 的 一 个 端 点 为 M ， 直 线 :3 4 0l x y 交 椭 圆 E 于,A B两 点 .若 4AF BF ， 点 M 到 直 线 l 的 距 离 不 小 于 45 ， 则 椭 圆 E 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 （ ）A. 3(0, 2 B. 3(0, 4C. 3 ,1)2 D. 3 ,1)
9、4【 答 案 】 A解 析 ：1 2 .“ 对 任 意 (0, )2x ， sin cosk x x x ” 是 “ 1k ” 的 （ ） A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C. 充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【 答 案 】 B 第 II 卷 （ 非 选 择 题 共 90 分 ）二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 1 6 分 .把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置 .1 3 .某 校 高 一 年 级 有 9 0 0 名 学 生 ， 其 中 女 生 4 0 0 名 ，
10、 按 男 女 比 例 用 分 层 抽 样 的 方 法 ， 从 该 年 级 学 生 中 抽 取 一 个 容 量 为4 5 的 样 本 ， 则 应 抽 取 的 男 生 人 数 为 _.【 答 案 】 25【 解 析 】试 题 分 析 ： 由 题 意 得 抽 样 比 例 为 45 1900 20 ， 故 应 抽 取 的 男 生 人 数 为 1500 2520 .1 4 .若 ABC 中 ， 3AC ， 045A ， 075C ， 则 BC _. 【 答 案 】 2【 解 析 】试 题 分 析 ： 由 题 意 得 0 0180 60B A C .由 正 弦 定 理 得 sin sinAC BCB A
11、， 则 sinsinAC ABC B ，所 以 23 2 232BC .1 5 .若 函 数 ( ) 2 ( )x af x a R 满 足 (1 ) (1 )f x f x ， 且 ( )f x 在 , )m 单 调 递 增 ， 则 实 数 m 的 最 小 值 等 于 _.【 答 案 】 1【 解 析 】试 题 分 析 ： 由 (1 ) (1 )f x f x 得 函 数 ( )f x 关 于 1x 对 称 ， 故 1a ， 则 1( ) 2xf x ， 由 复 合 函 数 单 调 性 得( )f x 在 1, ) 递 增 ， 故 1m ， 所 以 实 数 m 的 最 小 值 等 于 1.1
12、 6 .若 ,a b 是 函 数 2 0, 0f x x px q p q 的 两 个 不 同 的 零 点 ， 且 , , 2a b 这 三 个 数 可 适 当 排 序 后 成 等差 数 列 ， 也 可 适 当 排 序 后 成 等 比 数 列 ， 则 p q 的 值 等 于 _.【 答 案 】 9 解 析 ：三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 7 4 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .1 7 .(本 小 题 满 分 1 2 分 ) 等 差 数 列 na 中 ， 2 4a ， 4 7 15a a .（ ） 求 数 列 na
13、 的 通 项 公 式 ；（ ） 设 22 nanb n ， 求 1 2 3 10b b b b 的 值 .【 答 案 】 （ ） 2na n ； （ ） 2101. 【 解 析 】试 题 分 析 ： （ ） 利 用 基 本 量 法 可 求 得 1,a d ， 进 而 求 na 的 通 项 公 式 ； （ ） 求 数 列 前 n 项 和 ， 首 先 考 虑 其 通 项 公式 ， 根 据 通 项 公 式 的 不 同 特 点 ， 选 择 相 应 的 求 和 方 法 ， 本 题 2nnb n ， 故 可 采 取 分 组 求 和 法 求 其 前 1 0 项 和 .试 题 解 析 ： （ I） 设 等 差
14、 数 列 na 的 公 差 为 d .由 已 知 得 11 143 6 15a da d a d ，解 得 1 31ad . 所 以 1 1 2na a n d n . 1 8 .（ 本 题 满 分 1 2 分 ）全 网 传 播 的 融 合 指 数 是 衡 量 电 视 媒 体 在 中 国 网 民 中 影 响 了 的 综 合 指 标 .根 据 相 关 报 道 提 供 的 全 网 传 播 2 0 1 5 年 某 全 国性 大 型 活 动 的 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 融 合 指 数 的 数 据 ， 对 名 列 前 2 0 名 的 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 的 融 合 指 数 进
15、 行 分 组 统计 ， 结 果 如 表 所 示 .组 号 分 组 频 数1 4,5) 22 5,6) 83 6,7) 7 4 7,8 3（ ） 现 从 融 合 指 数 在 4,5)和 7,8 内 的 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 中 随 机 抽 取 2 家 进 行 调 研 ， 求 至 少 有 1 家 的 融 合 指 数 在 7,8 的 概 率 ；（ ） 根 据 分 组 统 计 表 求 这 2 0 家 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 的 融 合 指 数 的 平 均 数 .【 答 案 】 （ ） 910； （ ） 6.05.解 析 ： （ ） 融 合 指 数 在 4 ， 5 ） 和 7
16、， 8 内 的 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 共 5 家 ， 从 中 随 机 抽 取 2 家 ， 写 出 所 有 的 基 本 事件 ， 共 1 0 种 ， 期 中 至 少 有 1 家 融 合 指 数 在 7 ， 8 包 含 的 基 本 事 件 数 为 9 个 ， 代 入 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 即 可 ；（ ） 每 组 区 间 的 中 点 乘 以 该 组 的 频 率 值 再 累 加 ， 得 这 2 0 家 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 的 融 合 指 数 的 平 均 数 .解 法 一 ： （ I） 融 合 指 数 在 7,8 内 的 “ 省 级 卫 视 新 闻
17、台 ” 记 为 1 ， 2 ， 3 ； 融 合 指 数 在 4,5 内 的 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 记 为 1 ， 2 .从 融 合 指 数 在 4,5 和 7,8 内 的 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 中 随 机 抽 取 2家 的 所 有 基 本 事 件 是 ： 1 2, ， 1 3, ， 2 3, ， 1 1, ， 1 2, ， 2 1, ， 2 2, ， 3 1, ， 3 2, ， 1 2, ，共 10个 .其 中 ， 至 少 有 1家 融 合 指 数 在 7,8 内 的 基 本 事 件 是 ： 1 2, ， 1 3, ， 2 3, ， 1 1, ， 1 2, ， 2
18、1, ， 2 2, ， 3 1, ， 3 2, ， 共 9个 .所 以 所 求 的 概 率 910 .（ II） 这 20家 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 的 融 合 指 数 平 均 数 等 于 2 8 7 34.5 5.5 6.5 7.5 6.0520 20 20 20 . 解 法 二 ： （ I） 融 合 指 数 在 7,8 内 的 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 记 为 1 ， 2 ， 3 ； 融 合 指 数 在 4,5 内 的 “ 省 级 卫 视新 闻 台 ” 记 为 1 ， 2 .从 融 合 指 数 在 4,5 和 7,8 内 的 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 中 随 机 抽 取 2家 的 所 有 基 本 事 件 是 ： 1 2, ， 1 3, ， 2 3, ， 1 1, ， 1 2, ， 2 1, ， 2 2, ， 3 1, ， 3 2, ， 1 2, ，共 10个 .其 中 ， 没 有 1家 融 合 指 数 在 7,8 内 的 基 本 事 件 是 ： 1 2, ， 共 1个 .所 以 所 求 的 概 率 1 91 10 10 .（ II） 同 解 法 一 .
