1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 辽 宁 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 (共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 )1.已 知 全 集 U=R， A=x|x 0， B=x|x 1， 则 集 合 U(A B)=( )A.x|x 0B.x|x 1C.x|0 x 1D.x|0 x 1解 析 ： A B=x|x 1或 x 0， C U(A B)=x|0 x 1，答 案 ： D.2.设 复 数 z满 足 (z-2i)(2-i)=5， 则 z=( )A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i解 析 ： 由 (z-2i)(2-i)=5， 得 ： ， z=2
2、+3i.答 案 ： A. 3.已 知 a= ， b=log2 ， c=log ， 则 ( )A.a b cB.a c bC.c b aD.c a b解 析 ： 0 a= 2 0=1， b=log2 log21=0， c=log =log23 log22=1， c a b.答 案 ： D.4.已 知 m， n 表 示 两 条 不 同 直 线 ， 表 示 平 面 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.若 m ， n ， 则 m nB.若 m ， n ， 则 m nC.若 m ， m n， 则 n D.若 m ， m n， 则 n 解 析 ： A.若 m ， n ， 则 m， n 相 交 或
3、 平 行 或 异 面 ， 故 A错 ；B.若 m ， n ， 则 m n， 故 B 正 确 ；C.若 m ， m n， 则 n 或 n ， 故 C 错 ； D.若 m ， m n， 则 n 或 n 或 n ， 故 D 错 .答 案 ： B. 5.设 ， ， 是 非 零 向 量 ， 已 知 命 题 p： 若 =0， =0， 则 =0； 命 题 q： 若 ， ， 则 ， 则 下 列 命 题 中 真 命 题 是 ( )A.p qB.p qC.( p) ( q)D.p ( q)解 析 ： 若 =0， =0， 则 = ， 即 ( - ) =0， 则 =0 不 一 定 成 立 ， 故 命题 p 为 假 命
4、 题 ，若 ， ， 则 平 行 ， 故 命 题 q 为 真 命 题 ， 则 p q， 为 真 命 题 ， p q， ( p) ( q)， p ( q)都 为 假 命 题 ，答 案 ： A.6.若 将 一 个 质 点 随 机 投 入 如 图 所 示 的 长 方 形 ABCD中 ， 其 中 AB=2， BC=1， 则 质 点 落 在 以 AB为 直 径 的 半 圆 内 的 概 率 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： AB=2， BC=1， 长 方 体 的 ABCD的 面 积 S=1 2=2，圆 的 半 径 r=1， 半 圆 的 面 积 S= ，则 由 几 何 槪 型 的 概 率 公 式 可 得
5、 质 点 落 在 以 AB为 直 径 的 半 圆 内 的 概 率 是 .答 案 ： B7.某 几 何 体 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.8-B.8-C.8-D.8-2解 析 ： 由 三 视 图 知 ： 几 何 体 是 正 方 体 切 去 两 个 圆 柱 ，正 方 体 的 棱 长 为 2， 切 去 的 圆 柱 的 底 面 半 径 为 1， 高 为 2， 几 何 体 的 体 积 V=2 3-2 12 2=8- .答 案 ： C.8.已 知 点 A(-2， 3)在 抛 物 线 C： y2=2px的 准 线 上 ， 记 C的 焦 点 为 F， 则 直
6、线 AF的 斜 率 为 ( )A.-B.-1C.-D.- 解 析 ： 点 A(-2， 3)在 抛 物 线 C： y2=2px的 准 线 上 ， =2， F(2， 0)， 直 线 AF 的 斜 率 为 =- .答 案 ： C.9.设 等 差 数 列 a n的 公 差 为 d， 若 数 列 2 为 递 减 数 列 ， 则 ( )A.d 0B.d 0C.a1d 0 D.a1d 0解 析 ： 数 列 2 为 递 减 数 列 ， 1， 即 1， 1， a1(an+1-an)=a1d 0.答 案 ： D10.已 知 f(x)为 偶 函 数 ， 当 x 0 时 ， f(x)= ， 则 不 等 式 f(x-1
7、) 的 解 集 为 ( )A. ， ， B.- ， - ， C. ， ， D.- ， - ， 解 析 ： 当 x 0， ， 由 f(x)= ， 即 cos x= ， 则 x= ， 即 x= ，当 x 时 ， 由 f(x)= ， 得 2x-1= ， 解 得 x= ， 则 当 x 0 时 ， 不 等 式 f(x) 的 解 为 x ， (如 图 )则 由 f(x)为 偶 函 数 ， 当 x 0 时 ， 不 等 式 f(x) 的 解 为 - x - ， 即 不 等 式 f(x) 的 解 为 x 或 - x ，则 由 - x-1 或 x-1 ， 解 得 x 或 x ， 即 不 等 式 f(x-1) 的
8、解 集 为 x| x 或 x ，答 案 ： A.11.将 函 数 y=3sin(2x+ )的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 对 应 的 函 数 ( )A.在 区 间 ， 上 单 调 递 减B.在 区 间 ， 上 单 调 递 增C.在 区 间 - ， 上 单 调 递 减D.在 区 间 - ， 上 单 调 递 增 解 析 ： 把 函 数 y=3sin(2x+ )的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ，得 到 的 图 象 所 对 应 的 函 数 解 析 式 为 ： y=3sin2(x- )+ .即 y=3sin(2x- ).由 ， 得 .取 k=0， 得
9、. 所 得 图 象 对 应 的 函 数 在 区 间 ， 上 单 调 递 增 .答 案 ： B.12.当 x -2， 1时 ， 不 等 式 ax 3-x2+4x+3 0 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.-5， -3B.-6， - C.-6， -2D.-4， -3解 析 ： 当 x=0时 ， 不 等 式 ax3-x2+4x+3 0 对 任 意 a R 恒 成 立 ；当 0 x 1时 ， ax 3-x2+4x+3 0 可 化 为 a ，令 f(x)= ， 则 f (x)= =- (*)，当 0 x 1时 ， f (x) 0， f(x)在 (0， 1上 单 调 递 增
10、 ，f(x) max=f(1)=-6， a -6；当 -2 x 0时 ， ax3-x2+4x+3 0 可 化 为 a ，由 (*)式 可 知 ， 当 -2 x -1 时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 ， 当 -1 x 0 时 ， f (x) 0，f(x)单 调 递 增 ，f(x)min=f(-1)=-2， a -2；综 上 所 述 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 是 -6 a -2， 即 实 数 a 的 取 值 范 围 是 -6， -2. 故 选 C.二 、 填 空 题 (共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 )13.执 行 如 图 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 n
11、=3， 则 输 出 T= . 解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求 T=1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+3+ +i)的 值 ，当 输 入 n=3时 ， 跳 出 循 环 的 i值 为 4， 输 出 T=1+3+6+10=20.答 案 ： 20.14.已 知 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 目 标 函 数 z=3x+4y的 最 大 值 为 .解 析 ： 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 如 图 ， 联 立 ， 解 得 ， C(2， 3).化 目 标 函 数 z=3x+4y为 直 线 方 程 的 斜 截 式 ， 得 ： .由 图 可 知 ，
12、 当 直 线 过 点 C 时 ， 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 ， 即 z 最 大 . z max=3 2+4 3=18.答 案 ： 18.15.已 知 椭 圆 C： + =1， 点 M与 C的 焦 点 不 重 合 ， 若 M 关 于 C的 焦 点 的 对 称 点 分 别 为 A、B， 线 段 MN的 中 点 在 C 上 ， 则 |AN|+|BN|= .解 析 ： 如 图 ： MN的 中 点 为 Q， 易 得 ， ， Q 在 椭 圆 C 上 ， |QF1|+|QF2|=2a=6， |AN|+|BN|=12.答 案 ： 12. 16.对 于 c 0， 当 非 零 实 数 a， b
13、满 足 4a2-2ab+b2-c=0且 使 |2a+b|最 大 时 ， + + 的 最 小 值为 .解 析 ： 4a2-2ab+b2-c=0， =由 柯 西 不 等 式 得 ， 2=|2a+b|2故 当 |2a+b|最 大 时 ， 有 ， c=b 2 + + = =当 b=-2时 ， 取 得 最 小 值 为 -1.答 案 ： -1三 、 解 答 题17.(12分 )在 ABC 中 ， 内 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 且 a c， 已 知 =2， cosB= ，b=3， 求 ：( )a和 c的 值 ； ( )cos(B-C)的 值 .解 析 ： ( )利 用 平
14、 面 向 量 的 数 量 积 运 算 法 则 化 简 =2， 将 cosB的 值 代 入 求 出 ac=6，再 利 用 余 弦 定 理 列 出 关 系 式 ， 将 b， cosB以 及 ac的 值 代 入 得 到 a2+c2=13， 联 立 即 可 求 出 ac的 值 ；( )由 cosB 的 值 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 间 基 本 关 系 求 出 sinB 的 值 ， 由 c， b， sinB， 利 用 正弦 定 理 求 出 sinC 的 值 ， 进 而 求 出 cosC的 值 ， 原 式 利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 公 式 化 简 后 ，将 各 自 的 值
15、代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： ( ) =2， cosB= ， c acosB=2， 即 ac=6 ， b=3， 由 余 弦 定 理 得 ： b 2=a2+c2-2accosB， 即 9=a2+c2-4， a2+c2=13 ，联 立 得 ： a=3， c=2；( )在 ABC中 ， sinB= = = ，由 正 弦 定 理 = 得 ： sinC= sinB= = ， a=b c， C为 锐 角 ， cosC= = = ，则 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= + = . 18.(12分 )某 大 学 餐 饮 中 心 为 了 解 新 生 的 饮 食 习 惯
16、， 在 全 校 一 年 级 学 生 中 进 行 了 抽 样 调 查 ，调 查 结 果 如 下 表 所 示 ：( )根 据 表 中 数 据 ， 问 是 否 有 95%的 把 握 认 为 “ 南 方 学 生 和 北 方 学 生 在 选 用 甜 品 的 饮 食 习 惯方 面 有 差 异 ” ；( )已 知 在 被 调 查 的 北 方 学 生 中 有 5 名 数 学 系 的 学 生 ， 其 中 2 名 喜 欢 甜 品 ， 现 在 从 这 5 名 学生 中 随 机 抽 取 3人 ， 求 至 多 有 1 人 喜 欢 甜 品 的 概 率 . 附 ： X2=解 析 ： ( )根 据 表 中 数 据 ， 利 用
17、 公 式 ， 即 可 得 出 结 论 ；( )利 用 古 典 概 型 概 率 公 式 ， 即 可 求 解 .答 案 ： ( )由 题 意 ， X 2= 4.762 3.841， 有 95%的 把 握 认 为 “ 南 方 学 生 和 北 方 学 生 在 选 用 甜 品 的 饮 食 习 惯 方 面 有 差 异 ” ；( )从 这 5名 学 生 中 随 机 抽 取 3 人 ， 共 有 =10种 情 况 ， 有 2名 喜 欢 甜 品 ， 有 =3 种 情况 ， 至 多 有 1人 喜 欢 甜 品 的 概 率 .19.(12分 )如 图 ， ABC和 BCD所 在 平 面 互 相 垂 直 ， 且 AB=B
18、C=BD=2. ABC= DBC=120 ， E、F、 G 分 别 为 AC、 DC、 AD的 中 点 . ( )求 证 ： EF 平 面 BCG；( )求 三 棱 锥 D-BCG的 体 积 .附 ： 锥 体 的 体 积 公 式 V= Sh， 其 中 S为 底 面 面 积 ， h 为 高 . 解 析 ： ( )先 证 明 AD 平 面 BGC， 利 用 EF AD， 可 得 EF 平 面 BCG；( )在 平 面 ABC内 ， 作 AO CB， 交 CB的 延 长 线 于 O， G 到 平 面 BCD的 距 离 h 是 AO 长 度 的 一半 ， 利 用 VD-BCG=VG-BCD= ， 即
19、可 求 三 棱 锥 D-BCG的 体 积 .答 案 ： ( ) AB=BC=BD=2. ABC= DBC=120 ， ABC DBC， AC=DC， G 为 AD 的 中 点 ， CG AD.同 理 BG AD， CG BG=G， AD 平 面 BGC， EF AD， EF 平 面 BCG；( )在 平 面 ABC内 ， 作 AO CB， 交 CB的 延 长 线 于 O， ABC和 BCD所 在 平 面 互 相 垂 直 ， AO 平 面 BCD， G 为 AD 的 中 点 ， G 到 平 面 BCD的 距 离 h是 AO长 度 的 一 半 .在 AOB中 ， AO=ABsin60 - ， VD
20、-BCG=VG-BCD= = = .20.(12分 )圆 x2+y2=4的 切 线 与 x 轴 正 半 轴 ， y轴 正 半 轴 围 成 一 个 三 角 形 ， 当 该 三 角 形 面 积 最小 时 ， 切 点 为 P(如 图 ). ( )求 点 P的 坐 标 ；( )焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 C 过 点 P， 且 与 直 线 l： y=x+ 交 于 A、 B两 点 ， 若 PAB的 面 积为 2， 求 C的 标 准 方 程 .解 析 ： ( )设 切 点 P的 坐 标 为 (x0， y0)， 求 得 圆 的 切 线 方 程 ， 根 据 切 线 与 x 轴 正 半 轴 ， y 轴正
21、半 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积 S= .再 利 用 基 本 不 等 式 求 得 S取 得 最 小 值 ， 求 得 点 P的坐 标 . ( )设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 + =1， a b 0， 则 + =1.把 直 线 方 程 和 椭 圆 的 方 程联 立 方 程 组 ， 转 化 为 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 里 哦 也 难 怪 韦 达 定 理 、 弦 长 公 式 求 出 弦 长 AB以 及 点 P 到 直 线 的 距 离 d， 再 由 PAB的 面 积 为 S= ABd=2， 求 出 a2、 b2的 值 ， 从 而 得 到 所求 椭 圆 的 方 程 .答
22、 案 ： ( )设 切 点 P的 坐 标 为 (x 0， y0)， 且 x0 0， y0 0.则 切 线 的 斜 率 为 - ， 故 切 线 方 程 为 y-y0=- (x-x0)， 即 x0 x+y0y=1.此 时 ， 切 线 与 x轴 正 半 轴 ， y轴 正 半 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积 S= = .再 根 据 + =4 2 ， 可 得 当 且 仅 当 x 0=y0= 时 ， x0y0取 得 最 大 值 ， 即 S取得 最 小 值 ， 故 点 P 的 坐 标 为 ( ， ).( )设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 + =1， a b 0， 椭 圆 C 过 点 P， + =
23、1.由 求 得 b 2x2+4 x+6-2b2=0， x1+x2=- ， x1x2= .由 y1=x1+ ， y2=x2+ ， 可 得AB= |x2-x1|= = = .由 于 点 P( ， )到 直 线 l： y=x+ 的 距 离 d= ， PAB的 面 积 为 S= AB d=2， 可 得 b4-9b2+18=0， 解 得 b2=3， 或 b2=6，当 b2=6 时 ， 由 + =1 求 得 a2=3， 不 满 足 题 意 ；当 b2=3时 ， 由 + =1 求 得 a2=6， 满 足 题 意 ， 故 所 求 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为 + =1.21.(12分 )已 知 函 数
24、f(x)= (x-cosx)-2sinx-2， g(x)=(x- ) + -1.证 明 ： ( )存 在 唯 一 x0 (0， )， 使 f(x0)=0；( )存 在 唯 一 x1 ， )， 使 g(x1)=0， 且 对 ( )中 的 x0， 有 x0+x1 .解 析 ： ( )导 数 法 可 判 f(x)在 (0， )上 为 增 函 数 ， 又 可 判 函 数 有 零 点 ， 故 必 唯 一 ； ( )化 简 可 得 g(x)=( -x) + -1， 换 元 法 ， 令 t= -x， 记u(t)=g( -t)=- - t+1， t 0， ， 由 导 数 法 可 得 函 数 的 零 点 ， 可
25、 得 不 等 式 .答 案 ： ( )当 x (0， )时 ， f (x)= + sinx-2cosx 0， f(x)在 (0， )上 为 增 函 数 ， 又 f(0)=- -2 0， f( )= -4 0， 存 在 唯 一 x0 (0， )， 使 f(x0)=0；( )当 x ， 时 ，化 简 可 得 g(x)=(x- ) + -1=( -x) + -1，令 t= -x， 记 u(t)=g( -t)=- - t+1， t 0， ，求 导 数 可 得 u (t)= ，由 ( )得 ， 当 t (0， x 0)时 ， u (t) 0， 当 t (x0， )时 ， u (t) 0， 函 数 u(t
26、)在 (x0， )上 为 增 函 数 ，由 u( )=0知 ， 当 t x0， )时 ， u(t) 0， 函 数 u(t)在 x0， )上 无 零 点 ；函 数 u(t)在 (0， x0)上 为 减 函 数 ，由 u(0)=1 及 u(x 0) 0 知 存 在 唯 一 t0 (0， x0)， 使 u(t0)=0，于 是 存 在 唯 一 t0 (0， )， 使 u(t0)=0，设 x1= -t0 ( ， )， 则 g(x1)=g( -t0)=u(t0)=0， 存 在 唯 一 x1 ( ， )， 使 g(x1)=0， x1= -t0， t0 x0， x0+x1 四 、 选 考 题 ， 请 考 生
27、在 22-24三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 多 做 则 按 所 做 的 第 一 题 给 分选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲22.(10分 )如 图 ， EP 交 圆 于 E， C 两 点 ， PD 切 圆 于 D， G为 CE上 一 点 且 PG=PD， 连 接 DG 并 延长 交 圆 于 点 A， 作 弦 AB 垂 直 EP， 垂 足 为 F. ( )求 证 ： AB 为 圆 的 直 径 ；( )若 AC=BD， 求 证 ： AB=ED.解 析 ： ( )证 明 AB 为 圆 的 直 径 ， 只 需 证 明 BDA=90 ；( )证 明 Rt BDA Rt ACB， 再 证
28、 明 DCE为 直 角 ， 即 可 证 明 AB=ED.答 案 ： ( ) PG=PD， PDG= PGD， PD 为 切 线 ， PDA= DBA， PGD= EGA， DBA= EGA， DBA+ BAD= EGA+ BDA， NDA= PFA， AF EP， PFA=90 . BDA=90 ， AB为 圆 的 直 径 ；( )连 接 BC， DC， 则 AB为 圆 的 直 径 ， BDA= ACB=90 ，在 Rt BDA与 Rt ACB中 ， AB=BA， AC=BD， Rt BDA Rt ACB， DAB= CBA， DCB= DAB， DCB= CBA， DC AB， AB EP，
29、 DC EP， DCE为 直 角 ， ED 为 圆 的 直 径 ， AB 为 圆 的 直 径 ， AB=ED.选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程23.将 圆 x 2+y2=1上 每 一 点 的 横 坐 标 保 持 不 变 ， 纵 坐 标 变 为 原 来 的 2倍 ， 得 曲 线 C.( )写 出 C的 参 数 方 程 ；( )设 直 线 l： 2x+y-2=0与 C的 交 点 为 P1， P2， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立极 坐 标 系 ， 求 过 线 段 P1P2的 中 点 且 与 l垂 直 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 .
30、解 析 ： ( )在 曲 线 C 上 任 意 取 一 点 (x， y)， 再 根 据 点 (x， )在 圆 x2+y2=1上 ， 求 出 C 的 方 程 ，化 为 参 数 方 程 .( )解 方 程 组 求 得 P 1、 P2的 坐 标 ， 可 得 线 段 P1P2的 中 点 坐 标 .再 根 据 与 l 垂 直 的 直 线 的 斜 率为 ， 用 点 斜 式 求 得 所 求 的 直 线 的 方 程 ， 再 根 据 x= cos 、 y= sin 可 得 所 求 的 直 线 的极 坐 标 方 程 . 答 案 ： ( )在 曲 线 C上 任 意 取 一 点 (x， y)， 由 题 意 可 得 点
31、(x， )在 圆 x2+y2=1上 ， x2+ =1， 即 曲 线 C的 方 程 为 x2+ =1， 化 为 参 数 方 程 为 (0 2 ， 为 参 数 ).( )由 ， 可 得 ， ， 不 妨 设 P 1(1， 0)、 P2(0， 2)，则 线 段 P1P2的 中 点 坐 标 为 ( ， 1)，再 根 据 与 l垂 直 的 直 线 的 斜 率 为 ， 故 所 求 的 直 线 的 方 程 为 y-1= (x- )， 即 x-2y+ =0.再 根 据 x= cos 、 y= sin 可 得 所 求 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 cos -2 sin + =0，即 = .选 修 4-5
32、： 不 等 式 选 讲 24.设 函 数 f(x)=2|x-1|+x-1， g(x)=16x2-8x+1.记 f(x) 1 的 解 集 为 M， g(x) 4的 解 集 为N.( )求 M；( )当 x M N时 ， 证 明 ： x2f(x)+xf(x)2 .解 析 ： ( )由 所 给 的 不 等 式 可 得 ， 或 ， 分 别 求 得 、 的解 集 ， 再 取 并 集 ， 即 得 所 求 .( )由 g(x) 4， 求 得 N， 可 得 M N=0， .当 x M N时 ， f(x)=1-x， 不 等 式 的 左 边 化为 - ， 显 然 它 小 于 或 等 于 ， 要 证 的 不 等 式 得 证 . 答 案 ： ( )由 f(x)=2|x-1|+x-1 1 可 得 ， 或 .解 求 得 1 x ， 解 求 得 0 x 1.综 上 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 0， .( )由 g(x)=16x2-8x+1 4， 求 得 - x ， N=- ， ， M N=0， . 当 x M N 时 ， f(x)=1-x， x 2f(x)+xf(x)2 =xf(x)x+f(x)= - ，故 要 证 的 不 等 式 成 立 .
