1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 新 课 标 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合题 目 要 求 的 .1. 已 知 z=(m+3)+(m-1)i在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 四 象 限 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ( )A.(-3， 1)B.(-1， 3)C.(1， + )D.(- ， -3)解 析 ： z=(m+3)+(m-1)i 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 四 象 限 ，可
2、 得 ： 3 01 0mm ， 解 得 -3 m 1. 答 案 ： A.2. 已 知 集 合 A=1， 2， 3， B=x|(x+1)(x-2) 0， x Z， 则 A B=( )A.1B.1， 2C.0， 1， 2， 3D.-1， 0， 1， 2， 3解 析 ： 集 合 A=1， 2， 3，B=x|(x+1)(x-2) 0， x Z=0， 1， A B=0， 1， 2， 3.答 案 ： C 3. 已 知 向 量 a =(1， m)， b =(3， -2)， 且 (a +b ) b ， 则 m=( )A.-8B.-6C.6D.8解 析 ： 向 量 a =(1， m)， b =(3， -2)，
3、a +b =(4， m-2)，又 (a +b ) b ， 12-2(m-2)=0， 解 得 ： m=8.答 案 ： D.4. 圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的 圆 心 到 直 线 ax+y-1=0的 距 离 为 1， 则 a=( )A.-43 B.-34C. 3D.2解 析 ： 圆 x2+y2-2x-8y+13=0的 圆 心 坐 标 为 ： (1， 4)，故 圆 心 到 直 线 ax+y-1=0 的 距 离 d= 24 11a a =1，解 得 ： a=-43 .答 案 ： A. 5. 如 图 ， 小 明 从 街 道 的 E 处 出 发 ， 先 到 F 处 与 小 红 会 合 ， 再
4、一 起 到 位 于 G 处 的 老 年 公 寓 参加 志 愿 者 活 动 ， 则 小 明 到 老 年 公 寓 可 以 选 择 的 最 短 路 径 条 数 为 ( )A.24B.18C.12D.9解 析 ： 从 E到 F， 每 条 东 西 向 的 街 道 被 分 成 2 段 ， 每 条 南 北 向 的 街 道 被 分 成 2 段 ， 从 E 到 F 最 短 的 走 法 ， 无 论 怎 样 走 ， 一 定 包 括 4段 ， 其 中 2 段 方 向 相 同 ， 另 2 段 方 向 相 同 ，每 种 最 短 走 法 ， 即 是 从 4段 中 选 出 2 段 走 东 向 的 ， 选 出 2 段 走 北
5、向 的 ， 故 共 有 C42=6 种 走 法 .同 理 从 F 到 G， 最 短 的 走 法 ， 有 C31=3 种 走 法 . 小 明 到 老 年 公 寓 可 以 选 择 的 最 短 路 径 条 数 为 6 3=18种 走 法 .答 案 ： B.6. 如 图 是 由 圆 柱 与 圆 锥 组 合 而 成 的 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 ( ) A.20B.24C.28 D.32解 析 ： 由 三 视 图 知 ， 空 间 几 何 体 是 一 个 组 合 体 ，上 面 是 一 个 圆 锥 ， 圆 锥 的 底 面 直 径 是 4， 圆 锥 的 高 是 2
6、 3， 在 轴 截 面 中 圆 锥 的 母 线 长 是 12 4 =4， 圆 锥 的 侧 面 积 是 2 4=8 ，下 面 是 一 个 圆 柱 ， 圆 柱 的 底 面 直 径 是 4， 圆 柱 的 高 是 4， 圆 柱 表 现 出 来 的 表 面 积 是 2 2+2 2 4=20 空 间 组 合 体 的 表 面 积 是 28 .答 案 ： C.7. 若 将 函 数 y=2sin2x的 图 象 向 左 平 移 12 个 单 位 长 度 ， 则 平 移 后 的 图 象 的 对 称 轴 为 ( )A.x= 2 6k (k Z)B.x= 2 6k (k Z)C.x= 2 12k (k Z) D.x=
7、2 12k (k Z)解 析 ： 将 函 数 y=2sin2x 的 图 象 向 左 平 移 12 个 单 位 长 度 ， 得 到 y=2sin2(x+12 )=2sin(2x+ 6 )，由 2x+ 6 =k + 2 (k Z)得 ： x= 2 6k (k Z)，即 平 移 后 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 为 x= 2 6k (k Z).答 案 ： B.8. 中 国 古 代 有 计 算 多 项 式 值 的 秦 九 韶 算 法 ， 如 图 是 实 现 该 算 法 的 程 序 框 图 .执 行 该 程 序 框 图 ，若 输 入 的 x=2， n=2， 依 次 输 入 的 a为 2， 2， 5
8、， 则 输 出 的 s=( ) A.7B.12C.17D.34解 析 ： 输 入 的 x=2， n=2，当 输 入 的 a为 2时 ， S=2， k=1， 不 满 足 退 出 循 环 的 条 件 ；当 再 次 输 入 的 a为 2时 ， S=6， k=2， 不 满 足 退 出 循 环 的 条 件 ；当 输 入 的 a为 5时 ， S=17， k=3， 满 足 退 出 循 环 的 条 件 ；故 输 出 的 S值 为 17.答 案 ： C.9. 若 cos( 4 - )=35， 则 sin2 =( ) A. 725B.15C.-15D.- 725解 析 ： cos( 4 - )=35， sin2
9、=cos( 2 -2 )=cos2( 4 - )=2cos 2( 4 - )-1=2 925-1=- 725.答 案 ： D. 10. 从 区 间 0， 1随 机 抽 取 2n 个 数 x1， x2， ， xn， y1， y2， ， yn构 成 n 个 数 对 (x1， y1)，(x2， y2) (xn， yn)， 其 中 两 数 的 平 方 和 小 于 1 的 数 对 共 有 m 个 ， 则 用 随 机 模 拟 的 方 法 得 到 的圆 周 率 的 近 似 值 为 ( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解 析 ： 由 题 意 ， 2212mn ， =4mn . 答 案 ： C.11.
10、 已 知 F1， F2是 双 曲 线 E： 2 22 2 1x ya b 的 左 、 右 焦 点 ， 点 M 在 E 上 ， MF1与 x 轴 垂 直 ， sin MF2F1=13， 则 E的 离 心 率 为 ( )A. 2B.32C. 3 D.2解 析 ： 设 |MF1|=x， 则 |MF2|=2a+x， MF 1与 x轴 垂 直 ， (2a+x)2=x2+4c2， x= 2ba sin MF2F1=13， 3x=2a+x， x=a， 2ba =a， a=b， c= 2a， e= ca = 2.答 案 ： A. 12. 已 知 函 数 f(x)(x R)满 足 f(-x)=2-f(x)， 若
11、 函 数 y= 1xx 与 y=f(x)图 象 的 交 点 为 (x1，y1)， (x2， y2)， ， (xm， ym)， 则 1m i ii x y （ ） =( )A.0B.mC.2mD.4m解 析 ： 函 数 f(x)(x R)满 足 f(-x)=2-f(x)，即 为 f(x)+f(-x)=2，可 得 f(x)关 于 点 (0， 1)对 称 ，函 数 y= 1xx ， 即 y=1 1x 的 图 象 关 于 点 (0， 1)对 称 ， 即 有 (x1， y1)为 交 点 ， 即 有 (-x1， 2-y1)也 为 交 点 ，(x2， y2)为 交 点 ， 即 有 (-x2， 2-y2)也
12、为 交 点 ，则 有 1m i ii x y （ ） =(x1+y1)+(x2+y2)+ +(xm+ym)=12 (x 1+y1)+(-x1+2-y1)+(x2+y2)+(-x2+2-y2)+ +(xm+ym)+(-xm+2-ym)=m.答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 .13. ABC的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 若 cosA=45 ， cosC= 513， a=1， 则 b=_.解 析 ： 由 cosA=45 ， cosC= 513， 可 得 sinA= 2 16 31 1 25 5cos A ，
13、sinC= 2 25 121 1 169 13cos C ，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=35 513+45 1213=6365，由 正 弦 定 理 可 得 b=asinBsinA= 63 2165 11 3 .答 案 ： 2113 . 14. ， 是 两 个 平 面 ， m， n是 两 条 直 线 ， 有 下 列 四 个 命 题 ： 如 果 m n， m ， n ， 那 么 . 如 果 m ， n ， 那 么 m n. 如 果 ， m ， 那 么 m . 如 果 m n， ， 那 么 m与 所 成 的 角 和 n与 所 成 的 角 相 等 .其 中 正 确
14、的 命 题 是 _(填 序 号 )解 析 ： 如 果 m n， m ， n ， 那 么 ， 故 错 误 ； 如 果 n ， 则 存 在 直 线 l ， 使 n l， 由 m ， 可 得 m l， 那 么 m n.故 正 确 ； 如 果 ， m ， 那 么 m 与 无 公 共 点 ， 则 m .故 正 确 如 果 m n， ， 那 么 m， n与 所 成 的 角 和 m， n 与 所 成 的 角 均 相 等 .故 正 确 .答 案 ： 15. 有 三 张 卡 片 ， 分 别 写 有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3.甲 ， 乙 ， 丙 三 人 各 取 走 一 张 卡 片 ， 甲 看 了 乙
15、 的 卡 片 后 说 ： “ 我 与 乙 的 卡 片 上 相 同 的 数 字 不 是 2” ， 乙 看 了 丙 的 卡 片 后 说 ： “ 我 与 丙 的卡 片 上 相 同 的 数 字 不 是 1” ， 丙 说 ： “ 我 的 卡 片 上 的 数 字 之 和 不 是 5” ， 则 甲 的 卡 片 上 的 数 字 是_.解 析 ： 根 据 丙 的 说 法 知 ， 丙 的 卡 片 上 写 着 1和 2， 或 1 和 3；(1)若 丙 的 卡 片 上 写 着 1 和 2， 根 据 乙 的 说 法 知 ， 乙 的 卡 片 上 写 着 2和 3； 根 据 甲 的 说 法 知 ， 甲 的 卡 片 上 写
16、着 1和 3；(2)若 丙 的 卡 片 上 写 着 1 和 3， 根 据 乙 的 说 法 知 ， 乙 的 卡 片 上 写 着 2和 3；又 甲 说 ， “ 我 与 乙 的 卡 片 上 相 同 的 数 字 不 是 2” ； 甲 的 卡 片 上 写 的 数 字 不 是 1和 2， 这 与 已 知 矛 盾 ； 甲 的 卡 片 上 的 数 字 是 1和 3.答 案 ： 1 和 3.16. 若 直 线 y=kx+b 是 曲 线 y=lnx+2的 切 线 ， 也 是 曲 线 y=ln(x+1)的 切 线 ， 则 b=_. 解 析 ： 设 y=kx+b与 y=lnx+2 和 y=ln(x+1)的 切 点 分
17、 别 为 (x1， kx1+b)、 (x2， kx2+b)；由 导 数 的 几 何 意 义 可 得 k= 1 21 1 1x x ， 得 x1=x2+1 再 由 切 点 也 在 各 自 的 曲 线 上 ， 可 得 1 12 2 21kx b lnxkx b ln x =联 立 上 述 式 子 解 得 12 212 12kxx = ；从 而 kx 1+b=lnx1+2 得 出 b=1-ln2.答 案 ： 1-ln2.三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.Sn为 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 ， 且 a1=1， S7=
18、28， 记 bn=lgan， 其 中 x表 示 不 超 过 x 的最 大 整 数 ， 如 0.9=0， lg99=1.( )求 b1， b11， b101；( )求 数 列 b n的 前 1000项 和 .解 析 ： ( )利 用 已 知 条 件 求 出 等 差 数 列 的 公 差 ， 求 出 通 项 公 式 ， 然 后 求 解 b1， b11， b101；( )找 出 数 列 的 规 律 ， 然 后 求 数 列 bn的 前 1000项 和 .答 案 ： ( )Sn为 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 ， 且 a1=1， S7=28， 7a4=28.可 得 a4=4， 则 公 差 d=1
19、.an=n，bn=lgn， 则 b1=lg1=0，b 11=lg11=1，b101=lg101=2.( )由 ( )可 知 ： b1=b2=b3= =b9=0， b10=b11=b12= =b99=1.b100=b101=b102=b103= =b999=2， b10， 00=3.数 列 bn的 前 1000项 和 为 ： 9 0+90 1+900 2+3=1893.18. 某 保 险 的 基 本 保 费 为 a(单 位 ： 元 )， 继 续 购 买 该 保 险 的 投 保 人 成 为 续 保 人 ， 续 保 人 本 年度 的 保 费 与 其 上 年 度 出 险 次 数 的 关 联 如 下 ：
20、设 该 险 种 一 续 保 人 一 年 内 出 险 次 数 与 相 应 概 率 如 下 ： ( )求 一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 的 概 率 ；( )若 一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 ， 求 其 保 费 比 基 本 保 费 高 出 60%的 概 率 ；( )求 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 与 基 本 保 费 的 比 值 . 解 析 ： ( )上 年 度 出 险 次 数 大 于 等 于 2 时 ， 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 ， 由 此 利 用 该险 种 一 续 保 人 一 年
21、内 出 险 次 数 与 相 应 概 率 统 计 表 根 据 对 立 事 件 概 率 计 算 公 式 能 求 出 一 续 保人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 的 概 率 .( )设 事 件 A 表 示 “ 一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 ” ， 事 件 B表 示 “ 一 续 保 人 本 年 度的 保 费 比 基 本 保 费 高 出 60%” ， 由 题 意 求 出 P(A)， P(AB)， 由 此 利 用 条 件 概 率 能 求 出 若 一 续 保人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 ， 则 其 保 费 比 基 本 保 费 高 出
22、60%的 概 率 .( )由 题 意 ， 能 求 出 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 与 基 本 保 费 的 比 值 .答 案 ： ( ) 某 保 险 的 基 本 保 费 为 a(单 位 ： 元 )，上 年 度 出 险 次 数 大 于 等 于 2 时 ， 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 ， 由 该 险 种 一 续 保 人 一 年 内 出 险 次 数 与 相 应 概 率 统 计 表 得 ：一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 的 概 率 ：p 1=1-0.30-0.15=0.55.( )设 事 件 A 表 示 “ 一 续 保 人
23、本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 ” ， 事 件 B表 示 “ 一 续 保 人 本 年 度的 保 费 比 基 本 保 费 高 出 60%” ，由 题 意 P(A)=0.55， P(AB)=0.10+0.05=0.15，由 题 意 得 若 一 续 保 人 本 年 度 的 保 费 高 于 基 本 保 费 ，则 其 保 费 比 基 本 保 费 高 出 60%的 概 率 ：p 2=P(B|A)= P ABP A =0.150.55= 311.( )由 题 意 ， 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 与 基 本 保 费 的 比 值 为 ：0.85 0.30 0.15 1.25 0.
24、3 1.5 0.20 1.25 0.01 2 0.05a a a a a aa =1.23， 续 保 人 本 年 度 的 平 均 保 费 与 基 本 保 费 的 比 值 为 1.23.19. 如 图 ， 菱 形 ABCD 的 对 角 线 AC与 BD交 于 点 O， AB=5， AC=6， 点 E， F分 别 在 AD， CD 上 ，AE=CF=54 ， EF交 于 BD于 点 M， 将 DEF沿 EF折 到 D EF 的 位 置 ， OD = 10. ( )证 明 ： D H 平 面 ABCD；( )求 二 面 角 B-D A-C 的 正 弦 值 .解 析 ： ( )由 底 面 ABCD为
25、菱 形 ， 可 得 AD=CD， 结 合 AE=CF可 得 EF AC， 再 由 ABCD是 菱 形 ，得 AC BD， 进 一 步 得 到 EF BD， 由 EF DH， 可 得 EF D H， 然 后 求 解 直 角 三 角 形 得 D H OH， 再 由 线 面 垂 直 的 判 定 得 D H 平 面 ABCD；( )以 H 为 坐 标 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 ， 由 已 知 求 得 所 用 点 的 坐 标 ， 得 到 AB 、AD、 AC 的 坐 标 ， 分 别 求 出 平 面 ABD 与 平 面 AD C 的 一 个 法 向 量 1n、 2n，
26、 设 二 面 角 二 面 角 B-D A-C 的 平 面 角 为 ， 求 出 |cos |.则 二 面 角 B-D A-C的 正 弦 值 可 求 .答 案 ： ( )证 明 ： ABCD是 菱 形 ， AD=DC， 又 AE=CF=54 ， DE DFEA FC= ， 则 EF AC，又 由 ABCD 是 菱 形 ， 得 AC BD， 则 EF BD， EF DH， 则 EF D H， AC=6， AO=3，又 AB=5， AO OB， OB=4， OH= =1AE ODAO ， 则 DH=D H=3， |OD |2=|OH|2+|D H|2， 则 D H OH，又 OH EF=H， D H
27、平 面 ABCD；( )解 ： 以 H 为 坐 标 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 ， AB=5， AC=6， B(5， 0， 0)， C(1， 3， 0)， D (0， 0， 3)， A(1， -3， 0)，AB =(4， 3， 0)， AD=(-1， 3， 3)， AC =(0， 6， 0)，设 平 面 ABD 的 一 个 法 向 量 为 1n=(x， y， z)，由 11 0 0nn ABAD ， 得 4 3 03 3 0 x yx y z ， 取 x=3， 得 y=-4， z=5. 1n=(3， -4， 5).同 理 可 求 得 平 面 AD C 的 一
28、 个 法 向 量 2n=(3， 0， 1)， 设 二 面 角 二 面 角 B-D A-C的 平 面 角 为 ， 则 |cos |= 1 21 2 = 3 3 5 1 7 5255 2 10n nn n . 二 面 角 B-D A-C 的 正 弦 值 为 sin =2 9525 .20. 已 知 椭 圆 E： 2 2 13x yt 的 焦 点 在 x轴 上 ， A 是 E的 左 顶 点 ， 斜 率 为 k(k 0)的 直 线 交E于 A， M 两 点 ， 点 N在 E上 ， MA NA.( )当 t=4， |AM|=|AN|时 ， 求 AMN的 面 积 ；( )当 2|AM|=|AN|时 ， 求
29、 k 的 取 值 范 围 . 解 析 ： ( )方 法 一 、 求 出 t=4时 ， 椭 圆 方 程 和 顶 点 A， 设 出 直 线 AM的 方 程 ， 代 入 椭 圆 方 程 ，求 交 点 M， 运 用 弦 长 公 式 求 得 |AM|， 由 垂 直 的 条 件 可 得 |AN|， 再 由 |AM|=|AN|， 解 得 k=1， 运用 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 AMN的 面 积 ；方 法 二 、 运 用 椭 圆 的 对 称 性 ， 可 得 直 线 AM 的 斜 率 为 1， 求 得 AM的 方 程 代 入 椭 圆 方 程 ， 解 方程 可 得 M， N 的 坐 标 ， 运 用
30、 三 角 形 的 面 积 公 式 计 算 即 可 得 到 ；( )直 线 AM 的 方 程 为 y=k(x+ t )， 代 入 椭 圆 方 程 ， 求 得 交 点 M， 可 得 |AM|， |AN|， 再 由2|AM|=|AN|， 求 得 t， 再 由 椭 圆 的 性 质 可 得 t 3， 解 不 等 式 即 可 得 到 所 求 范 围 .答 案 ： ( )方 法 一 、 t=4时 ， 椭 圆 E 的 方 程 为 2 2 14 3x y ， A(-2， 0)，直 线 AM的 方 程 为 y=k(x+2)， 代 入 椭 圆 方 程 ， 整 理 可 得 (3+4k 2)x2+16k2x+16k2-
31、12=0，解 得 x=-2 或 x=- 2 28 63 4k k ， 则 |AM|= 21 k |2- 2 28 63 4k k |= 21 k 2123 4k ，由 AN AM， 可 得 |AN|= 2 2211 112 12 41 33 4 k kk kk ，由 |AM|=|AN|， k 0， 可 得 21 k 2123 4k = 21 k 1243k k ，整 理 可 得 (k-1)(4k 2-k+4)=0， 由 4k2-k+4=0 无 实 根 ， 可 得 k=1，即 有 AMN的 面 积 为 12 |AM|2=12 ( 1 1 123 4 )2=14449 ；方 法 二 、 由 |AM
32、|=|AN|， 可 得 M， N关 于 x 轴 对 称 ，由 MA NA.可 得 直 线 AM 的 斜 率 为 1， 直 线 AM的 方 程 为 y=x+2，代 入 椭 圆 方 程 2 2 14 3x y ， 可 得 7x2+16x+4=0， 解 得 x=-2 或 -27 ， M(-27 ， 127 )， N(-27 ， -127 )，则 AMN的 面 积 为 12 247 (-27 +2)=14449 ；( )直 线 AM的 方 程 为 y=k(x+ t )， 代 入 椭 圆 方 程 ，可 得 (3+tk2)x2+2t t k2x+t2k2-3t=0，解 得 x=- t 或 x=- 2 23
33、3t tk ttk ，即 有 |AM|= 22 22 23 61 13 3t tk t tk t ktk tk ， |AN|= 2 226 61 13 3t tk k ttk k k ，由 2|AM|=|AN|， 可 得 2 226 62 1 13 3t tk k ttk k k ，整 理 得 t= 236 32k kk ，由 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 ， 则 t 3， 即 有 236 32k kk 3， 即 有 2 31 22k kk 0， 可 得 3 2 k 2， 即 k 的 取 值 范 围 是 (3 2， 2).21.( )讨 论 函 数 f(x)= 22 xx ex 的 单
34、调 性 ， 并 证 明 当 x 0 时 ， (x-2)ex+x+2 0；( )证 明 ： 当 a 0， 1)时 ， 函 数 g(x)= 2xe ax ax (x 0)有 最 小 值 .设 g(x)的 最 小 值 为 h(a)，求 函 数 h(a)的 值 域 .解 析 ： 从 导 数 作 为 切 入 点 探 求 函 数 的 单 调 性 ， 通 过 函 数 单 调 性 来 求 得 函 数 的 值 域 ， 利 用 复 合函 数 的 求 导 公 式 进 行 求 导 ， 然 后 逐 步 分 析 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： f(x)= 22 xx ex f (x)= 22 22 42 2 2x
35、x x x ee x x x （ ） 当 x (- ， -2) (-2， + )时 ， f (x) 0 f(x)在 (- ， -2)和 (-2， + )上 单 调 递 增 x 0时 ， 22 xx ex f(0)=-1即 (x-2)ex+x+2 0(2)g (x)= 2 4 4 3 222 2 2 2 xx x x xx e ax x e ax a x xe e ax a xx x x a 0， 1由 (1)知 ， 当 x 0 时 ， f(x)= 22 xx ex 的 值 域 为 (-1， + )， 只 有 一 解 使 得22 tet at ， t 0， 2当 x (0， t)时 ， g (x
36、) 0， g(x)单 调 减 ；当 x (t， + )， g (x) 0， g(x)单 调 增 ；h(a)= 2 2 21 1 2 2t tt tte t ee a t ett t t 记 k(t)= 2tet ， 在 t (0， 2时 ， k (t)= 212te tt 0，故 k(t)单 调 递 增 ，所 以 h(a)=k(t) (12 ， 24e . 请 考 生 在 第 22 24 题 中 任 选 一 个 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 .选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲 22. 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD 中 ， E， G 分
37、 别 在 边 DA， DC 上 (不 与 端 点 重 合 )， 且 DE=DG， 过 D点 作 DF CE， 垂 足 为 F.( )证 明 ： B， C， G， F 四 点 共 圆 ；( )若 AB=1， E为 DA的 中 点 ， 求 四 边 形 BCGF的 面 积 .解 析 ： ( )证 明 B， C， G， F四 点 共 圆 可 证 明 四 边 形 BCGF对 角 互 补 ， 由 已 知 条 件 可 知 BCD=90 ， 因 此 问 题 可 转 化 为 证 明 GFB=90 ；( )在 Rt DFC中 ， GF=12 CD=GC， 因 此 可 得 GFB GCB， 则 S 四 边 形 BC
38、GF=2S BCG， 据 此 解 答 .答 案 ： ( )证 明 ： DF CE， Rt DFC Rt EDC， DF CFED CD ， DE=DG， CD=BC， DF CFDG BC ，又 GDF= DEF= BCF， GDF BCF， CFB= DFG， GFB= GFC+ CFB= GFC+ DFG= DFC=90 ， GFB+ GCB=180 ， B， C， G， F 四 点 共 圆 . ( ) E 为 AD 中 点 ， AB=1， DG=CG=DE=12 ， 在 Rt DFC中 ， GF=12 CD=GC， 连 接 GB， Rt BCG Rt BFG， S 四 边 形 BCGF=
39、2S BCG=2 12 1 12 =12 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 23. 在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 圆 C 的 方 程 为 (x+6)2+y2=25.( )以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 求 C 的 极 坐 标 方 程 ；( )直 线 l 的 参 数 方 程 是 x tcosy tsin = (t为 参 数 )， l 与 C 交 与 A， B两 点 ， |AB|= 10， 求 l的 斜 率 .解 析 ： ( )把 圆 C的 标 准 方 程 化 为 一 般 方 程 ， 由 此 利 用 2=x2
40、+y2， x= cos ， y= sin ，能 求 出 圆 C的 极 坐 标 方 程 .( )由 直 线 l 的 参 数 方 程 求 出 直 线 l的 一 般 方 程 ， 再 求 出 圆 心 到 直 线 距 离 ， 由 此 能 求 出 直 线l的 斜 率 .答 案 ： ( ) 圆 C 的 方 程 为 (x+6)2+y2=25， x2+y2+12x+11=0， 2=x2+y2， x= cos ， y= sin ， C 的 极 坐 标 方 程 为 2+12 cos +11=0.( ) 直 线 l 的 参 数 方 程 是 x tcosy tsin = (t为 参 数 )， 直 线 l 的 一 般 方
41、 程 y=tan x， l 与 C 交 与 A， B 两 点 ， |AB|= 10， 圆 C的 圆 心 C(-6， 0)， 半 径 r=5， 圆 心 C(-6， 0)到 直 线 距 离 d= 26 1| |tantan 1025 4 ，解 得 tan2 =53， tan = 53 = 153 . l 的 斜 率 k= 153 .选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 24. 已 知 函 数 f(x)=|x-12 |+|x+12 |， M为 不 等 式 f(x) 2的 解 集 .( )求 M；( )证 明 ： 当 a， b M 时 ， |a+b| |1+ab|.解 析 ： ( )分 当 x -12
42、 时 ， 当 -12 x 12 时 ， 当 x 12 时 三 种 情 况 ， 分 别 求 解 不 等 式 ， 综合 可 得 答 案 ；( )当 a， b M时 ， (a 2-1)(b2-1) 0， 即 a2b2+1 a2+b2， 配 方 后 ， 可 证 得 结 论 .答 案 ： ( )当 x -12 时 ， 不 等 式 f(x) 2可 化 为 ： 12 -x-x-12 2，解 得 ： x -1， -1 x -12 ，当 -12 x 12 时 ， 不 等 式 f(x) 2可 化 为 ： 12 -x+x+12 =1 2，此 时 不 等 式 恒 成 立 ， -12 x 12 ，当 x 12 时 ， 不 等 式 f(x) 2 可 化 为 ： -12 +x+x+12 2， 解 得 ： x 1， 12 x 1，综 上 可 得 ： M=(-1， 1)；证 明 ： ( )当 a， b M 时 ，(a2-1)(b2-1) 0，即 a2b2+1 a2+b2，即 a 2b2+1+2ab a2+b2+2ab，即 (ab+1)2 (a+b)2，即 |a+b| |1+ab|.
