1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 新 课 标 ） 数 学 理一 、 选 择 题 :本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 .1. 设 集 合 S=x|(x-2)(x-3) 0， T=x|x 0， 则 S T=( )A.2， 3B.(- ， 2 3， + )C.3， + )D.(0， 2 3， + )解 析 ： 由 S中 不 等 式 解 得 ： x 2 或 x 3， 即 S=(- ， 2 3， + )， T=(0， + )， S T=(0， 2
2、 3， + ).答 案 ： D. 2. 若 z=1+2i， 则 4 1izz =( )A.1B.-1C.iD.-i解 析 ： z=1+2i， 则 4 4 41 2 1 2 1 5 11i i i ii izz .答 案 ： C.3. 已 知 向 量 BA =(12 ， 32 )， BC=( 32 ， 12 )， 则 ABC=( ) A.30B.45C.60D.120解 析 ： BA BC= 34 + 34 = 32 ， |BA |=|BC|=1； cos ABC= 32BA BCBA BC ；又 0 ABC 180 ； ABC=30 .答 案 ： A. 4. 某 旅 游 城 市 为 向 游 客
3、 介 绍 本 地 的 气 温 情 况 ， 绘 制 了 一 年 中 各 月 平 均 最 高 气 温 和 平 均 最 低气 温 的 雷 达 图 ， 图 中 A点 表 示 十 月 的 平 均 最 高 气 温 约 为 15 ， B 点 表 示 四 月 的 平 均 最 低 气 温 约 为 5 ， 下 面 叙 述 不 正 确 的 是 ( ) A.各 月 的 平 均 最 低 气 温 都 在 0 以 上B.七 月 的 平 均 温 差 比 一 月 的 平 均 温 差 大C.三 月 和 十 一 月 的 平 均 最 高 气 温 基 本 相 同D.平 均 最 高 气 温 高 于 20 的 月 份 有 5 个解 析 ：
4、 A.由 雷 达 图 知 各 月 的 平 均 最 低 气 温 都 在 0 以 上 ， 正 确B.七 月 的 平 均 温 差 大 约 在 10 左 右 ， 一 月 的 平 均 温 差 在 5 左 右 ， 故 七 月 的 平 均 温 差 比 一 月的 平 均 温 差 大 ， 正 确C.三 月 和 十 一 月 的 平 均 最 高 气 温 基 本 相 同 ， 都 为 10 ， 正 确D.平 均 最 高 气 温 高 于 20 的 月 份 有 7， 8 两 个 月 ， 故 D 错 误 .答 案 ： D.5. 若 tan =34 ， 则 cos 2 +2sin2 =( )A.6425B.4825C.1D.1
5、625解 析 ： tan =34 ， cos2 +2sin2 = 2 2 2 2 31 4 4 1 4 64491 25116cos sin cos tansin cos tan .答 案 ： A. 6. 已 知 a= 432 ， b= 233 ， c= 1325 ， 则 ( )A.b a cB.a b cC.b c aD.c a b解 析 ： a= 432 = 234 ，b= 233 ，c= 1325 = 235 ，综 上 可 得 ： b a c. 答 案 ： A.7. 执 行 如 图 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 a=4， b=6， 那 么 输 出 的 n=( ) A.3B.4C
6、5D.6解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 ， 可 得a=4， b=6， n=0， s=0执 行 循 环 体 ， a=2， b=4， a=6， s=6， n=1 不 满 足 条 件 s 16， 执 行 循 环 体 ， a=-2， b=6， a=4， s=10， n=2不 满 足 条 件 s 16， 执 行 循 环 体 ， a=2， b=4， a=6， s=16， n=3不 满 足 条 件 s 16， 执 行 循 环 体 ， a=-2， b=6， a=4， s=20， n=4满 足 条 件 s 16， 退 出 循 环 ， 输 出 n 的 值 为 4.答 案 ： B.8. 在 ABC中 ， B=
7、 4 ， BC 边 上 的 高 等 于 13BC， 则 cosA=( )A.3 1010 B. 1010C.- 1010D.-3 1010解 析 ： 设 ABC中 角 A、 B、 C、 对 应 的 边 分 别 为 a、 b、 c， AD BC 于 D， 令 DAC= ， 在 ABC中 ， B= 4 ， BC边 上 的 高 AD=h=13BC=13a， BD=AD=13a， CD=23 a，在 Rt ADC中 ， cos = 2 2 53 51 23 3ADAC a aa ， 故 sin =2 55 ， cosA=cos( 4 + )=cos 4 cos -sin 4 sin = 22 55 -
8、 22 2 55 =- 1010 .答 案 ： C. 9. 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 粗 实 线 画 出 的 是 某 多 面 体 的 三 视 图 ， 则 该 多 面 体 的 表 面积 为 ( ) A.18+36 5B.54+18 5C.90D.81解 析 ： 由 已 知 中 的 三 视 图 可 得 ： 该 几 何 体 是 一 个 以 俯 视 图 为 底 面 的 四 棱 柱 ，其 底 面 面 积 为 ： 3 6=18，前 后 侧 面 的 面 积 为 ： 3 6 2=36，左 右 侧 面 的 面 积 为 ： 3 2 23 6 2=18 5，故 棱 柱 的 表 面 积 为
9、 ： 18+36+9 5=54+18 5. 答 案 ： B.10. 在 封 闭 的 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1内 有 一 个 体 积 为 V 的 球 ， 若 AB BC， AB=6， BC=8， AA1=3，则 V 的 最 大 值 是 ( )A.4B.92C.6D.323解 析 ： AB BC， AB=6， BC=8， AC=10. 故 三 角 形 ABC的 内 切 圆 半 径 r=6 8 102 =2，又 由 AA1=3， 故 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 内 切 球 半 径 为 32 ，此 时 V的 最 大 值 43 (32 )3=92 .答 案 ： B.11. 已 知
10、 O为 坐 标 原 点 ， F 是 椭 圆 C： 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 左 焦 点 ， A， B 分 别 为 C的 左 ，右 顶 点 .P 为 C上 一 点 ， 且 PF x 轴 ， 过 点 A的 直 线 l 与 线 段 PF 交 于 点 M， 与 y 轴 交 于 点 E.若 直 线 BM 经 过 OE 的 中 点 ， 则 C 的 离 心 率 为 ( )A.13 B.12C.23D.34解 析 ： 由 题 意 可 设 F(-c， 0)， A(-a， 0)， B(a， 0)，令 x=-c， 代 入 椭 圆 方 程 可 得 y= b 2 221 c ba a ，可 得 P
11、c， 2ba )， 设 直 线 AE 的 方 程 为 y=k(x+a)，令 x=-c， 可 得 M(-c， k(a-c)， 令 x=0， 可 得 E(0， ka)，设 OE 的 中 点 为 H， 可 得 H(0， 2ka )，由 B， H， M三 点 共 线 ， 可 得 kBH=kBM，即 为 2ka k a ca c a ，化 简 可 得 12a ca c ， 即 为 a=3c，可 得 e= 13ca .答 案 ： A. 12. 定 义 “ 规 范 01 数 列 ” an如 下 ： an共 有 2m 项 ， 其 中 m 项 为 0， m 项 为 1， 且 对 任 意 k 2m， a1，
12、a2， ， ak中 0 的 个 数 不 少 于 1 的 个 数 ， 若 m=4， 则 不 同 的 “ 规 范 01数 列 ” 共 有( )A.18个 B.16个C.14个D.12个解 析 ： 由 题 意 可 知 ， “ 规 范 01 数 列 ” 有 偶 数 项 2m项 ， 且 所 含 0 与 1 的 个 数 相 等 ， 首 项 为 0，末 项 为 1， 若 m=4， 说 明 数 列 有 8 项 ， 满 足 条 件 的 数 列 有 ：0， 0， 0， 0， 1， 1， 1， 1； 0， 0， 0， 1， 0， 1， 1， 1； 0， 0， 0， 1， 1， 0， 1， 1； 0，0， 0， 1，
13、 1， 1， 0， 1； 0， 0， 1， 0， 0， 1， 1， 1；0， 0， 1， 0， 1， 0， 1， 1； 0， 0， 1， 0， 1， 1， 0， 1； 0， 0， 1， 1， 0， 1， 0， 1； 0，0， 1， 1， 0， 0， 1， 1； 0， 1， 0， 0， 0， 1， 1， 1；0， 1， 0， 0， 1， 0， 1， 1； 0， 1， 0， 0， 1， 1， 0， 1； 0， 1， 0， 1， 0， 0， 1， 1； 0，1， 0， 1， 0， 1， 0， 1.共 14 个 .答 案 ： C. 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5
14、 分 .13. 若 x， y 满 足 约 束 条 件 1 02 02 2 0 x yx yx y ， 则 z=x+y的 最 大 值 为 _.解 析 ： 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 阴 影 部 分 ， 当 直 线 经 过 D点 时 ， z最 大 ，由 2 02 2 0 x yx y = = 得 D(1， 12 )，所 以 z=x+y的 最 大 值 为 1+12 =32 . 答 案 ： 32 .14. 函 数 y=sinx- 3cosx的 图 象 可 由 函 数 y=sinx+ 3cosx的 图 象 至 少 向 右 平 移 _个 单位 长 度 得 到 . 解 析 ： y=s
15、inx- 3cosx=2sin(x- 3 )， y=sinx- 3cosx=2sin(x- 3 )， f(x- )=2sin(x+ 3 - )( 0)，令 2sin(x+ 3 - )=2sin(x- 3 )，则 3 - =2k - 3 (k Z)，即 =23 -2k (k Z)，当 k=0时 ， 正 数 min=23 .答 案 ： 23 .15. 已 知 f(x)为 偶 函 数 ， 当 x 0 时 ， f(x)=ln(-x)+3x， 则 曲 线 y=f(x)在 点 (1， -3)处 的 切线 方 程 是 _.解 析 ： f(x)为 偶 函 数 ， 可 得 f(-x)=f(x)，当 x 0 时
16、 f(x)=ln(-x)+3x， 即 有x 0 时 ， f(x)=lnx-3x， f (x)=1x -3，可 得 f(1)=ln1-3=-3， f (1)=1-3=-2，则 曲 线 y=f(x)在 点 (1， -3)处 的 切 线 方 程 为 y-(-3)=-2(x-1)， 即 为 2x+y+1=0.答 案 ： 2x+y+1=0.16. 已 知 直 线 l： mx+y+3m- 3=0 与 圆 x2+y2=12交 于 A， B 两 点 ， 过 A， B 分 别 作 l 的 垂 线 与x轴 交 于 C， D 两 点 ， 若 |AB|=2 3， 则 |CD|=_.解 析 ： 由 题 意 ， |AB
17、2 3， 圆 心 到 直 线 的 距 离 d=3， 23 3 31mm ， m=- 33 直 线 l 的 倾 斜 角 为 30 ， 过 A， B 分 别 作 l 的 垂 线 与 x 轴 交 于 C， D两 点 ， |CD|=2 332 =4. 答 案 ： 4.三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17. 已 知 数 列 an的 前 n项 和 Sn=1+ an， 其 中 0.(1)证 明 an是 等 比 数 列 ， 并 求 其 通 项 公 式 ；(2)若 S5=3132， 求 .解 析 ： (1)根 据 数 列 通 项 公 式
18、与 前 n 项 和 公 式 之 间 的 关 系 进 行 递 推 ， 结 合 等 比 数 列 的 定 义 进行 证 明 求 解 即 可 .(2)根 据 条 件 建 立 方 程 关 系 进 行 求 解 就 可 .答 案 ： (1) S n=1+ an， 0. an 0.当 n 2 时 ， an=Sn-Sn-1=1+ an-1- an-1= an- an-1，即 ( -1)an= an-1， 0， an 0. -1 0.即 1，即 1 1nnaa ， (n 2)， a n是 等 比 数 列 ， 公 比 q= 1 ，当 n=1时 ， S1=1+ a1=a1，即 a1= 11 ， an= 11 ( 1
19、)n-1.(2)若 S 5=3132，则 若 S5=1+ ( 11 ( 1 )4=3132，即 (1 )5=3132-1=- 132，则 1 =-12 ， 得 =-1.18. 如 图 是 我 国 2008年 至 2014年 生 活 垃 圾 无 害 化 处 理 量 (单 位 ： 亿 吨 )的 折 线 图 . 注 ： 年 份 代 码 1-7分 别 对 应 年 份 2008-2014.(1)由 折 线 图 看 出 ， 可 用 线 性 回 归 模 型 拟 合 y 与 t 的 关 系 ， 请 用 相 关 系 数 加 以 证 明 ；(2)建 立 y 关 于 t 的 回 归 方 程 (系 数 精 确 到 0
20、01)， 预 测 2016 年 我 国 生 活 垃 圾 无 害 化 处 理 量 .附 注 ：参 考 数 据 ： 71 9.32ii y ， 71 40.17i ii t y ， 7 21 0.55ii y y ， 7 2.646.参 考 公 式 ： 1 2 21 1n i iin ni ii it yr t yy y -t -t ， 回 归 方 程 y a bt 中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ： 1 21n i ii n ii t yb t y -t t ，a y bt .解 析 ： (1)由 折 线 图 看 出 ， y 与 t 之 间 存 在 较
21、强 的 正 相 关 关 系 ， 将 已 知 数 据 代 入 相 关 系 数 方程 ， 可 得 答 案 ；(2)根 据 已 知 中 的 数 据 ， 求 出 回 归 系 数 ， 可 得 回 归 方 程 ， 2016年 对 应 的 t值 为 9， 代 入 可 预测 2016年 我 国 生 活 垃 圾 无 害 化 处 理 量 .答 案 ： (1)由 折 线 图 看 出 ， y 与 t 之 间 存 在 较 强 的 正 相 关 关 系 ， 理 由 如 下 ： 7 71 1 7 7 7 72 2 2 21 1 1 17 40.17 4 9.32 2.89 0.9962.91062 7 0.55i i i i
22、i ii i i ii i i it y y tr t y t yy yy y - - -t tt t， 0.996 0.75，故 y 与 t 之 间 存 在 较 强 的 正 相 关 关 系 ；(2) 71 172 221 1 7 2.87 928n i i i ii in i ii it y y tt ty yb t tt - t 0.103，a y bt 1.331-0.103 4 0.92， y 关 于 t的 回 归 方 程 y =0.10t+0.92，2016年 对 应 的 t值 为 9， 故 y =0.10 9+0.92=1.82，预 测 2016 年 我 国 生 活 垃 圾 无 害
23、 化 处 理 量 为 1.82亿 吨 .19. 如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， PA 底 面 ABCD， AD BC， AB=AD=AC=3， PA=BC=4， M 为 线 段AD上 一 点 ， AM=2MD， N 为 PC 的 中 点 . (1)证 明 ： MN 平 面 PAB；(2)求 直 线 AN 与 平 面 PMN所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： (1)法 一 、 取 PB 中 点 G， 连 接 AG， NG， 由 三 角 形 的 中 位 线 定 理 可 得 NG BC， 且 NG=12 BC，再 由 已 知 得 AM BC， 且 AM=12 BC， 得 到 NG
24、 AM， 且 NG=AM， 说 明 四 边 形 AMNG为 平 行 四 边 形 ，可 得 NM AG， 由 线 面 平 行 的 判 定 得 到 MN 平 面 PAB；法 二 、 证 明 MN 平 面 PAB， 转 化 为 证 明 平 面 NEM 平 面 PAB， 在 PAC 中 ， 过 N 作 NE AC，垂 足 为 E， 连 接 ME， 由 已 知 PA 底 面 ABCD， 可 得 PA NE， 通 过 求 解 直 角 三 角 形 得 到 ME AB，由 面 面 平 行 的 判 定 可 得 平 面 NEM 平 面 PAB， 则 结 论 得 证 ；(2)连 接 CM， 证 得 CM AD， 进
25、 一 步 得 到 平 面 PNM 平 面 PAD， 在 平 面 PAD内 ， 过 A作 AF PM，交 PM 于 F， 连 接 NF， 则 ANF 为 直 线 AN 与 平 面 PMN 所 成 角 .然 后 求 解 直 角 三 角 形 可 得 直 线AN与 平 面 PMN所 成 角 的 正 弦 值 . 答 案 ： (1)证 明 ： 法 一 、 如 图 ， 取 PB 中 点 G， 连 接 AG， NG， N 为 PC 的 中 点 ， NG BC， 且 NG=12 BC，又 AM=23 AD=2， BC=4， 且 AD BC， AM BC， 且 AM=12 BC，则 NG AM， 且 NG=AM，
26、 四 边 形 AMNG 为 平 行 四 边 形 ， 则 NM AG， AG平 面 PAB， NM平 面 PAB， MN 平 面 PAB；法 二 、 在 PAC中 ， 过 N 作 NE AC， 垂 足 为 E， 连 接 ME，在 ABC中 ， 由 已 知 AB=AC=3， BC=4， 得 cos ACB= 2 2 24 3 3 22 4 3 3 ， AD BC， cos EAM=23 ， 则 sin EAM= 53 ，在 EAM中 ， AM=23 AD=2， AE=12 AC=32 ，由 余 弦 定 理 得 ： EM= 2 2 9 3 2 32 4 2 24 2 3 2AE AM AE AM c
27、os EAM ， cos AEM= 2 23 3 4 12 23 3 92 2 2 ，而 在 ABC中 ， cos BAC= 2 2 23 3 4 12 3 3 9 ， cos AEM=cos BAC， 即 AEM= BAC， AB EM， 则 EM 平 面 PAB.由 PA 底 面 ABCD， 得 PA AC， 又 NE AC， NE PA， 则 NE 平 面 PAB. NE EM=E， 平 面 NEM 平 面 PAB， 则 MN 平 面 PAB； (2)解 ： 在 AMC中 ， 由 AM=2， AC=3， cos MAC=23 ， 得 CM2=AC2+AM2-2AC AM cos MAC=
28、9+4-2 3 2 23 =5. AM2+MC2=AC2， 则 AM MC， PA 底 面 ABCD， PA平 面 PAD， 平 面 ABCD 平 面 PAD， 且 平 面 ABCD 平 面 PAD=AD， CM 平 面 PAD， 则 平 面 PNM 平 面 PAD.在 平 面 PAD内 ， 过 A 作 AF PM， 交 PM于 F， 连 接 NF， 则 ANF为 直 线 AN 与 平 面 PMN 所 成 角 .在 Rt PAC中 ， 由 N是 PC的 中 点 ， 得 AN=12 PC= 2 212 PA PC =52 ， 在 Rt PAM中 ， 由 PA AM=PM AF， 得 AF= 2
29、24 2 4 554 2PA AMPM ， sin ANF= 4 5 8 555 252AFAN . 直 线 AN 与 平 面 PMN所 成 角 的 正 弦 值 为 8 525 .20. 已 知 抛 物 线 C： y 2=2x的 焦 点 为 F， 平 行 于 x 轴 的 两 条 直 线 l1， l2分 别 交 C于 A， B 两 点 ，交 C 的 准 线 于 P， Q 两 点 .( )若 F 在 线 段 AB 上 ， R是 PQ的 中 点 ， 证 明 AR FQ；( )若 PQF的 面 积 是 ABF 的 面 积 的 两 倍 ， 求 AB 中 点 的 轨 迹 方 程 .解 析 ： ( )连 接
30、 RF， PF， 利 用 等 角 的 余 角 相 等 ， 证 明 PRA= PRF， 即 可 证 明 AR FQ；( )利 用 PQF 的 面 积 是 ABF 的 面 积 的 两 倍 ， 求 出 N的 坐 标 ， 利 用 点 差 法 求 AB中 点 的 轨 迹方 程 .答 案 ： ( )证 明 ： 连 接 RF， PF， 由 AP=AF， BQ=BF 及 AP BQ， 得 AFP+ BFQ=90 ， PFQ=90 ， R 是 PQ 的 中 点 ， RF=RP=RQ， PAR FAR， PAR= FAR， PRA= FRA， BQF+ BFQ=180 - QBF= PAF=2 PAR， FQB=
31、 PAR， PRA= PRF， AR FQ.( )设 A(x 1， y1)， B(x2， y2)，F(12 ， 0)， 准 线 为 x=-12 ，S PQF=12 |PQ|=12 |y1-y2|，设 直 线 AB 与 x 轴 交 点 为 N， S ABF=12 |FN|y1-y2|， PQF的 面 积 是 ABF 的 面 积 的 两 倍 ， 2|FN|=1， xN=1， 即 N(1， 0).设 AB 中 点 为 M(x， y)， 由 21 122 222y xy x 得 y12-y22=2(x1-x2)，又 1 21 2 1y y yx x x ， 11yx y ， 即 y 2=x-1. AB
32、 中 点 轨 迹 方 程 为 y2=x-1.21. 设 函 数 f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1)， 其 中 a 0， 记 |f(x)|的 最 大 值 为 A.( )求 f (x)；( )求 A；( )证 明 ： |f (x)| 2A.解 析 ： ( )根 据 复 合 函 数 的 导 数 公 式 进 行 求 解 即 可 求 f (x)；( )讨 论 a的 取 值 ， 利 用 分 类 讨 论 的 数 学 ， 结 合 换 元 法 ， 以 及 一 元 二 次 函 数 的 最 值 的 性 质 进行 求 解 ；( )由 ( )， 结 合 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 即 可 证 明
33、 ： |f (x)| 2A. 答 案 ： ( )解 ： f (x)=-2asin2x-(a-1)sinx.( )当 a 1 时 ， |f(x)|=|acos2x+(a-1)(cosx+1)| a+2(a-1)=3a-2=f(0)， 因 此 A=3a-2.当 0 a 1时 ， f(x)等 价 为 f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1)=2acos2x+(a-1)cosx-1，令 g(t)=2at2+(a-1)t-1，则 A 是 |g(t)|在 -1， 1上 的 最 大 值 ， g(-1)=a， g(1)=3a-2，且 当 t=14 aa 时 ， g(t)取 得 极 小 值 ， 极 小
34、 值 为 g(14 aa )=- 218a a -1=- 2 6 18a aa ，令 -1 14 aa 1， 得 a -13(舍 )或 a 15.因 此 A=3a-2g(-1)=a， g(1)=3a+2， a 3a+2， t=1时 ， g(t)取 得 最 大 值 ， g(1)=3a+2， 即 f(x)的 最 大 值为 3a+2.综 上 可 得 ： t=1时 ， g(t)取 得 最 大 值 ， g(1)=3a+2， 即 f(x)的 最 大 值 为 3a+2. A=3a+2. 当 0 a 15时 ， g(t)在 (-1， 1)内 无 极 值 点 ， |g(-1)|=a， |g(1)|=2-3a，
35、g(-1)| |g(1)|， A=2-3a， 当 15 a 1 时 ， 由 g(-1)-g(1)=2(1-a) 0， 得 g(-1) g(1) g(14 aa )，又 |g(14 aa )-g(-1)|= 1 1 78a aa 0， A=|g(14 aa )|= 2 6 18a aa ，综 上 ， A= 2 12 3 0 51 153 26 18 1a a aa aa aa ， ， ， .( )证 明 ： 由 (I)可 得 ： |f (x)|=|-2asin2x-(a-1)sinx| 2a+|a-1|，当 0 a 15时 ， |f (x)| 1+a 2-4a 2(2-3a)=2A， 当 15
36、 a 1时 ， A= 2 1 36 8 418 18aa a aa ， |f (x)| 1+a 2A，当 a 1 时 ， |f (x)| 3a-1 6a-4=2A，综 上 ： |f (x)| 2A.请 考 生 在 第 22-24 题 中 任 选 一 题 做 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 .选 修 4-1： 几 何证 明 选 讲 22. 如 图 ， O中 的 中 点 为 P， 弦 PC， PD分 别 交 AB于 E， F两 点 . (1)若 PFB=2 PCD， 求 PCD的 大 小 ；(2)若 EC 的 垂 直 平 分 线 与 FD 的 垂 直 平 分 线
37、 交 于 点 G， 证 明 ： OG CD.解 析 ： (1)连 接 PA， PB， BC， 设 PEB= 1， PCB= 2， ABC= 3， PBA= 4， PAB=5， 运 用 圆 的 性 质 和 四 点 共 圆 的 判 断 ， 可 得 E， C， D， F 共 圆 ， 再 由 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 ， 即可 得 到 所 求 PCD的 度 数 ；(2)运 用 圆 的 定 义 和 E， C， D， F 共 圆 ， 可 得 G 为 圆 心 ， G在 CD的 中 垂 线 上 ， 即 可 得 证 .答 案 ： (1)解 ： 连 接 PB， BC， 设 PEB= 1， PCB= 2，
38、 ABC= 3， PBA= 4， PAB= 5，由 O中 的 中 点 为 P， 可 得 4= 5，在 EBC中 ， 1= 2+ 3，又 D= 3+ 4， 2= 5，即 有 2= 4， 则 D= 1，则 四 点 E， C， D， F 共 圆 ，可 得 EFD+ PCD=180 ，由 PFB= EFD=2 PCD，即 有 3 PCD=180 ，可 得 PCD=60 ；(2)证 明 ： 由 C， D， E， F共 圆 ，由 EC 的 垂 直 平 分 线 与 FD的 垂 直 平 分 线 交 于 点 G 可 得 G为 圆 心 ， 即 有 GC=GD，则 G 在 CD 的 中 垂 线 ， 又 CD 为 圆
39、 G的 弦 ，则 OG CD.选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 23. 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1的 参 数 方 程 为 3x cosy sin ( 为 参 数 )， 以 坐 标 原 点 为极 点 ， 以 x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C 2的 极 坐 标 方 程 为 sin( + 4 )=2 2.(1)写 出 C1的 普 通 方 程 和 C2的 直 角 坐 标 方 程 ；(2)设 点 P 在 C1上 ， 点 Q 在 C2上 ， 求 |PQ|的 最 小 值 及 此 时 P 的 直 角 坐 标 .解 析 ：
40、1)运 用 两 边 平 方 和 同 角 的 平 方 关 系 ， 即 可 得 到 C1的 普 通 方 程 ， 运 用 x= cos ， y= sin ， 以 及 两 角 和 的 正 弦 公 式 ， 化 简 可 得 C2的 直 角 坐 标 方 程 ；(2)由 题 意 可 得 当 直 线 x+y-4=0 的 平 行 线 与 椭 圆 相 切 时 ， |PQ|取 得 最 值 .设 与 直 线 x+y-4=0平 行 的 直 线 方 程 为 x+y+t=0， 代 入 椭 圆 方 程 ， 运 用 判 别 式 为 0， 求 得 t， 再 由 平 行 线 的 距 离公 式 ， 可 得 |PQ|的 最 小 值 ，
41、 解 方 程 可 得 P 的 直 角 坐 标 .答 案 ： (1)曲 线 C 1的 参 数 方 程 为 x= 3x cosy sin ( 为 参 数 )，移 项 后 两 边 平 方 可 得 23x +y2=cos2 +sin2 =1，即 有 椭 圆 C1： 23x +y2=1；曲 线 C 2的 极 坐 标 方 程 为 sin( + 4 )=2 2，即 有 ( 22 sin + 22 cos )=2 2， 由 x= cos ， y= sin ， 可 得 x+y-4=0，即 有 C2的 直 角 坐 标 方 程 为 直 线 x+y-4=0；(2)由 题 意 可 得 当 直 线 x+y-4=0的 平
42、行 线 与 椭 圆 相 切 时 ，|PQ|取 得 最 值 .设 与 直 线 x+y-4=0平 行 的 直 线 方 程 为 x+y+t=0，联 立 2 2 03 3x y tx y 可 得 4x2+6tx+3t2-3=0，由 直 线 与 椭 圆 相 切 ， 可 得 =36t 2-16(3t2-3)=0，解 得 t= 2，显 然 t=-2 时 ， |PQ|取 得 最 小 值 ，即 有 |PQ|= 4 2 =1 21 ，此 时 4x 2-12x+9=0， 解 得 x=32 ，即 为 P(32 ， 12 ).选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 24. 已 知 函 数 f(x)=|2x-a|+a.(1
43、)当 a=2 时 ， 求 不 等 式 f(x) 6 的 解 集 ；(2)设 函 数 g(x)=|2x-1|， 当 x R时 ， f(x)+g(x) 3， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)当 a=2时 ， 由 已 知 得 |2x-2|+2 6， 由 此 能 求 出 不 等 式 f(x) 6 的 解 集 .(2)由 f(x)+g(x)=|2x-1|+|2x-a|+a 3， 得 |x-12 +|x- 2a | 32a ， 由 此 能 求 出 a 的 取 值 范围 . 答 案 ： (1)当 a=2时 ， f(x)=|2x-2|+2， f(x) 6， |2x-2|+2 6，|2x-2| 4， |x-1| 2， -2 x-1 2，解 得 -1 x 3， 不 等 式 f(x) 6 的 解 集 为 x|-1 x 3.(2) g(x)=|2x-1|， f(x)+g(x)=|2x-1|+|2x-a|+a 3，2|x-12 |+2|x- 2a |+a 3，|x-12 |+|x- 2a | 32a ，当 a 3 时 ， 成 立 ， 当 a 3 时 ， 12 |a-1| 32a 0， (a-1)2 (3-a)2，解 得 2 a 3， a 的 取 值 范 围 是 2， + ).
