1、2016 年 浙 江 省 衢 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 题 有 1 0 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 3 0 分 )1 .在 2 ， -1 ， -3 ， 0 这 四 个 实 数 中 ， 最 小 的 是 ( )A. 2B.-1C.-3D.0解 析 ： -3 -1 0 2 ， 最 小 的 实 数 是 -3 ，答 案 ： C.2 .据 统 计 ， 2 0 1 5 年 “ 十 一 ” 国 庆 长 假 期 间 ， 衢 州 市 共 接 待 国 内 外 游 客 约 3 1 9 万 人 次 ， 与2 0 1 4 年 同 比 增 长 1 6 .4 3 %， 数 据 3 1
2、 9 万 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.3 .1 9 1 0 5B.3 .1 9 1 0 6C.0 .3 1 9 1 0 7D.3 1 9 1 0 6解 析 ： 3 1 9 万 =3 1 9 0 0 0 0 =3 .1 9 1 0 6 .答 案 ： B.3 .如 图 ， 是 由 两 个 相 同 的 小 正 方 体 和 一 个 圆 锥 体 组 成 的 立 体 图 形 ， 其 俯 视 图 是 ( )A. B.C. D.解 析 ： 从 上 面 看 ， 圆 锥 看 见 的 是 ： 圆 和 点 ， 两 个 正 方 体 看 见 的 是 两 个 正 方 形 .答 案 ： C.4 .下 列 计
3、 算 正 确 的 是 ( )A.a3 -a2 =aB.a2 a3 =a6C.(3 a)3 =9 a3D.(a 2 )2 =a4解 析 ： A、 a3 ， a2 不 能 合 并 ， 故 A 错 误 ；B、 a2 a3 =a5 ， 故 B 错 误 ；C、 (3 a)3 =2 7 a3 ， 故 C 错 误 ；D、 (a2 )2 =a4 ， 故 D 正 确 .答 案 ： D.5 .如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， M 是 BC 延 长 线 上 的 一 点 ， 若 A=1 3 5 ， 则 MCD 的 度数 是 ( ) A.4 5 B.5 5 C.6 5 D.7 5 解 析 ： 四 边
4、 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， A= BCD=1 3 5 ， MCD=1 8 0 - DCB=1 8 0 -1 3 5 =4 5 .答 案 ： A.6 .在 某 校 “ 我 的 中 国 梦 ” 演 讲 比 赛 中 ， 有 7 名 学 生 参 加 决 赛 ， 他 们 决 赛 的 最 终 成 绩 各 不 相 同 ，其 中 一 名 学 生 想 要 知 道 自 己 能 否 进 入 前 3 名 ， 他 不 仅 要 了 解 自 己 的 成 绩 ， 还 要 了 解 这 7 名 学生 成 绩 的 ( )A.众 数 B.方 差C.平 均 数D.中 位 数解 析 ： 因 为 7 名 学 生 参 加 决
5、 赛 的 成 绩 肯 定 是 7 名 学 生 中 最 高 的 ， 而 且 7 个 不 同 的 分 数 按 从 小到 大 排 序 后 ， 中 位 数 之 后 的 共 有 3 个 数 ， 故 只 要 知 道 自 己 的 成 绩 和 中 位 数 就 可 以 知 道 是 否 进入 前 3 名 . 答 案 ： D.7 .二 次 函 数 y=ax2 +bx+c(a 0 )图 象 上 部 分 点 的 坐 标 (x， y)对 应 值 列 表 如 下 ：X -3 -2 -1 0 1 Y -3 -2 -3 -6 -1 1 则 该 函 数 图 象 的 对 称 轴 是 ( )A.直 线 x=-3B.直 线 x=-2C
6、.直 线 x=-1D.直 线 x=0解 析 ： x=-3 和 -1 时 的 函 数 值 都 是 -3 相 等 ， 二 次 函 数 的 对 称 轴 为 直 线 x=-2 . 答 案 ： B.8 .已 知 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2 -2 x-k=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 实 数 k的 取 值 范 围 是 ( )A.k 1B.k 1C.k -1D.k -1解 析 ： 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2 -2 x-k=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， =(-2 )2 +4 k 0 ，解 得 k -1 .答 案 ： D.9 .如 图 ，
7、 AB 是 O 的 直 径 ， C 是 O 上 的 点 ， 过 点 C 作 O 的 切 线 交 AB 的 延 长 线 于 点 E， 若 A=3 0 ， 则 sin E 的 值 为 ( )A. 12B. 22C. 32 D. 33解 析 ： 连 接 OC， CE 是 O 切 线 ， OC CE， A=3 0 ， BOC=2 A=6 0 ， E=9 0 - BOC=3 0 ， sin E=sin3 0 = 12 .答 案 ： A.1 0 .如 图 ， 在 ABC 中 ， AC=BC=2 5 ， AB=3 0 ， D 是 AB 上 的 一 点 (不 与 A、 B 重 合 )， DE BC， 垂足 是
8、 点 E， 设 BD=x， 四 边 形 ACED 的 周 长 为 y， 则 下 列 图 象 能 大 致 反 映 y 与 x 之 间 的 函 数 关系 的 是 ( ) A.B. C. D.解 析 ： 如 图 ， 作 CM AB 于 M. CA=CB， AB=3 0 ， CM AB， AM=BM=1 5 ， 2 2 20CM AC BM DE BC， DEB= CMB=9 0 ， B= B， DEB CMB， BD DE EBBC CM BM ， 25 20 15x DE EB ， 345 5DE x EB x ， ， 四 边 形 ACED 的 周 长 为 3 4 425 25 30 805 5
9、5y x x x x （ ） . 0 x 3 0 ， 图 象 是 D.答 案 ： D. 二 、 填 空 题 (本 题 有 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 2 4 分 )1 1 .当 x=6 时 ， 分 式 51 x 的 值 等 于 .解 析 ： 当 x=6 时 ， 5 5 11 1 6x .答 案 ： -1 .1 2 .二 次 根 式 3x 中 字 母 x 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 当 x-3 0 时 ， 二 次 根 式 3x 有 意 义 ， 则 x 3 ；答 案 ： x 3 .1 3 .某 中 学 随 机 地 调 查 了 5 0 名 学 生 ， 了 解 他 们 一 周
10、 在 校 的 体 育 锻 炼 时 间 ， 结 果 如 下 表 所 示 ：时 间 (小 时 ) 5 6 7 8人 数 1 0 1 5 2 0 5则 这 5 0 名 学 生 这 一 周 在 校 的 平 均 体 育 锻 炼 时 间 是 小 时 .解 析 ： 5 10 6 15 7 20 8 5 6.450 .答 案 ： 6 .4 .1 4 .已 知 直 角 坐 标 系 内 有 四 个 点 O(0 ， 0 )， A(3 ， 0 )， B(1 ， 1 )， C(x， 1 )， 若 以 O， A， B， C 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 则 x= .解 析 ： 根 据 题 意 画
11、 图 如 下 ：以 O， A， B， C 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 则 C(4 ， 1 )或 (-2 ， 1 )，则 x=4 或 -2 ； 答 案 ： 4 或 -2 .1 5 .某 农 场 拟 建 三 间 长 方 形 种 牛 饲 养 室 ， 饲 养 室 的 一 面 靠 墙 (墙 长 5 0 m)， 中 间 用 两 道 墙 隔 开 (如图 ).已 知 计 划 中 的 建 筑 材 料 可 建 墙 的 总 长 度 为 4 8 m， 则 这 三 间 长 方 形 种 牛 饲 养 室 的 总 占 地 面积 的 最 大 值 为 m2 .解 析 ： 如 图 ， 设 设 总 占 地
12、 面 积 为 S(m 2 )， CD 的 长 度 为 x(m)，由 题 意 知 ： AB=CD=EF=GH=x， BH=4 8 -4 x， 0 BH 5 0 ， CD 0 ， 0 x 1 2 ， S=AB BH=x(4 8 -4 x)=-4 (x-6 )2 +1 4 4 x=6 时 ， S 可 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 S=1 4 4 .1 6 .如 图 ， 正 方 形 ABCD 的 顶 点 A， B 在 函 数 ky x (x 0 )的 图 象 上 ， 点 C， D 分 别 在 x 轴 ， y轴 的 正 半 轴 上 ， 当 k 的 值 改 变 时 ， 正 方 形 ABCD 的
13、大 小 也 随 之 改 变 . (1 )当 k=2 时 ， 正 方 形 A B C D 的 边 长 等 于 .(2 )当 变 化 的 正 方 形 ABCD与 (1 )中 的 正 方 形 A B C D 有 重 叠 部 分 时 ， k的 取 值 范 围 是 .解 析 ： (1 )如 图 ， 过 点 A 作 AE y 轴 于 点 E， 过 点 B x 轴 于 点 F， 则 A ED =9 0 . 四 边 形 A B C D 为 正 方 形 ， A D =D C ， A D C =9 0 ， OD C + ED A =9 0 . OD C + OC D =9 0 ， ED A = OC D .在 A
14、 ED 和 D OC 中 ，90ED A OC DAED DOCAD DC ， A ED D OC (AAS). OD =EA ， OC =ED .同 理 B FC C OD .设 OD =a， OC =b， 则 EA =FC =OD =a， ED =FB =OC =b， 即 点 A (a， a+b)， 点 B (a+b， b). 点 A 、 B 在 反 比 例 函 数 2y x 的 图 象 上 ， 22a a bb a b ， 解 得 ： 11ab 或 11ab - - (舍 去 ).在 Rt C OD 中 ， C OD =9 0 ， OD =OC =1 ， 2 2 2C D OC OD .
15、答 案 ： 2 .(2 )设 直 线 A B 解 析 式 为 y=k1 x+b1 ， 直 线 C D 解 析 式 为 y=k 2 +b2 ， 点 A (1 ， 2 )， 点 B (2 ， 1 )， 点 C (1 ， 0 )， 点 D (0 ， 1 )， 有 1 11 121 2k bk b 和 2 2201 k bb ，解 得 ： 11 13kb 和 22 11kb . 直 线 A B 解 析 式 为 y=-x+3 ， 直 线 C D 解 析 式 为 y=-x+1 .设 点 A 的 坐 标 为 (m， 2 m)， 点 D 坐 标 为 (0 ， n).当 A 点 在 直 线 C D 上 时 ，
16、有 2 m=-m+1 ， 解 得 ： m= 13 ， 此 时 点 A 的 坐 标 为 ( 1 23 3， )， 1 2 93 23k ；当 点 D 在 直 线 A B 上 时 ， 有 n=3 ，此 时 点 A 的 坐 标 为 (3 ， 6 )， k=3 6 =1 8 .综 上 可 知 ： 当 变 化 的 正 方 形 ABCD 与 (1 )中 的 正 方 形 A B C D 有 重 叠 部 分 时 ， k 的 取 值范 围 为 29 x 1 8 .故 答 案 为 ： 29 x 1 8 . 三 、 解 答 题 (本 题 有 8 小 题 ， 第 1 7 -1 9 小 题 每 小 题 6 分 ， 第
17、2 0 -2 1 小 题 每 小 题 9 分 ， 第 2 2 -2 3小 题 每 小 题 9 分 ， 第 2 4 小 题 1 2 分 ， 共 6 6 分 ， 请 务 必 写 出 解 答 过 程 )1 7 .计 算 ： 2 03 9 1 12 （ ） （ ） .解 析 ： 根 据 绝 对 值 和 算 术 平 方 根 、 乘 方 以 及 零 指 数 幂 的 定 义 进 行 计 算 ， 即 可 得 出 结 果 .答 案 ： 2 03 9 1 12 （ ） （ ） =3 +3 -1 +1=6 .1 8 .如 图 ， 已 知 BD 是 矩 形 ABCD 的 对 角 线 .(1 )用 直 尺 和 圆 规
18、作 线 段 BD 的 垂 直 平 分 线 ， 分 别 交 AD、 BC 于 E、 F(保 留 作 图 痕 迹 ， 不 写 作 法和 证 明 ).(2 )连 结 BE， DF， 问 四 边 形 BEDF 是 什 么 四 边 形 ？ 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1 )分 别 以 B、 D 为 圆 心 ， 比 BD 的 一 半 长 为 半 径 画 弧 ， 交 于 两 点 ， 确 定 出 垂 直 平 分 线 即 可 ；(2 )连 接 BE， DF， 四 边 形 BEDF 为 菱 形 ， 理 由 为 ： 由 EF 垂 直 平 分 BD， 得 到 BE=DE， DEF= BEF， 再 由 AD 与
19、 BC 平 行 ， 得 到 一 对 内 错 角 相 等 ， 等 量 代 换 及 等 角 对 等 边 得 到 BE=BF， 再由 BF=DF， 等 量 代 换 得 到 四 条 边 相 等 ， 即 可 得 证 .答 案 ： (1 )如 图 所 示 ， EF 为 所 求 直 线 ； (2 )四 边 形 BEDF 为 菱 形 ， 理 由 为 ：证 明 ： EF 垂 直 平 分 BD， BE=DE， DEF= BEF， AD BC， DEF= BFE， BEF= BFE， BE=BF， BF=DF， BE=ED=DF=BF， 四 边 形 BEDF 为 菱 形 .1 9 .光 伏 发 电 惠 民 生 ，
20、据 衢 州 晚 报 载 ， 某 家 庭 投 资 4 万 元 资 金 建 造 屋 顶 光 伏 发 电 站 ， 遇 到 晴天 平 均 每 天 可 发 电 3 0 度 ， 其 它 天 气 平 均 每 天 可 发 电 5 度 ， 已 知 某 月 (按 3 0 天 计 )共 发 电 5 5 0 度 .(1 )求 这 个 月 晴 天 的 天 数 .(2 )已 知 该 家 庭 每 月 平 均 用 电 量 为 1 5 0 度 ， 若 按 每 月 发 电 5 5 0 度 计 ， 至 少 需 要 几 年 才 能 收 回成 本 (不 计 其 它 费 用 ， 结 果 取 整 数 ).解 析 ： (1 )设 这 个 月
21、 有 x 天 晴 天 ， 根 据 总 电 量 5 5 0 度 列 出 方 程 即 可 解 决 问 题 . (2 )需 要 y 年 才 可 以 收 回 成 本 ， 根 据 电 费 4 0 0 0 0 ， 列 出 不 等 式 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (1 )设 这 个 月 有 x 天 晴 天 ， 由 题 意 得3 0 x+5 (3 0 -x)=5 5 0 ，解 得 x=1 6 ，故 这 个 月 有 1 6 个 晴 天 .(2 )需 要 y 年 才 可 以 收 回 成 本 ， 由 题 意 得(5 5 0 -1 5 0 ) (0 .5 2 +0 .4 5 ) 1 2 y 4 0 0 0
22、0 ，解 得 y 8 .6 ， y 是 整 数 ， 至 少 需 要 9 年 才 能 收 回 成 本 .2 0 .为 深 化 义 务 教 育 课 程 改 革 ， 满 足 学 生 的 个 性 化 学 习 需 求 ， 某 校 就 “ 学 生 对 知 识 拓 展 ， 体育 特 长 、 艺 术 特 长 和 实 践 活 动 四 类 选 课 意 向 ” 进 行 了 抽 样 调 查 (每 人 选 报 一 类 )， 绘 制 了 如 图 所 示 的 两 幅 统 计 图 (不 完 整 )， 请 根 据 图 中 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1 )求 扇 形 统 计 图 中 m 的 值 ， 并 补 全 条
23、形 统 计 图 ；(2 )在 被 调 查 的 学 生 中 ， 随 机 抽 一 人 ， 抽 到 选 “ 体 育 特 长 类 ” 或 “ 艺 术 特 长 类 ” 的 学 生 的 概率 是 多 少 ？(3 )已 知 该 校 有 8 0 0 名 学 生 ， 计 划 开 设 “ 实 践 活 动 类 ” 课 程 每 班 安 排 2 0 人 ， 问 学 校 开 设 多 少 个 “ 实 践 活 动 类 ” 课 程 的 班 级 比 较 合 理 ？解 析 ： (1 )根 据 C 类 人 数 有 1 5 人 ， 占 总 人 数 的 2 5 %可 得 出 总 人 数 ， 求 出 A 类 人 数 ， 进 而 可 得出
24、结 论 ；(2 )直 接 根 据 概 率 公 式 可 得 出 结 论 ；(3 )求 出 “ 实 践 活 动 类 ” 的 总 人 数 ， 进 而 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1 )总 人 数 =1 5 2 5 %=6 0 (人 ).A 类 人 数 =6 0 -2 4 -1 5 -9 =1 2 (人 ). 1 2 6 0 =0 .2 =2 0 %， m=2 0 .条 形 统 计 图 如 图 ； (2 )抽 到 选 “ 体 育 特 长 类 ” 或 “ 艺 术 特 长 类 ” 的 学 生 的 概 率 = 24 3 1160 20 ；(3 ) 8 0 0 2 5 %=2 0 0 ， 2 0 0
25、2 0 =1 0 ， 开 设 1 0 个 “ 实 验 活 动 类 ” 课 程 的 班 级 数 比 较 合 理 .2 1 .如 图 ， AB 为 O 的 直 径 ， 弦 CD AB， 垂 足 为 点 P， 直 线 BF 与 AD 的 延 长 线 交 于 点 F， 且 AFB= ABC. (1 )求 证 ： 直 线 BF 是 O 的 切 线 .(2 )若 CD=2 3 ， OP=1 ， 求 线 段 BF 的 长 .解 析 ： (1 )欲 证 明 直 线 BF 是 O 的 切 线 ， 只 要 证 明 AB BF 即 可 .(2 )连 接 OD， 在 RT ODE 中 ， 利 用 勾 股 定 理 求
26、出 由 APD ABF， AP PDAB BF ， 由 此 即 可解 决 问 题 .答 案 ： (1 )证 明 ： AFB= ABC， ABC= ADC， AFB= ADC， CD BF， AFD= ABF， CD AB， AB BF， 直 线 BF 是 O 的 切 线 .(2 )解 ： 连 接 OD， CD AB， 12 3PD CD ， OP=1 ， OD=2 ， PAD= BAF， APO= ABF， APD ABF， AP PDAB BF ， 334 BF ， 4 33BF .2 2 .已 知 二 次 函 数 y=x2 +x 的 图 象 ， 如 图 所 示 (1 )根 据 方 程 的
27、根 与 函 数 图 象 之 间 的 关 系 ， 将 方 程 x2 +x=1 的 根 在 图 上 近 似 地 表 示 出 来 (描 点 )，并 观 察 图 象 ， 写 出 方 程 x2 +x=1 的 根 (精 确 到 0 .1 ).(2 )在 同 一 直 角 坐 标 系 中 画 出 一 次 函 数 3212y x 的 图 象 ， 观 察 图 象 写 出 自 变 量 x 取 值 在 什么 范 围 时 ， 一 次 函 数 的 值 小 于 二 次 函 数 的 值 .(3 )如 图 ， 点 P 是 坐 标 平 面 上 的 一 点 ， 并 在 网 格 的 格 点 上 ， 请 选 择 一 种 适 当 的 平
28、 移 方 法 ， 使平 移 后 二 次 函 数 图 象 的 顶 点 落 在 P 点 上 ， 写 出 平 移 后 二 次 函 数 图 象 的 函 数 表 达 式 ， 并 判 断 点P 是 否 在 函 数 3212y x 的 图 象 上 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1 )令 y=0 求 得 抛 物 线 与 x 的 交 点 坐 标 ， 从 而 可 确 定 出 1 个 单 位 长 度 等 于 小 正 方 形 边 长的 4 倍 ， 接 下 来 作 直 线 y=1 ， 找 出 直 线 y=1 与 抛 物 线 的 交 点 ， 直 线 与 抛 物 线 的 交 点 的 横 坐 标即 可 方 程 的
29、解 ； (2 )先 求 得 直 线 上 任 意 两 点 的 坐 标 ， 然 后 画 出 过 这 两 点 的 直 线 即 可 得 到 直 线 3212y x 的 函数 图 象 ， 然 后 找 出 一 次 函 数 图 象 位 于 直 线 下 方 部 分 x 的 取 值 范 围 即 可 ；(3 )先 依 据 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 和 点 P 的 坐 标 ， 确 定 出 抛 物 线 移 动 的 方 向 和 距 离 ， 然 后 依 据 抛物 线 的 顶 点 式 写 出 抛 物 线 的 解 析 式 即 可 ， 将 点 P 的 坐 标 代 入 函 数 解 析 式 ， 如 果 点 P 的 坐 标 符
30、合 函 数 解 析 式 ， 则 点 P 在 直 线 上 ， 否 则 点 P 不 在 直 线 上 .答 案 ： (1 ) 令 y=0 得 ： x2 +x=0 ， 解 得 ： x1 =0 ， x2 =-1 ， 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 (0 ， 0 )， (-1 ， 0 ).作 直 线 y=1 ， 交 抛 物 线 与 A、 B 两 点 ， 分 别 过 A、 B 两 点 ， 作 AC x 轴 ， 垂 足 为 C， BD x 轴 ，垂 足 为 D， 点 C 和 点 D 的 横 坐 标 即 为 方 程 的 根 . 根 据 图 形 可 知 方 程 的 解 为 x1 -1 .6 ， x
31、2 0 .6 .(2 ) 将 x=0 代 入 3212y x 得 32y ， 将 x=1 代 入 得 ： y=2 ， 直 线 3212y x 经 过 点 (0 ， 32 )， (1 ， 2 ).直 线 3212y x 的 图 象 如 图 所 示 ： 由 函 数 图 象 可 知 ： 当 x -1 .5 或 x 1 时 ， 一 次 函 数 的 值 小 于 二 次 函 数 的 值 .(3 )先 向 上 平 移 54 个 单 位 ， 再 向 左 平 移 12 个 单 位 ， 平 移 后 的 顶 点 坐 标 为 P(-1 ， 1 ).平 移 后 的 表 达 式 为 y=(x+1 )2 +1 ， 即 y=
32、x2 +2 x+2 .点 P 在 3212y x 的 函 数 图 象 上 .理 由 ： 把 x=-1 代 入 得 y=1 ， 点 P 的 坐 标 符 合 直 线 的 解 析 式 . 点 P 在 直 线 3212y x 的 函 数 图 象 上 .2 3 .如 图 1 ， 我 们 把 对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 叫 做 垂 美 四 边 形 . (1 )概 念 理 解 ： 如 图 2 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB=AD， CB=CD， 问 四 边 形 ABCD 是 垂 美 四 边 形 吗 ？请 说 明 理 由 .(2 )性 质 探 究 ： 试 探 索 垂 美 四 边 形
33、 ABCD 两 组 对 边 AB， CD 与 BC， AD 之 间 的 数 量 关 系 .猜 想 结 论 ： (要 求 用 文 字 语 言 叙 述 )写 出 证 明 过 程 (先 画 出 图 形 ， 写 出 已 知 、 求 证 ).(3 )问 题 解 决 ： 如 图 3 ， 分 别 以 Rt ACB 的 直 角 边 AC 和 斜 边 AB 为 边 向 外 作 正 方 形 ACFG 和 正方 形 ABDE， 连 接 CE， BG， GE， 已 知 AC=4 ， AB=5 ， 求 GE 长 . 解 析 ： (1 )根 据 垂 直 平 分 线 的 判 定 定 理 证 明 即 可 ；(2 )根 据 垂
34、 直 的 定 义 和 勾 股 定 理 解 答 即 可 ；(3 )根 据 垂 美 四 边 形 的 性 质 、 勾 股 定 理 、 结 合 (2 )的 结 论 计 算 .答 案 ： (1 )四 边 形 ABCD 是 垂 美 四 边 形 .证 明 ： AB=AD， 点 A 在 线 段 BD 的 垂 直 平 分 线 上 ， CB=CD， 点 C 在 线 段 BD 的 垂 直 平 分 线 上 ， 直 线 AC 是 线 段 BD 的 垂 直 平 分 线 ， AC BD， 即 四 边 形 ABCD 是 垂 美 四 边 形 ；(2 )猜 想 结 论 ： 垂 美 四 边 形 的 两 组 对 边 的 平 方 和
35、相 等 .如 图 2 ， 已 知 四 边 形 ABCD 中 ， AC BD， 垂 足 为 E， 求 证 ： AD2 +BC2 =AB2 +CD2证 明 ： AC BD， AED= AEB= BEC= CED=9 0 ，由 勾 股 定 理 得 ， AD2 +BC2 =AE2 +DE2 +BE2 +CE2 ，AB2 +CD2 =AE2 +BE2 +CE2 +DE2 ， AD2 +BC2 =AB2 +CD2 ；(3 )连 接 CG、 BE， CAG= BAE=9 0 ， CAG+ BAC= BAE+ BAC， 即 GAB= CAE，在 GAB 和 CAE 中 ，AG ACGAB CAEAB AE ，
36、 GAB CAE， ABG= AEC， 又 AEC+ AME=9 0 ， ABG+ AME=9 0 ， 即 CE BG， 四 边 形 CGEB 是 垂 美 四 边 形 ，由 (2 )得 ， CG 2 +BE2 =CB2 +GE2 ， AC=4 ， AB=5 ， BC=3 ， 4 2 5 2CG BE ， ， GE2 =CG2 +BE2 -CB2 =7 3 ， GE= 73 .2 4 .如 图 1 ， 在 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 直 线 l： y=kx+b 交 x 轴 ， y 轴 于 点 E， F， 点 B 的 坐 标 是 (2 ，2 )， 过 点 B 分 别 作 x 轴 、 y 轴
37、 的 垂 线 ， 垂 足 为 A、 C， 点 D 是 线 段 CO 上 的 动 点 ， 以 BD 为 对称 轴 ， 作 与 BCD 或 轴 对 称 的 BC D. (1 )当 CBD=1 5 时 ， 求 点 C 的 坐 标 .(2 )当 图 1 中 的 直 线 l 经 过 点 A， 且 k= 33 时 (如 图 2 )， 求 点 D 由 C 到 O 的 运 动 过 程 中 ， 线段 BC 扫 过 的 图 形 与 OAF 重 叠 部 分 的 面 积 .(3 )当 图 1 中 的 直 线 l 经 过 点 D， C 时 (如 图 3 )， 以 DE 为 对 称 轴 ， 作 于 DOE 或 轴 对 称
38、 的 DO E， 连 结 O C， O O， 问 是 否 存 在 点 D， 使 得 DO E 与 CO O 相 似 ？ 若 存 在 ， 求出 k、 b 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1 )利 用 翻 折 变 换 的 性 质 得 出 CBD= C BD=1 5 ， C B=CB=2 ， 进 而 得 出 CH 的 长 ，进 而 得 出 答 案 ；(2 )首 先 求 出 直 线 AF 的 解 析 式 ， 进 而 得 出 当 D 与 O 重 合 时 ， 点 C 与 A 重 合 ， 且 BC 扫 过的 图 形 与 OAF 重 合 部 分 是 弓 形 ， 求 出 即
39、 可 ；(3 )根 据 题 意 得 出 DO E 与 COO 相 似 ， 则 COO 必 是 Rt ， 进 而 得 出 Rt BAE RtBC E(HL)， 再 利 用 勾 股 定 理 求 出 EO 的 长 进 而 得 出 答 案 .答 案 ： (1 ) CBD C BD， CBD= C BD=1 5 ， C B=CB=2 ， CBC =3 0 ，如 图 1 ， 作 C H BC 于 H， 则 C H=1 ， HB= 3 ， CH=2 - 3 ， 点 C 的 坐 标 为 ： (2 - 3 ， 1 )；(2 )如 图 2 ， A(2 ， 0 )， k= 33 ， 代 入 直 线 AF 的 解 析
40、 式 为 ： y= 33 x+b， b= 2 33 ，则 直 线 AF 的 解 析 式 为 ： 3 2 33 3y x ， OAF=3 0 ， BAF=6 0 ， 在 点 D 由 C 到 O 的 运 动 过 程 中 ， BC 扫 过 的 图 形 是 扇 形 ， 当 D 与 O 重 合 时 ， 点 C 与 A 重 合 ，且 BC 扫 过 的 图 形 与 OAF 重 合 部 分 是 弓 形 ，当 C 在 直 线 3 2 33 3y x 上 时 ， BC =BC=AB， ABC 是 等 边 三 角 形 ， 这 时 ABC =6 0 ， 重 叠 部 分 的 面 积 是 ： 2 2360 2 2 336
41、0 4 23 ； (3 )如 图 3 ， 设 OO 与 DE 交 于 点 M， 则 O M=OM， OO DE，若 DO E 与 COO 相 似 ， 则 COO 必 是 Rt ，在 点 D 由 C 到 O 的 运 动 过 程 中 ， COO 中 显 然 只 能 CO O=9 0 ， CO DE， CD=OD=1 ， b=1 ，连 接 BE， 由 轴 对 称 性 可 知 C D=CD， BC =BC=BA， BC E= BCD= BAE=9 0 ，在 Rt BAE 和 Rt BC E 中 BE BEAB BC ， Rt BAE Rt BC E(HL)， AE=C E， DE=DC +C E=DC+AE，设 OE=x， 则 AE=2 -x， DE=DC+AE=3 -x，由 勾 股 定 理 得 ： x 2 +1 =(3 -x)2 ，解 得 ： x= 43 ， D(0 ， 1 )， E( 43 ， 0 )， 43 k+1 =0 ，解 得 ： k=- 34 ， 存 在 点 D， 使 DO E 与 COO 相 似 ， 这 时 k=- 34 ， b=1 .
