1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 北 京 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题1.已 知 全 集 U=R， 集 合 A=x|x -2或 x 2， 则 UA=( )A.(-2， 2)B.(- ， -2) (2， + )C.-2， 2D.(- ， -2 2， + )解 析 ： 集 合 A=x|x -2或 x 2=(- ， -2) (2， + )， 全 集 U=R， UA=-2， 2.答 案 ： C.2.若 复 数 (1-i)(a+i)在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 二 象 限 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， 1)B.
2、(- ， -1)C.(1， + )D.(-1， + )解 析 ： 复 数 (1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 二 象 限 ， 可 得 1 01 0a a ， 解得 a 范 围 .答 案 ： B. 3.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S值 为 ( ) A.2B. 32C. 53D. 85 解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 框 图 可 知 ： 该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 S 的 值 ， 模拟 程 序 的 运 行 过 程 ， 分 析 循 环 中 各 变 量 值 的
3、 变 化 情 况 ， 可 得 答 案 .答 案 ： C.4.若 x， y 满 足 3 2xx yy x ， 则 x+2y 的 最 大 值 为 ( )A.1B.3C.5D.9解 析 ： 画 出 约 束 条 件 的 可 行 域 ， 利 用 目 标 函 数 的 最 优 解 求 解 目 标 函 数 的 最 值 即 可 . 答 案 ： D.5.已 知 函 数 f(x)=3x-(13 )x， 则 f(x)( )A.是 偶 函 数 ， 且 在 R上 是 增 函 数B.是 奇 函 数 ， 且 在 R上 是 增 函 数C.是 偶 函 数 ， 且 在 R上 是 减 函 数D.是 奇 函 数 ， 且 在 R上 是
4、减 函 数解 析 ： 由 已 知 得 f(-x)=-f(x)， 即 函 数 f(x)为 奇 函 数 ， 由 函 数 y=3 x为 增 函 数 ， y=(13 )x为 减函 数 ， 结 合 “ 增 ” -“ 减 ” =“ 增 ” 可 得 答 案 .答 案 ： B.6.某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 为 ( ) A.60B.30C.20D.10 解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ： 该 几 何 体 为 三 棱 锥 ， 如 图 所 示 .答 案 ： D.7.设 m ， n 为 非 零 向 量 ， 则 “ 存 在 负 数 ， 使 得 m = n ”
5、 是 “ m n 0” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： m ， n 为 非 零 向 量 ， 存 在 负 数 ， 使 得 m = n ， 则 向 量 m ， n 共 线 且 方 向 相 反 ， 可得 m n 0.反 之 不 成 立 ， 非 零 向 量 m ， n 的 夹 角 为 钝 角 ， 满 足 m n 0， 而 m = n 不成 立 .即 可 判 断 出 结 论 .答 案 ： A.8.根 据 有 关 资 料 ， 围 棋 状 态 空 间 复 杂 度 的 上 限 M约
6、为 3 361， 而 可 观 测 宇 宙 中 普 通 物 质 的 原 子总 数 N约 为 1080， 则 下 列 各 数 中 与 MN 最 接 近 的 是 ( )(参 考 数 据 ： lg3 0.48)A.1033B.1053C.1073D.10 93解 析 ： 根 据 对 数 的 性 质 ： alog TT a ， 可 得 ： 3=10lg3 100.48， 代 入 M 将 M也 化 为 10 为 底 的 指数 形 式 ， 进 而 可 得 结 果 .答 案 ： D.二 、 填 空 题9.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 角 与 角 均 以 Ox 为 始 边 ， 它 们 的 终 边
7、 关 于 y 轴 对 称 ， 若 sin = 13 ， 则 sin =_.解 析 ： 推 导 出 + = +2k ， k Z， 从 而 sin =sin( +2k - )=sin ， 由 此 能 求 出 结果 . 答 案 ： 13 . 10.若 双 曲 线 22 yx m =1的 离 心 率 为 3 ， 则 实 数 m=_.解 析 ： 利 用 双 曲 线 的 离 心 率 ， 列 出 方 程 求 和 求 解 m 即 可 .答 案 ： 2.11.已 知 x 0， y 0， 且 x+y=1， 则 x2+y2的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 利 用 已 知 条 件 转 化 所 求 表 达 式 ，
8、 通 过 二 次 函 数 的 性 质 求 解 即 可 .答 案 ： 12 ， 1.12.已 知 点 P 在 圆 x 2+y2=1 上 ， 点 A 的 坐 标 为 (-2， 0)， O 为 原 点 ， 则 AO AP 的 最 大 值 为_.解 析 ： 设 P(cos ， sin ).可 得 AO =(2， 0)， AP =(cos +2， sin ).利 用 数 量 积 运 算 性质 、 三 角 函 数 的 单 调 性 与 值 域 即 可 得 出 .答 案 ： 6.13.能 够 说 明 “ 设 a， b， c 是 任 意 实 数 .若 a b c， 则 a+b c” 是 假 命 题 的 一 组
9、整 数 a， b，c的 值 依 次 为 _.解 析 ： 设 a， b， c 是 任 意 实 数 .若 a b c， 则 a+b c” 是 假 命 题 ， 则 若 a b c， 则 a+b c” 是 真 命 题 ， 举 例 即 可 ， 本 题 答 案 不 唯 一 .答 案 ： -1， -2， -3. 14.某 学 习 小 组 由 学 生 和 教 师 组 成 ， 人 员 构 成 同 时 满 足 以 下 三 个 条 件 ：(i)男 学 生 人 数 多 于 女 学 生 人 数 ；(ii)女 学 生 人 数 多 于 教 师 人 数 ；(iii)教 师 人 数 的 两 倍 多 于 男 学 生 人 数 .
10、若 教 师 人 数 为 4， 则 女 学 生 人 数 的 最 大 值 为 _. 该 小 组 人 数 的 最 小 值 为 _.解 析 ： 设 男 学 生 女 学 生 分 别 为 x， y 人 ， 若 教 师 人 数 为 4， 则 42 4x yy x ， 进 而 可 得 答 案 ； 设 男 学 生 女 学 生 分 别 为 x， y 人 ， 教 师 人 数 为 z， 则 2x yy zz x ， 进 而 可 得 答 案 . 答 案 ： 6， 12.三 、 解 答 题15.已 知 等 差 数 列 an和 等 比 数 列 bn满 足 a1=b1=1， a2+a4=10， b2b4=a5. ( )求 a
11、n的 通 项 公 式 ；( )求 和 ： b1+b3+b5+ +b2n-1.解 析 ： ( )利 用 已 知 条 件 求 出 等 差 数 列 的 公 差 ， 然 后 求 an的 通 项 公 式 ；( )利 用 已 知 条 件 求 出 公 比 ， 然 后 求 解 数 列 的 和 即 可 .答 案 ： ( )等 差 数 列 an， a1=1， a2+a4=10， 可 得 ： 1+d+1+3d=10， 解 得 d=2，所 以 an的 通 项 公 式 ： an=1+(n-1) 2=2n-1.( )由 ( )可 得 a5=a1+4d=9，等 比 数 列 b n满 足 b1=1， b2b4=9.可 得 b
12、3=3， 或 -3(舍 去 )(等 比 数 列 奇 数 项 符 号 相 同 ). q2=3，b2n-1是 等 比 数 列 ， 公 比 为 3， 首 项 为 1.b1+b3+b5+ +b2n-1= 221 1 3 11 2n nqq .16.已 知 函 数 f(x)= 3 cos(2x- 3 )-2sinxcosx.( )求 f(x)的 最 小 正 周 期 ；( )求 证 ： 当 x - 4 ， 4 时 ， f(x) - 12 . 解 析 ： ( )根 据 两 角 差 的 余 弦 公 式 和 两 角 和 正 弦 公 式 即 可 求 出 f(x)sin(2x+ 3 )， 根 据 周 期的 定 义
13、即 可 求 出 ，( )根 据 正 弦 函 数 的 图 象 和 性 质 即 可 证 明 .答 案 ：( )f(x)= 3 cos(2x- 3 )-2sinxcosx= 3 ( 12 cos2x+ 32 sin2x)-sin2x= 32 cos2x+ 12 sin2x=sin(2x+ 3 )， T= 22 = ， f(x)的 最 小 正 周 期 为 ， ( ) x - 4 ， 4 ， 2x+ 3 - 6 ， 56 ， - 12 sin(2x+ 3 ) 1， f(x) - 12 .17.某 大 学 艺 术 专 业 400名 学 生 参 加 某 次 测 评 ， 根 据 男 女 学 生 人 数 比 例
14、 ， 使 用 分 层 抽 样 的 方法 从 中 随 机 抽 取 了 100名 学 生 ， 记 录 他 们 的 分 数 ， 将 数 据 分 成 7 组 ： 20， 30)， 30， 40)， 80， 90， 并 整 理 得 到 如 下 频 率 分 布 直 方 图 ： ( )从 总 体 的 400名 学 生 中 随 机 抽 取 一 人 ， 估 计 其 分 数 小 于 70的 概 率 ；( )已 知 样 本 中 分 数 小 于 40 的 学 生 有 5 人 ， 试 估 计 总 体 中 分 数 在 区 间 40， 50)内 的 人 数 ；( )已 知 样 本 中 有 一 半 男 生 的 分 数 不 小
15、 于 70， 且 样 本 中 分 数 不 小 于 70 的 男 女 生 人 数 相 等 .试 估 计 总 体 中 男 生 和 女 生 人 数 的 比 例 .解 析 ： ( )根 据 频 率 =组 距 高 ， 可 得 分 数 小 于 70 的 概 率 为 ： 1-(0.04+0.02) 10；( )先 计 算 样 本 中 分 数 小 于 40 的 频 率 ， 进 而 计 算 分 数 在 区 间 40， 50)内 的 频 率 ， 可 估 计 总体 中 分 数 在 区 间 40， 50)内 的 人 数 ；( )已 知 样 本 中 有 一 半 男 生 的 分 数 不 小 于 70， 且 样 本 中 分
16、 数 不 小 于 70 的 男 女 生 人 数 相 等 .进 而 得 到 答 案 .答 案 ： ( )由 频 率 分 布 直 方 图 知 ： 分 数 小 于 70 的 频 率 为 ： 1-(0.04+0.02) 10=0.4故 从 总 体 的 400名 学 生 中 随 机 抽 取 一 人 ， 估 计 其 分 数 小 于 70 的 概 率 为 0.4；( )已 知 样 本 中 分 数 小 于 40 的 学 生 有 5 人 ，故 样 本 中 分 数 小 于 40的 频 率 为 ： 0.05， 则 分 数 在 区 间 40， 50)内 的 频 率 为 ： 1-(0.04+0.02+0.02+0.01
17、) 10-0.05=0.05，估 计 总 体 中 分 数 在 区 间 40， 50)内 的 人 数 为 400 0.05=20人 ，( )样 本 中 分 数 不 小 于 70的 频 率 为 ： 0.6，由 于 样 本 中 分 数 不 小 于 70的 男 女 生 人 数 相 等 .故 分 数 不 小 于 70的 男 生 的 频 率 为 ： 0.3，由 样 本 中 有 一 半 男 生 的 分 数 不 小 于 70，故 男 生 的 频 率 为 ： 0.6，即 女 生 的 频 率 为 ： 0.4，即 总 体 中 男 生 和 女 生 人 数 的 比 例 约 为 ： 3： 2.18.如 图 ， 在 三 棱
18、 锥 P-ABC 中 ， PA AB， PA BC， AB BC， PA=AB=BC=2， D为 线 段 AC 的 中 点 ，E为 线 段 PC上 一 点 . (1)求 证 ： PA BD； (2)求 证 ： 平 面 BDE 平 面 PAC；(3)当 PA 平 面 BDE时 ， 求 三 棱 锥 E-BCD 的 体 积 .解 析 ： (1)运 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 PA 平 面 ABC， 再 由 性 质 定 理 即 可 得 证 ；(2)要 证 平 面 BDE 平 面 PAC， 可 证 BD 平 面 PAC， 由 (1)运 用 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得
19、平 面PAC 平 面 ABC， 再 由 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 BD AC， 运 用 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 ， 即 可 得 证 ；(3)由 线 面 平 行 的 性 质 定 理 可 得 PA DE， 运 用 中 位 线 定 理 ， 可 得 DE的 长 ， 以 及 DE 平 面 ABC，求 得 三 角 形 BCD的 面 积 ， 运 用 三 棱 锥 的 体 积 公 式 计 算 即 可 得 到 所 求 值 .答 案 ： (1)证 明 ： 由 PA AB， PA BC，AB平 面 ABC， BC平 面 ABC， 且 AB BC=B，可 得 PA 平 面 ABC，由 BD平
20、面 ABC，可 得 PA BD；(2)证 明 ： 由 AB=BC， D 为 线 段 AC 的 中 点 ， 可 得 BD AC，由 PA 平 面 ABC， PA平 面 PAC，可 得 平 面 PAC 平 面 ABC，又 平 面 ABC 平 面 ABC=AC，BD平 面 ABC， 且 BD AC，即 有 BD 平 面 PAC，BD平 面 BDE，可 得 平 面 BDE 平 面 PAC；(3)PA 平 面 BDE， PA平 面 PAC，且 平 面 PAC 平 面 BDE=DE，可 得 PA DE，又 D 为 AC 的 中 点 ， 可 得 E为 PC的 中 点 ， 且 DE= 12 PA=1，由 PA
21、 平 面 ABC，可 得 DE 平 面 ABC，可 得 S BDC= 12 S ABC= 12 12 2 2=1，则 三 棱 锥 E-BCD的 体 积 为 13 DE S BDC= 13 1 1= 13 .19.已 知 椭 圆 C 的 两 个 顶 点 分 别 为 A(-2， 0)， B(2， 0)， 焦 点 在 x 轴 上 ， 离 心 率 为 32 .( )求 椭 圆 C 的 方 程 ； ( )点 D为 x轴 上 一 点 ， 过 D作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 C于 不 同 的 两 点 M， N， 过 D作 AM的 垂 线交 BN 于 点 E.求 证 ： BDE与 BDN的 面 积 之
22、比 为 4： 5.解 析 ： ( )由 题 意 设 椭 圆 方 程 ， 由 a=2， 根 据 椭 圆 的 离 心 率 公 式 ， 即 可 求 得 c， 则 b2=a2-c2=1，即 可 求 得 椭 圆 的 方 程 ；( )由 题 意 分 别 求 得 DE和 BN 的 斜 率 及 方 程 ， 联 立 即 可 求 得 E 点 坐 标 ， 根 据 三 角 形 的 相 似 关 系 ， 即 可 求 得 45BEBN ， 因 此 可 得 BDE与 BDN的 面 积 之 比 为 4： 5.答 案 ： ( )由 椭 圆 的 焦 点 在 x轴 上 ， 设 椭 圆 方 程 ： 2 22 2x ya b =1(a
23、b 0)，则 a=2， e= 32ca ， 则 c= 3 ，b 2=a2-c2=1， 椭 圆 C 的 方 程 2 24x y =1；( )证 明 ： 设 D(x0， 0)， (-2 x0 2)， M(x0， y0)， N(x0， -y0)， y0 0，由 M， N 在 椭 圆 上 ， 则 2 20 04x y =1， 则 2 20 04 4x y ，则 直 线 AM 的 斜 率 0 00 002 2AM y yk x x ， 直 线 DE 的 斜 率 0 0 2DE xk y ， 直 线 DE的 方 程 ： y=- 0 0 2x y (x-x0)，直 线 BN的 斜 率 00 2BN yk x
24、 ， 直 线 BN 的 方 程 y= 00 2yx (x-2)， 0 0000 2 22xy x xyyy xx ， 解 得 ： 0 04 2545xxy y ，过 E 做 EH x 轴 ， BHE BDN，则 |EH|= 045y ， 则 45EHND ， BDE与 BDN的 面 积 之 比 为 4： 5. 20.已 知 函 数 f(x)=excosx-x.(1)求 曲 线 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 方 程 ；(2)求 函 数 f(x)在 区 间 0， 2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .解 析 ： (1)求 出 f(x)的 导 数 ， 可 得 切 线 的 斜
25、 率 和 切 点 ， 由 点 斜 式 方 程 即 可 得 到 所 求 方 程 ；(2)求 出 f(x)的 导 数 ， 再 令 g(x)=f (x)， 求 出 g(x)的 导 数 ， 可 得 g(x)在 区 间 0， 2 的 单调 性 ， 即 可 得 到 f(x)的 单 调 性 ， 进 而 得 到 f(x)的 最 值 .答 案 ： (1)函 数 f(x)=e xcosx-x的 导 数 为 f (x)=ex(cosx-sinx)-1，可 得 曲 线 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 斜 率 为 k=e0(cos0-sin0)-1=0，切 点 为 (0， e0cos0-0)， 即
26、为 (0， 1)，曲 线 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 方 程 为 y=1；(2)函 数 f(x)=excosx-x 的 导 数 为 f (x)=ex(cosx-sinx)-1，令 g(x)=ex(cosx-sinx)-1，则 g(x)的 导 数 为 g (x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2ex sinx，当 x 0， 2 ， 可 得 g (x)=-2e x sinx 0，即 有 g(x)在 0， 2 递 减 ， 可 得 g(x) g(0)=0，则 f(x)在 0， 2 递 减 ，即 有 函 数 f(x)在 区 间 0， 2 上 的 最 大 值 为 f(0)=e0cos0-0=1；最 小 值 为 f( 2 )= 2e cos 2 - 2 =- 2 .
