1、2018年 山 东 省 枣 庄 市 高 考 二 模 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 U=R， A=x|x2-x-2 0， 则 CUA=( )A.-1， 2B.(-1， 2)C.(-2， 1)D.-2， 1)解 析 ： 求 出 A 中 不 等 式 的 解 集 确 定 出 A， 根 据 全 集 U=R， 求 出 A 的 补 集 即 可 .由 A 中 不 等 式 变 形 得 ： (x-2)(x+1) 0，
2、 解 得 ： x -1或 x 2， 即 A=(- ， -1 2， + )， U=R， CUA=(-1， 2).答 案 ： B2.已 知 复 数 1 iz i ， 其 中 i 为 虚 数 单 位 ， 则 |z|=( )A. 12B. 22 C. 2D.2解 析 ： 直 接 由 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 复 数 z， 再 利 用 复 数 求 模 公 式 计 算 得 答 案 . 1 11 1 1 22 1 12 i ii iz i i i i，则 2 21 1 22 2 2 z .答 案 ： B 3.已 知 a= 123 ， b=log3 12 ， c=log23， 则 a
3、， b， c 的 大 小 关 系 是 ( )A.a c bB.c a bC.a b cD.c b a 解 析 ： 直 接 利 用 指 数 函 数 、 对 数 函 数 的 单 调 性 求 解 即 可 . 0 a= 123 30=1， b=log3 12 log31=0， c=log23 log22=1， c a b.答 案 ： B4.如 图 给 出 的 是 计 算 1 1 1 12 4 6 2018 的 值 的 程 序 框 图 ， 其 中 判 断 框 内 应 填 入 的 是( ) A.i 2015？B.i 2017？C.i 2018？D.i 2016？解 析 ： 程 序 的 功 能 是 求 S=
4、 1 1 1 12 4 6 2018 的 值 ，且 在 循 环 体 中 ， S=S+1i 表 示 ， 每 次 累 加 的 是 1i 的 值 ，故 当 i 2018应 满 足 条 件 进 入 循 环 ，i 2018时 就 不 满 足 条 件 ，分 析 四 个 答 案 可 得 条 件 为 ： i 2018？答 案 ： C 5.已 知 f(x) ax-log2(4x+1)是 偶 函 数 ， 则 a=( )A.1B.-1C.2D.-2解 析 ： 根 据 题 意 ， 求 出 f(-x)的 表 达 式 ， 由 偶 函 数 的 性 质 可 得 ax-log2(4x+1)=a(-x)-log2(4-x+1)，
5、 变 形 可 得 2ax=log2(4x+1)-log2(4-x+1)=2x， 分 析 可 得 答 案 .根 据 题 意 ， f(x)=ax-log2(4x+1)， 则 f(-x)=a(-x)-log2(4-x+1)，若 函 数 f(x)为 偶 函 数 ， 则 f(x)=f(-x)，即 ax-log2(4x+1)=a(-x)-log2(4-x+1)，即 2ax=log2(4x+1)-log2(4-x+1)=2x，则 a=1.答 案 ： A6.已 知 ABC的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 若 (a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC， 则A=(
6、)A. 6 B. 3C. 56D. 23解 析 ： 已 知 等 式 利 用 正 弦 定 理 化 简 ， 整 理 得 到 关 系 式 ， 再 利 用 余 弦 定 理 表 示 出 cosA， 把 得出 关 系 式 代 入 求 出 cosA 的 值 ， 即 可 确 定 出 角 A 的 大 小 . (a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC， 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 ： (a+b)(a-b)=c(c-b)， 即 b 2+c2-a2=bc， cosA 2 2 2 12 2 b c abc ， A= 3 .答 案 ： B7.七 巧 板 是 我 们 祖 先 的 一 项 创 造 ， 被
7、誉 为 “ 东 方 魔 板 ” ， 它 是 由 五 块 等 腰 直 角 三 角 形 (两 块 全等 的 小 三 角 形 、 一 块 中 三 角 形 和 两 块 全 等 的 大 三 角 形 )、 一 块 正 方 形 和 一 块 平 行 四 边 形 组 成的 .如 图 是 一 个 用 七 巧 板 拼 成 的 正 方 形 ， 在 此 正 方 形 中 任 取 一 点 ， 则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概率 是 ( ) A. 316B. 38 C. 14D.18解 析 ： 求 出 阴 影 部 分 的 面 积 ， 根 据 几 何 概 型 的 定 义 求 出 满 足 条 件 的 概 率 即 可 .
8、设 正 方 形 的 面 积 是 1，结 合 图 象 ， 阴 影 部 分 是 和 大 三 角 形 的 面 积 相 等 ，从 而 阴 影 部 分 占 正 方 形 的 14 ，故 满 足 条 件 的 概 率 p 1 141 4 .答 案 ： C 8.已 知 sin 14 3 ， 则 sin2 =( )A. 79B. 79C. 4 29D. 492 解 析 ： 根 据 二 倍 角 公 式 可 知 ： 2 7sin 2 cos 2 1 2sin2 4 9 .答 案 ： B9.函 数 f(x)=ln(|x|-1)+x的 大 致 图 象 是 ( )A. B.C. D.解 析 ： 化 简 f(x)， 利 用
9、导 数 判 断 f(x)的 单 调 性 即 可 得 出 正 确 答 案 .f(x)的 定 义 域 为 x|x -1或 x 1. ln 1 1ln 1 1 ， ， x x xf x x x x ， 1 1 111 1 11 ， ， xxf x xx ， 当 x 1 时 ， f (x) 0， 当 x -2 时 ， f (x) 0， 当 -2 x -1时 ， f (x) 0， f(x)在 (- ， -2)上 单 调 递 增 ， 在 (-2， -1)上 单 调 递 减 ， 在 (1， + )上 单 调 递 增 .答 案 ： A10.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 其 中 俯 视 图
10、 是 等 腰 三 角 形 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.32B. 643C.163D. 323解 析 ： 由 三 视 图 还 原 原 几 何 体 ， 可 知 原 几 何 体 是 四 棱 锥 A-BCDE， 其 中 底 面 BCDE为 边 长 是 4的 正 方 形 ， 侧 面 ABE 为 等 腰 三 角 形 ， 且 平 面 ABE 平 面 BCDE， 四 棱 锥 的 高 AG=2， 代 入 棱 锥体 积 公 式 求 解 .由 三 视 图 还 原 原 几 何 体 如 图 ， 该 几 何 体 是 四 棱 锥 A-BCDE，其 中 底 面 BCDE 为 边 长 是 4 的 正 方
11、 形 ， 侧 面 ABE 为 等 腰 三 角 形 ， 且 平 面 ABE 平 面 BCDE，由 三 视 图 可 知 ， 四 棱 锥 的 高 AG=2， 324 4 21 33 A BCDEV .答 案 ： D11.设 F 1、 F2是 椭 圆 C： 2 2 12 x ym 的 两 个 焦 点 ， 若 C上 存 在 点 M满 足 F1MF2=120 ， 则 m的 取 值 范 围 是 ( )A.(0， 12 8， + )B.(0， 1 8， + )C.(0， 12 4， + ) D.(0， 1 4， + )解 析 ： 假 设 椭 圆 C： 2 2 12 x ym 的 焦 点 在 x 轴 上 ， 则
12、 2 m， 假 设 M位 于 短 轴 的 端 点 时 ， F1MF2取 最 大 值 ， 要 使 椭 圆 C 上 存 在 点 M 满 足 F1MF2=120 ， F1MF2 120 ， F1MO 60 ， 1 2tan tan60 32 c mFMO b ，解 得 ： m 8，当 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 时 ， 0 m 3， 假 设 M位 于 短 轴 的 端 点 时 ， F1MF2取 最 大 值 ， 要 使 椭 圆 C 上 存 在 点 M 满 足 F1MF2=120 ， F1MF2 120 ， F1MO 60 ， 1 2tan tan60 3 mFMO m ， 解 得 ： 0 m 1
13、2 ， m 的 取 值 范 围 是 (0， 12 8， + ).答 案 ： A12.已 知 函 数 f(x)=(1+2x)(x 2+ax+b)(a， b R)的 图 象 关 于 点 (1， 0)对 称 ， 则 f(x)在 -1， 1 上 的 最 大 值 为 ( )A. 3B. 32C.2 3D. 3 32解 析 ： 根 据 函 数 的 对 称 性 得 到 关 于 a， b 的 方 程 组 ， 求 出 a， b， 求 出 函 数 f(x)的 解 析 式 ， 求出 函 数 的 导 数 ， 根 据 函 数 的 单 调 性 求 出 f(x)的 最 大 值 即 可 . 由 f(x)的 图 象 关 于 点
14、 (1， 0)对 称 ，得 f(1)=3(a+b+1)=0， 而 5 25 56 02 4 212 f f a b ， ，联 立 ， 解 得 ： a= 72 ， b= 52 ，故 2 7 51 2 2 2 f x x x x ，f (x)=6x 2-12x+ 32 ，令 f (x) 0， 解 得 ： x 2 2 3 ， 或 x 2 2 3 (舍 )，令 f (x) 0， 解 得 ： x 2 2 3 ，故 f(x)在 -1， 2 2 3 )递 增 ， 在 ( 2 2 3 ， 1递 减 ，故 2 3 322 3 f x max f . 答 案 ： D二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4小 题
15、 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 . 13.已 知 实 数 x， y 满 足 00 1 0 xyx y ， 则 2 21 x y 的 最 大 值 为 .解 析 ： 画 出 约 束 条 件 的 可 行 域 ， 利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义 求 解 即 可 .实 数 x， y 满 足 00 1 0 xyx y 的 可 行 域 如 图 ： 则 2 21 x y 的 几 何 意 义 是 可 行 域 内 的 点与 P(-1， 0)的 距 离 ，由 可 行 域 可 知 A(1， 0)到 P(-1， 0)距 离 最 大 ，显 然 最 大 值 为 ： 2.答 案 ： 214.在 平 行
16、 四 边 形 ABCD中 ， AB=1， AD=2， 则 uuur uuurgAC BD = .解 析 ： 利 用 向 量 的 和 以 及 差 表 示 数 量 积 的 两 个 向 量 ， 然 后 求 解 即 可 .在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AB=1， AD=2， uuur uuurAD BC，则 2 2 2 22 1 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuuuuur u ur rug gBC AB BC AB BC ABD BAC . 答 案 ： 315.已 知 圆 M 与 直 线 x-y=0 及 x-y+4=0 都 相 切 ， 圆 心 在 直 线 y=-x
17、+2 上 ， 则 圆 M 的 标 准 方 程为 .解 析 ： 根 据 圆 心 在 直 线 y=-x+2上 ， 设 出 圆 心 坐 标 为 (a， 2-a)， 利 用 圆 C与 直 线 x-y=0及 x-y+4=0都 相 切 ， 求 得 圆 心 坐 标 ， 再 求 圆 的 半 径 ， 可 得 圆 的 方 程 .圆 心 在 y=-x+2 上 ， 设 圆 心 为 (a， 2-a)， 圆 C与 直 线 x-y=0及 x-y+4=0都 相 切 ， 圆 心 到 直 线 x-y=0的 距 离 等 于 圆 心 到 直 线 x-y+4=0的 距 离 ， 即 ： 222 222 a a ， 解 得 a=0， 圆
18、心 坐 标 为 (0， 2) 2 22 2 r a ，圆 C 的 标 准 方 程 为 x2+(y-2)2=2.答 案 ： x2+(y-2)2=216.已 知 f(x)=sin x-cos x( 23 )， 若 函 数 f(x)图 象 的 任 何 一 条 对 称 轴 与 x 轴 交 点 的横 坐 标 都 不 属 于 区 间 ( ， 2 )， 则 的 取 值 范 围 是 .(结 果 用 区 间 表 示 )解 析 ： f(x)=sin x-cos x= 2 sin( x- 4 )( 23 ， x R)， 若 f(x)的 任 何 一 条 对 称 轴 与 x轴 交 点 的 横 坐 标 都 不 属 于 区
19、 间 ( ， 2 )，则 22 T ， 1， 即 23 1， 令 4 2 x k ， k Z， 可 得 数 f(x)图 象 的 对 称 轴 为 ： 34 kx ， k Z， 34 k ， 或 34 2 k ， k Z， 解 得 ： k+ 34 ， k Z， 或 2 38 k ， k Z， 当 k=0时 ， 34 ， 或 38 ， 当 k=1时 ， 74 (舍 去 )， 或 78 ，综 上 ， 可 得 的 取 值 范 围 是 ： 34 ， 78 .答 案 ： 34 ， 78 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 第 1721 题 为 必 考 题 ， 每 小 题
20、 12 分 ， 第 22、 23题 为 选 考 题 ， 有 10 分 .17.已 知 数 列 a n的 前 n 项 和 23 52n n nS .( )求 an的 通 项 公 式 .解 析 ： ( )求 出 a1=S1=4.通 过 当 n 2 时 ， an=Sn-Sn-1， 转 化 求 解 数 列 的 通 项 公 式 即 可 .答 案 ： ( )a1=S1=4. 当 n 2 时 ， 221 3 1 5 13 5 3 12 2 n n n n nn na S S n .又 a1=4符 合 n 2 时 an的 形 式 ， 所 以 an的 通 项 公 式 为 an=3n+1.( )设 13 n n
21、nb a a ， 求 数 列 bn的 前 n项 和 .解 析 ： ( )化 简 数 列 的 通 项 公 式 ， 利 用 裂 项 相 消 法 求 解 数 列 的 和 即 可 .答 案 ： ( )由 ( )知 3 1 13 1 3 4 3 1 3 4 nb n n n n .数 列 b n的 前 n项 和 为b1+b2+ +bn 1 1 1 1 1 1 1 14 10 3 2 3 1 3 11 17 7 3 4 4 3 4 n n n n n .18.在 四 棱 锥 S-ABCD 中 ， 底 面 ABCD为 矩 形 ， 平 面 SAB 平 面 ABCD， 平 面 SAD 平 面 ABCD，且 SA
22、=2AD=3AB. ( )证 明 ： SA 平 面 ABCD.解 析 ： ( )证 明 BC AB， BC SA， CD SA， 即 可 证 明 SA 平 面 ABCD.答 案 ： ( )证 明 ： 由 底 面 ABCD为 矩 形 ， 得 BC AB.又 平 面 SAB 平 面 ABCD， 平 面 SAB 平 面 ABCD=AB， BC平 面 ABCD，所 以 BC 平 面 SAB.所 以 BC SA.同 理 可 得 CD SA.又 BC CD=C， BC平 面 ABCD， CD平 面 ABCD，所 以 SA 平 面 ABCD.( )若 E 为 SC 的 中 点 ， 三 棱 锥 E-BCD 的
23、 体 积 为 89 ， 求 四 棱 锥 S-ABCD外 接 球 的 表 面 积 .解 析 ： ( )设 SA=6a， 则 AB=2a， AD=3a.通 过 几 何 体 的 体 积 求 解 a， 设 半 径 为 R.然 后 求 解 R，然 后 求 解 球 的 表 面 积 . 答 案 ： ( )设 SA=6a， 则 AB=2a， AD=3a. 31 1 1 1 1 13 3 2 2 2 3 33 2 3 VE BCD BCDV S h BC CD SA a a a a .又 VE-BCD= 89 ， 所 以 3a3= 89 .解 得 a= 23 .四 棱 锥 S-ABCD 的 外 接 球 是 以
24、AB、 AD、 AS 为 棱 的 长 方 体 的 外 接 球 ， 设 半 径 为 R.则 2 2 2 142 7 3 R AB AD AS a ， 即 R= 73 .所 以 ， 四 棱 锥 S-ABCD的 外 接 球 的 表 面 积 为 4 R 2=1969 .19.随 着 高 校 自 主 招 生 活 动 的 持 续 开 展 ， 我 市 高 中 生 掀 起 了 参 与 数 学 兴 趣 小 组 的 热 潮 .为 调 查我 市 高 中 生 对 数 学 学 习 的 喜 好 程 度 ， 从 甲 、 乙 两 所 高 中 各 随 机 抽 取 了 40 名 学 生 ， 记 录 他 们在 一 周 内 平 均
25、每 天 学 习 数 学 的 时 间 ， 并 将 其 分 成 了 6个 区 间 ： (0， 10、 (10， 20、 (20， 30、(30， 40、 (40， 50、 (50， 60， 整 理 得 到 如 下 频 率 分 布 直 方 图 ： 根 据 一 周 内 平 均 每 天 学 习 数 学 的 时 间 t， 将 学 生 对 于 数 学 的 喜 好 程 度 分 为 三 个 等 级 ：( )试 估 计 甲 高 中 学 生 一 周 内 平 均 每 天 学 习 数 学 的 时 间 的 中 位 数 m 甲 (精 确 到 0.01).解 析 ： ( )由 样 本 估 计 总 体 的 思 想 ， 能 求
26、出 甲 高 中 学 生 一 周 内 平 均 每 天 学 习 数 学 的 时 间 的 中位 数 .答 案 ： ( )由 样 本 估 计 总 体 的 思 想 ，甲 高 中 学 生 一 周 内 平 均 每 天 学 习 数 学 的 时 间 的 中 位 数 ：m 甲 =20+ 0.5 0.1 0.20.3 10 26.67.( )判 断 从 甲 、 乙 两 所 高 中 各 自 随 机 抽 取 的 40名 学 生 一 周 内 平 均 每 天 学 习 数 学 的 时 间 的 平均 值 甲X 与 乙X 及 方 差 S 甲 2与 S 乙 2的 大 小 关 系 (只 需 写 出 结 论 )， 并 计 算 其 中
27、的 甲X 、 S 甲 2(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 代 表 ).解 析 ： ( )利 用 频 率 分 布 直 方 图 能 判 断 从 甲 、 乙 两 所 高 中 各 自 随 机 抽 取 的 40名 学 生 一 周 内平 均 每 天 学 习 数 学 的 时 间 的 平 均 值 甲X 与 乙X 及 方 差 S 甲 2与 S 乙 2的 大 小 关 系 ， 并 能 计 算 其 中的 甲X 、 S 甲 2.答 案 ： ( ) 甲 乙X X ， S 甲 2 S 乙 2，甲X =5 0.1+15 0.2+25 0.3+35 0.2+45 0.15+55 0.05=2
28、7.5，S 甲 2= 140 (5-27.5)2 (40 0.1)+(15-27.5)2 (40 0.2)+(25-27.5)2 (40 0.3)+(35-27.5)2 (40 0.2)+(45-27.5)2 (40 0.15)+(55-27.5)2 (40 0.05)=178.75.( )从 甲 高 中 与 乙 高 中 随 机 抽 取 的 80 名 同 学 中 数 学 喜 好 程 度 为 “ 痴 迷 ” 的 学 生 中 随 机 抽 取2人 ， 求 选 出 的 2 人 中 甲 高 中 与 乙 高 中 各 有 1 人 的 概 率 .解 析 ： ( )甲 高 中 随 机 选 取 的 40名 学 生
29、 中 “ 痴 迷 ” 的 学 生 有 40 (0.005 10)=2 人 ， 记 为A 1， A2， 乙 高 中 随 机 选 取 的 40 名 学 生 中 “ 痴 迷 ” 的 学 生 有 40 (0.015 10)=6 人 ， 记 为 B1，B2， B3， B4， B5， B6.利 用 列 举 法 能 求 出 从 甲 、 乙 两 所 高 中 数 学 喜 好 程 度 为 “ 痴 迷 ” 的 同 学 中随 机 选 出 2人 ， 选 出 的 2人 中 甲 、 乙 两 所 高 中 各 有 1人 的 概 率 .答 案 ： ( )甲 高 中 随 机 选 取 的 40名 学 生 中 “ 痴 迷 ” 的 学
30、生 有 40 (0.005 10)=2 人 ， 记 为A1， A2，乙 高 中 随 机 选 取 的 40 名 学 生 中 “ 痴 迷 ” 的 学 生 有 40 (0.015 10)=6 人 ， 记 为 B1， B2， B3，B4， B5， B6.随 机 选 出 2人 有 以 下 28 种 可 能 ：(A 1， A2)， (A1， B1)， (A1， B2)， (A1， B3)， (A1， B4)， (A1， B5)， (A1， B6)，(A2， B1)， (A2， B2)， (A2， B3)， (A2， B4)， (A2， B5)， (A2， B6)， (B1， B2)，(B1， B3)， (
31、B1， B4)， (B1， B5)， (B1， B6)， (B2， B3)， (B2， B4)， (B2， B5)，(B2， B6)， (B3， B4)， (B3， B5)， (B3， B6)， (B4， B5)， (B4， B6)， (B5， B6)，甲 、 乙 两 所 高 中 各 有 1 人 ， 有 以 下 12 种 可 能 ：(A1， B1)， (A1， B2)， (A1， B3)， (A1， B4)， (A1， B5)， (A1， B6)，(A2， B1)， (A2， B2)， (A2， B3)， (A2， B4)， (A2， B5)， (A2， B6).所 以 ， 从 甲 、 乙 两
32、 所 高 中 数 学 喜 好 程 度 为 “ 痴 迷 ” 的 同 学 中 随 机 选 出 2人 ，选 出 的 2 人 中 甲 、 乙 两 所 高 中 各 有 1 人 的 概 率 为 12 328 7 p .20.已 知 抛 物 线 C： y 2=2px(0 p 1)上 的 点 P(m， 1)到 其 焦 点 F的 距 离 为 54 .( )求 C 的 方 程 .解 析 ： ( )通 过 点 在 抛 物 线 上 ， 以 及 抛 物 线 的 定 义 ， 列 出 方 程 求 解 可 得 C 的 方 程 .答 案 ： ( )由 题 意 ， 得 2pm=1， 即 m= 12p . 由 抛 物 线 的 定
33、义 ， 得 12 2 2 p pPF m p .由 题 意 ， 52 41 2 pp ， 解 得 p= 12 ， 或 p=2(舍 去 ).所 以 C的 方 程 为 y2=x.( )已 知 直 线 l 不 过 点 P 且 与 C 相 交 于 A， B 两 点 ， 且 直 线 PA 与 直 线 PB 的 斜 率 之 积 为 1，证 明 ： l 过 定 点 .解 析 ： ( )证 法 一 ： 设 直 线 PA 的 斜 率 为 k(显 然 k 0)， 则 直 线 PA 的 方 程 为 y-1=k(x-1)，联 立 直 线 与 抛 物 线 方 程 ， 设 A(x 1， y1)， 由 韦 达 定 理 ，
34、求 出 A 的 坐 标 ， 直 线 PB的 斜 率 为 1k .得 到 B的 坐 标 ， 通 过 直 线 的 向 量 是 否 垂 直 ， 求 出 直 线 l 的 方 程 ， 然 后 求 解 定 点 坐 标 .证 法 二 ： 由 (1)， 得 P(1， 1).若 l 的 斜 率 不 存 在 ， 则 l与 x 轴 垂 直 .设 A(x1， y1)， 则 B(x1，-y1)， y12=x1.推 出 l 的 斜 率 必 存 在 .设 l的 斜 率 为 k， 显 然 k 0， 设 l： y=kx+t， 利 用 直 线 方程 与 抛 物 线 方 程 联 立 ， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)
35、， 利 用 韦 达 定 理 ， 转 化 求 解 直 线 l： y=kx-1.即 可 说 明 l过 定 点 (0， -1).证 法 三 ： 由 (1)， 得 P(1， 1).设 l： x=ny+t， 由 直 线 l不 过 点 P(1， 1)， 所 以 n+t 1.由 2 y xx ny t消 去 x 并 整 理 得 y 2-ny-t=0.判 别 式 =n2+4t 0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1+y2=n ， y1y2=-t ， 转 化 求 解 l： x=n(y+1).说 明 l过 定 点 (0， -1).答 案 ： ( )证 法 一 ： 设 直 线 PA 的 斜 率
36、 为 k(显 然 k 0)， 则 直 线 PA 的 方 程 为 y-1=k(x-1)，则 y=kx+1-k.由 2 1 y kx ky x 消 去 y 并 整 理 得 k2x2+2k(1-k)-1x+(1-k)2=0.设 A(x 1 ， y1) ， 由 韦 达 定 理 ， 得 21 211 kx k ， 即 2 21 1 12 21 1 11 1 1 g gk kx y kx k k kk k k ， 所 以 A( 221kk ， 11 k ).由 题 意 ， 直 线 PB的 斜 率 为 1k .同 理 可 得 B( 2211 1 kk ， 11 1 k )， 即 B(k 2-1)2， k-1
37、).若 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 ， 则 2 221 1 k kk .解 得 k=1， 或 k=-1. 当 k=1时 ， 直 线 PA 与 直 线 PB的 斜 率 均 为 1， A， B 两 点 重 合 ， 与 题 意 不 符 ；当 k=-1时 ， 直 线 PA与 直 线 PB的 斜 率 均 为 -1， A， B两 点 重 合 ， 与 题 意 不 符 .所 以 ， 直 线 l 的 斜 率 必 存 在 .直 线 l的 方 程 为 221 11 ky k x kk ， 即 2 11 ky xk .所 以 直 线 l过 定 点 (0， -1).证 法 二 ： 由 (1)， 得 P(1， 1
38、).若 l 的 斜 率 不 存 在 ， 则 l与 x轴 垂 直 .设 A(x 1， y1)， 则 B(x1， -y1)， y12=x1.则 21 1 1 12 21 1 11 11 1 1 1 11 1 11 1 gPA PB y y y xk k x x xx x .(x1-1 0， 否 则 ， x1=1， 则 A(1， 1)， 或 B(1， 1)， 直 线 l过 点 P， 与 题 设 条 件 矛 盾 )由 题 意 ， 11 11 x ， 所 以 x1=0.这 时 A， B 两 点 重 合 ， 与 题 意 不 符 .所 以 l的 斜 率 必 存 在 .设 l 的 斜 率 为 k， 显 然 k
39、 0， 设 l： y=kx+t，由 直 线 l 不 过 点 P(1， 1)， 所 以 k+t 1.由 2 y xy kx t消 去 y 并 整 理 得 k 2x2+(2kt-1)x+t2=0.由 判 别 式 =1-4kt 0， 得 kt 14 .设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 1 2 21 2 ktx x k ， 21 2 2 tx x k ，则 22 1 2 1 21 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 11 1 1 11 1 1 1 1 g gPA PB k x x k t x x ty y kx t kx tk k x x x x x x x x .由 题 意
40、 ， 22 1 2 1 21 2 1 21 1 11 k x x k t x x tx x x x . 故 (k2-1)x1x2+(kt-k+1)(x1+x2)+t2-2t=0 ，将 代 入 式 并 化 简 整 理 得 2 21 0 t kt kk ， 即 1-t2-kt-k=0.即 (1+t)(1-t)-k(t+1)=0， 即 (1+t)(1-t-k)=0.又 k+t 1， 即 1-t-k 0， 所 以 1+t=0， 即 t=-1.所 以 l： y=kx-1.显 然 l 过 定 点 (0， -1).证 法 三 ： 由 (1)， 得 P(1， 1).设 l： x=ny+t， 由 直 线 l不
41、过 点 P(1， 1)， 所 以 n+t 1. 由 2 y xx ny t 消 去 x 并 整 理 得 y2-ny-t=0.由 题 意 ， 判 别 式 =n2+4t 0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1+y2=n ， y1y2=-t则 1 2 1 22 21 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 11 1 1 1 1 g gPA PB y y y yk k x x y y y y y y .由 题 意 ， y 1y2+(y1+y2)+1=1， 即 y1y2+(y1+y2)=0将 代 入 式 得 -t+n=0， 即 t=n.所 以 l： x=n(y+1).显 然 l过
42、 定 点 (0， -1).21.已 知 曲 线 y=f(x)=x2-1-alnx(a R)与 x 轴 有 唯 一 公 共 点 A.( )求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 通 过 讨 论 a 的 范 围 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 ， 结 合 单 调 性 求 出f(x)的 最 小 值 ， 从 而 确 定 a 的 范 围 .答 案 ： ( )函 数 f(x)的 定 义 域 为 (0， + )， f(1)=0， 即 A(1， 0).由 题 意 ， 函 数 f(x)有 唯 一 零 点 1.f (x)=2x- ax .(1)若 a 0，
43、则 -a 0. 显 然 f (x) 0恒 成 立 ， 所 以 f(x)在 (0， + )上 是 增 函 数 .又 f(1)=0， 所 以 a 0 符 合 题 意 .(2)若 a 0， f (x)= 22 x ax ，f (x) 0 x 2a ；f (x) 00 x 2a .所 以 f(x)在 (0， 2a )上 是 减 函 数 ， 在 ( 2a ， + )上 是 增 函 数 . 所 以 min 1 ln2 2 2 2 a a a af x f .由 题 意 ， 必 有 2 af 0(若 2 af 0， 则 f(x) 0恒 成 立 ， f(x)无 零 点 ， 不 符 合 题 意 ) 若 2 af
44、 0， 则 1 ln2 2 2 a a a 0. 令 g(a)= 1 ln2 2 2 a a a (a 0)， 则 g (a) 1ln ln21 1 1 12 2 2 22 22 a a aa .g (a) 00 a 2； g (a) 0 a 2.所 以 函 数 g(a)在 (0， 2)上 是 增 函 数 ， 在 (2， + )上 是 减 函 数 .所 以 g(a)max=g(2)=0.所 以 g(a) 0， 当 且 仅 当 a=2时 取 等 号 .所 以 ， 2 af 0 a 0， 且 a 2.取 正 数 b min 2a ， 1ae ， 则 f(b)=b 2-1-alnb -1-alnb
45、-1-a ( 1a )=0；取 正 数 c a+1， 显 然 2 2 ac a .而 f(c)=c2-1-alnx，令 h(x)=lnx-x， 则 h (x)= 1x -1.当 x 1时 ， 显 然 h (x)= 1x -1 0.所 以 h(x)在 1， + )上 是 减 函 数 .所 以 ， 当 x 1 时 ， h(x)=lnx-x h(1)=-1 0， 所 以 lnx x.因 为 c 1， 所 以 f(c)=c 2-1-alnc c2-1-ac=c(c-a)-1 c 1-1 0.又 f(x)在 (0， 2a )上 是 减 函 数 ， 在 ( 2a ， + )上 是 增 函 数 ，则 由 零
46、 点 存 在 性 定 理 ， f(x)在 (0， 2a )、 ( 2a ， + )上 各 有 一 个 零 点 .可 见 ， 0 a 2， 或 a 2不 符 合 题 意 .注 ： a 0 时 ， 若 利 用 lim x f x ， f( 2a ) 0， 说 明 f(x)在 (0， 2a )、 ( 2a ， + )上 各 有 一 个 零 点 . 若 f( 2a )=0， 显 然 2a =1， 即 a=2.符 合 题 意 .综 上 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 为 a|a 0， 或 a=2.( )曲 线 y=f(x)在 点 A 处 的 切 线 斜 率 为 a 2-a-7.若 两 个 不 相 等
47、 的 正 实 数 x1， x2 满 足|f(x1)|=|f(x2)|， 求 证 ： x1x2 1.解 析 ： ( )求 出 a 的 值 ， 不 妨 设 x1 x2， 则 0 x1 1 x2， 得 到 -(x12-1+3lnx1)=x22-1+3lnx2，令 p(t)=2t+3lnt-2， 根 据 函 数 的 单 调 性 证 明 即 可 .答 案 ： ( )由 题 意 ， f (1)=2-a=a2-a-7.所 以 a2=9， 即 a= 3. 由 ( )的 结 论 ， 得 a=-3.f(x)=x2-1+3lnx， f(x)在 (0， + )上 是 增 函 数 .f(x) 0 0 x 1； f(x)
48、 0 x 1.由 |f(x1)|=|f(x2)|， 不 妨 设 x1 x2， 则 0 x1 1 x2.从 而 有 -f(x1)=f(x2)， 即 -(x12-1+3lnx1)=x22-1+3lnx2.所 以 x12+x22+3lnx1x2-2=0 2x1x2+3lnx1x2-2.令 p(t)=2t+3lnt-2， 显 然 p(t)在 (0， + )上 是 增 函 数 ， 且 p(1)=0.所 以 p(t) 0 0 t 1.从 而 由 2x 1x2+3lnx1x2-2 0， 得 x1x2 1.请 考 生 在 22、 23题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .作 答 时 请 写 清 题 号 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 3cos2sin xy ( 为 参 数 )， 直 线 l 的 参 数 方程 为 12 1 x ty t a (t为 参 数 ).( )若 a=1， 求 直 线 l 被 曲 线 C 截
