1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类） （北京卷） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项
2、1已知 cos tan 0 i ，那么角 是（ ） 第一或第二象限角 第二或第三象限角 第三或第四象限角 第一或第四象限角 2函数 () 3(0 2) x fx x=的焦点为 1 F ， 2 F ，两条准线与 x 轴的交点分别为 M N， ， 若 12 MNFF2 ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） 1 0 2 ， 2 0 2 ， 1 1 2 ， 2 1 2 ， 5某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个数字互不相同的牌 照号码共有（ ） () 2 14 26 10 CA个 24 26 10 AA个 () 2 14 26 10C 个 24 26 10A 个 6若
3、不等式组 5 02 xy ya x + 0 ， ， 表示的平面区域是一个三角形，则 a的取值范围是（ ） 5a 7a 57a 5a 或 7a 7平面 平面 的一个充分条件是（ ） 存在一条直线 aa ， 存在一条直线 aa a ， 存在两条平行直线 aba b a b ， ， ， ， 存在两条异面直线 aba a b ， ， ， 8对于函数 () 2fx x=+， 2 () ( 2)fx x= ， () cos( 2)fx x= ，判断如下两个命 题的真假： 命题甲： (2)fx+ 是偶函数； 命题乙： ()f x 在 ()2， 上是减函数，在 (2 )+， 上是增函数； 能使命题甲、乙均为真
4、的所有函数的序号是（ ） 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类） （北京卷） 第 II 卷（共 110 分） 注意事项： 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上 9 ()f x 是 3 1 () 2 1 3 f xxx=+的导函数，则 (1)f 的值是 10若数列 n a 的前 n项和 2 10 ( 1 2 3 ) n Sn nn= = null， ， ， ，则此数列的通项公式为 11已知向量 24 11() ()， ，a= b= 若向量 ()ba+b，则实数 的
5、值是 12在 ABC 中，若 1 tan 3 A= ， 150C = null ， 1BC = ，则 AB = 13 2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽 的弦图为基础设计的 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的 一个大正方形（如图） 如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25， 直角三角形中较小的锐角为 ，那么 cos 2 的值等于 14已知函数 ()f x ， ()gx分别由下表给出 则 (1)fg 的值为 ；当 () 2gfx = 时， x = 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题
6、共 12 分） 记关于 x的不等式 0 1 xa x + 的解集为 P ，不等式 11x 的解集为 Q （ I）若 3a = ，求 P ； （ II）若 QP ，求正数 a的取值范围 16 （本小题共 13 分） 数列 n a 中， 1 2a = 1nn aacn + =+（ c是常数， 123n= null， ， ） ，且 123 aaa， 成公比不为 1 的等比数列 （ I）求 c的值； （ II）求 n a 的通项公式 17 （本小题共 14 分） 如图，在 Rt AOB 中， 6 OAB=，斜 边 4AB = Rt AOC 可 以通过 Rt AOB 以直线 AO为轴旋转得到， 且二面角
7、 B AO C 的直二面角 D是 AB 的中点 （ I）求证：平面 COD 平面 AOB； （ II）求异面直线 AO与 CD所成角的大小 18 （本小题共 12 分） 某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站（包括起点站和终点站） ，在 起点站开出的一辆公共汽车上有 6 位乘客，假设每位乘客在起点站 之外的各个车站下车是等可能的求： （ I）这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率； （ II）这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率； 19 （本小题共 14 分） 如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点 (2 0)M ， ， AB 边所在直 线的方程为 360 xy=点 (11)T
8、， 在 AD边所在直线上 （ I）求 AD边所在直线的方程； （ II）求矩形 ABCD外接圆的方程； （ III）若动圆 P 过点 (20)N ， ，且与矩形 ABCD的外接圆外切， x 1 2 3 ()f x 2 1 1 x 1 2 3 ()f x 3 2 1 O C A D B D T N O A B C M x y 求动圆 P 的圆心的轨迹方程 20 （本小题共 14 分） 已知函数 y kx= 与 2 2( 0)yx x=+ 的图象相交于 11 ()Ax y， ， 22 ()B xy， ， 1 l ， 2 l 分别是 2 2( 0)yx x=+ 的图象在 AB， 两点的切线， M N
9、， 分别是 1 l ， 2 l 与 x轴的交点 （ I）求 k 的取值范围； （ II）设 t为点 M 的横坐标，当 12 x x 时，写出 t以 1 x 为自变量的函数式，并求其定义域和 值域； （ III）试比较 OM 与 ON 的大小，并说明理由（ O是坐标原点） 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类） （北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9 3 10 211n 11 3 12 10 2 13 7 25 14 1 1 三、解答题
10、（本大题共 6 小题，共 80 分） 15 （共 12 分） 解： （ I）由 3 0 1 x x + ，得 13Px x= ，得 1Px xa= ， 即 a的取值范围是 (2 )+， 16 （共 13 分） 解： （ I） 1 2a = ， 2 2ac=+， 3 23ac=+ ， 因为 1 a ， 2 a ， 3 a 成等比数列， 所以 2 (2 ) 2(2 3 )cc+=+， 解得 0c= 或 2c= 当 0c= 时， 123 aaa=，不符合题意舍去，故 2c= （ II）当 2n 时，由于 21 aac=， 32 2aa c=， nullnull 1 (1) nn aa n c =，
11、所以 1 (1) 1 2 ( 1) 2 n nn aa n c c =+ =null 又 1 2a = ， 2c= ，故 2 2(1) 2( 23) n annnnn=+ = + = null， ， 当 1n= 时，上式也成立， 所以 2 2( 1 2 ) n ann n=+ =null， 17 （共 14 分） 解法一： （ I）由题意， CO AO ， BO AO ， BOC 是二面角 BAOC是直二面角， CO BO ，又 AO BO O= ， CO 平面 AOB， 又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOB （ II）作 DEOB ，垂足为 E ，连结 CE（如图） ，则 DEAO
12、 ， CDE 是异面直线 AO与 CD所成的角 在 Rt COE 中， 2CO BO=， 1 1 2 OE BO= = ， 22 5CE CO OE =+= 又 1 3 2 DE AO= 在 Rt CDE 中， 515 tan 3 3 CE CDE DE = 异面直线 AO与 CD所成角的大小为 15 arctan 3 解法二： （ I）同解法一 （ II）建立空间直角坐标系 Oxyz ，如图，则 (000)O ， ， (0 0 2 3)A ， ， ， (200)C ， ， (0 1 3)D ， ， ， O C A D B E A D z (0 0 2 3)OA = nullnullnulln
13、ull ， ， ， (21 3)CD= nullnullnullnull ， ， ， cos OA CD OACD OA CD = nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull i nullnullnullnullnullnullnullnull i ， 66 4 2322 = i 异面直线 AO与 CD所成角的大小为 6 arccos 4 18 （共 13 分） 解： （ I）这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率为 6 10 66 1512 .1512 10 10 A P = 0 （ II）这 6 位乘
14、客中恰有 3 人在终点站下车的概率为 33 6 66 9 1458 0.01458 10 10 C P = 19 （共 14 分） 解： （ I）因为 AB 边所在直线的方程为 360 xy =，且 AD 与 AB 垂直，所以直线 AD 的 斜率为 3 又因为点 (11)T ， 在直线 AD 上， 所以 AD 边所在直线的方程为 13(1)yx= + 320 xy+= （ II）由 360 32=0 xy xy = + ， 解得点 A的坐标为 (0 2)， ， 因为矩形 ABCD两条对角线的交点为 (2 0)M ， 所以 M 为矩形 ABCD外接圆的圆心 又 22 (2 0) (0 2) 2
15、2AM =+= 从而矩形 ABCD外接圆的方程为 22 (2) 8xy += （ III）因为动圆 P 过点 N ，所以 PN 是该圆的半径，又因为动圆 P 与圆 M 外切， 所以 22PM PN=+， 即 22PM PN= 故点 P 的轨迹是以 M N， 为焦点，实轴长为 22的双曲线的左支 因为实半轴长 2a= ，半焦距 2c= 所以虚半轴长 22 2bca= 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 22 1( 2 ) 22 xy x= 20 （本小题共 14 分） 解： （ I）由方程 2 2 ykx yx = = + ， 消 y 得 2 20 xkx += 依题意，该方程有两个正实根， 故
16、2 12 80 0 k xxk = += ， ， 解得 22k （ II）由 () 2f xx = ，求得切线 1 l 的方程为 111 2( )y xx x y= +， 由 2 11 2yx=+，并令 0y = ，得 1 1 1 2 x t x = 1 x ， 2 x 是方程的两实根，且 12 x x ， 1 x 是关于 k 的减函数，所以 1 x 的取值范围是 (0 2)， t是关于 1 x 的增函数，定义域为 (0 2)， ，所以值域为 ()，0 ， （ III）当 12 x x 时，由（ II）可知 1 1 1 2 x OM t x = = + 类似可得 2 2 1 2 x ON x = 12 12 12 2 x xxx OM ON x x + + = + 由可知 12 2xx = 从而 0OM ON= 当 21 x x 时，有相同的结果 0OM ON = 所以 OM ON=
