1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国 卷) 文科数学（必修+选修 ） 注意事项： 1 本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页，总分 150 分， 考试时间 120 分钟 2 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的 位置上 3 选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上 4 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚 5 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答超出答题区域或
2、在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效 6 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回 第卷（选择题） 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=ii 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 4 3 VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示
3、球的半径 () (1 ) ( 012 ) kk nk nn Pk Cp p k n =， ， ， ， 一、选择题 1 cos330 = null （ ） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 2设集合 1 2 3 4 1 2 2 4UAB=， ， ， ， ， ，则 () U AB= （ ） A 2 B 3 C 1 2 4， D 1 4， 3函数 sinyx= 的一个单调增区间是（ ） A 44 ， B 3 44 ， C 3 2 ， D 3 2 2 ， 4下列四个数中最大的是（ ） A 2 (ln 2) B ln(ln 2) C ln 2 D ln 2 5不等式 2 0 3 x x +
4、 的解集是（ ） A (32) ， B (2 )+， C (3)(2) +， D (2)(3) +， 6 在 ABC 中， 已知 D 是 AB 边上一点， 若 1 2 3 ADDBCD CACB=+ nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull ， ， 则 =（ ） A 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 3 7已知三棱锥的侧棱长的底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A 3 6 B 3 4 C 2 2 D 3 2 8已知曲线 2 4 x y = 的
5、一条切线的斜率为 1 2 ，则切点的横坐标为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 9把函数 e x y = 的图像按向量 (2 3)= ，a 平移，得到 ()y fx= 的图像，则 ()f x =（ ） A e2 x + B e2 x C 2 e x D 2 e x+ 10 5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方 法共有（ ） A 10 种 B 20 种 C 25 种 D 32 种 11已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ） A 1 3 B 3 3 C 1 2 D 3 2 12 设 12 FF， 分别是双曲线 2 2 1 9 y
6、x +=的左、 右焦点 若点 P 在双曲线上， 且 12 0PF PF = nullnullnullnull nullnullnullnullnull i ， 则 12 PF PF+= nullnullnullnull nullnullnullnullnull （ ） A 10 B 210 C 5 D 25 第卷（非选择题） 本卷共 10 题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13一个总体含有 100 个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为 14已知数列的通项 52 n an= + ，则其前 n
7、 项和 n S = 15 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上 如果正四棱柱的底面边长为 1cm， 那么该棱柱的表面积为 cm 2 16 8 2 1 (1 2 ) 1x x + 的展开式中常数项为 （用数字作答） 三 、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 设等比数列 n a 的公比 1q ， 前 n 项和为 n S 已知 342 25aSS= =， ， 求 n a 的通项公式 18 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，已知内角 A = 3 ，边 23BC = 设内角 B x= ，周长为 y （ 1
8、）求函数 ()yfx= 的解析式和定义域； （ 2）求 y 的最大值 19 （本小题满分 12 分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A ： “取出的 2 件产 品中至多有 1 件是二等品”的概率 ( ) 0.96PA= （ 1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ； （ 2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，求事件 B ： “取出的 2 件产品中至少有一 件二等品”的概率 ()PB 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 SABCD 中， 底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD 底面 ABCD E F， 分别为 ABSC， 的
9、中点 （ 1）证明 EF 平面 SAD ； （ 2）设 2SD DC= ，求二面角 A EF D 的大小 A E B C F S D 21 （本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 34xy = 相切 （ 1）求圆 O 的方程； （ 2）圆 O 与 x 轴相交于 AB， 两点，圆内的动点 P 使 PA PO PB， 成等比数列，求 PA PB nullnullnullnullnullnullnullnull i 的取值范围 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 () (2 ) 1 3 f xaxbx bx=+ 在 1 x x= 处取得极大值，在
10、 2 x x= 处取得极小值，且 12 01 2xx ； （ 2）若 z=a+2b,求 z 的取值范围。 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修 +选修）参考答案 评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给
11、整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题 1 C 2 B 3 C 4 D 5 C 6 A 7 A 8 A 9 C 10 D 11 D 12 B 二、填空题 13 1 20 14 2 5 2 nn 15 242+ 三、解答题 17解：由题设知 1 1 (1 ) 0 1 n n aq aS q = ， ， 则 2 1 2 1 4 1 2 (1 ) 5 (1 ) 1 1 aq aq aq q q = = ， 由得 42 15(1)qq= ， 22 (4)(1)0qq =， (2)(2)(1)(1)0qqqq +=， 因为 1q 3 ， 得 2 0 B 3 应用正弦定理，知 23 sin sin
12、4sin sin sin BC AC B x x A = 3 ， 2 sin 4sin sin BC AB C x A = 3 因为 yABBCAC=+， 所以 22 4sin 4sin 2 3 0 3 yx x x =+ + 3 ， （ 2）因为 1 4sin cos sin 23 2 yx xx 3 =+ + 2 5 43sin 23xx =+ 6 666 ， 所以，当 x += 6 2 ，即 x = 3 时， y 取得最大值 63 19 （ 1）记 0 A 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ， 1 A 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” 则 01 AA， 互斥，且
13、 01 AA A=+，故 01 () ( )PA PA A=+ 01 21 2 2 () () (1 ) C (1 ) 1 PA PA p pp p =+ = + = 于是 2 0.96 1 p= 解得 12 0.2 0.2pp=， （舍去） （ 2）记 0 B 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ， 则 0 B B= 若该批产品共 100 件，由（ 1 ）知其中二等品有 100 0.2 20 = 件，故 2 80 0 2 100 C 316 () C 495 PB = 00 316 179 () ( ) 1 ( ) 1 495 495 PB PB PB= 20解法一： （ 1）作 FG
14、DC 交 SD 于点 G ，则 G 为 SD 的中点 连结 1 2 AGFG CD ， ，又 CD AB ， 故 FG AE AEFG ， 为平行四边形 EFAG ，又 AG 平面 SAD EF ， 平面 SAD 所以 EF 平面 SAD （ 2）不妨设 2DC = ，则 42SD DG ADG= =， 为等 腰直角三角形 取 AG 中点 H ，连结 DH ，则 DH AG 又 AB 平面 SAD ，所以 AB DH ，而 AB AG A= ， 所以 DH 面 AEF 取 EF 中点 M ，连结 MH ，则 HM EF 连结 DM ，则 DM EF 故 DMH 为二面角 A EF D的平面角
15、2 tan 2 1 DH DMH HM = 所以二面角 A EF D 的大小为 arctan 2 解法二： （ 1）如图，建立空间直角坐标系 Dxyz 设 (00) (00 )A aSb， ， ， ， ，则 (0)(00)B aa C a， ， 00 222 aab Ea F ， ， ， 0 2 b EF a = nullnullnullnull ， ， 取 SD 的中点 00 2 b G ， ， ，则 0 2 b AG a = nullnullnullnull ， ， EFAGEF AGAG= nullnullnullnull nullnullnullnull ， 平面 SAD EF ， 平
16、面 SAD ， 所以 EF 平面 SAD （ 2）不妨设 (1 0 0)A ， ， ，则 11 (1 1 0) (0 1 0) (0 0 2) 1 0 0 1 22 BC S E F ， ， ， ， ， ， ， ， ， EF 中点 111 1 1 1 (101) 0 222 2 2 2 M MD EF MD EF MD EF = = = nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnull i， ， ， ， ， ， ， ， 又 1 00 2 EA = nullnullnullnull ， ， 0E
17、A EF EA EF= nullnullnullnull nullnullnullnull i ， ， 所以向量 MD nullnullnullnullnull 和 EA nullnullnullnull 的夹角等于二面角 A EF D 的平面角 A A E B C F S D G M y z x A E B C F S D H G M 3 cos 3 MD EA MD EA MD EA = = nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnull i nullnullnullnullnullnull
18、nullnullnull i ， 所以二面角 AEFD的大小为 3 arccos 3 21解： （ 1）依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 34xy = 的距离， 即 4 2 13 r = + 得圆 O 的方程为 22 4xy+= （ 2）不妨设 1212 (0) (0)Ax Bx x x， ， 由 2 4x = 即得 ( 2 0) (2 0)AB ， ， 设 ()Px y， ，由 PA PO PB， 成等比数列，得 22 22 22 (2) (2)x yx yxy+ +=+i ， 即 22 2xy= (2 )(2 )PA PB x y x y= nullnullnullnull
19、nullnullnullnull ii， 22 2 4 2( 1). x y y =+ = 由于点 P 在圆 O 内，故 22 22 4 2. xy xy + = ， 由此得 2 1y 所以 PA PB nullnullnullnullnullnullnullnull i 的取值范围为 20) ， 22解：求函数 ()f x 的导数 2 () 2 2f xax bx b = + （）由函数 ()f x 在 1 x x= 处取得极大值，在 2 x x= 处取得极小值，知 12 x x， 是 () 0fx = 的两个根 所以 12 () ( )( )f x axxxx = 当 1 x x ，由 1 0 xx ， 2 0 xx （）在题设下， 12 01 2xx 即 20 22 0 442 0 b ab b ab b + 化简得 20 320 4520 b ab ab + 此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线： 203204520bab ab =+=+=， 所围成的 ABC 的内部，其三个顶点分别为： 46 (2 2) (4 2) 77 ABC ， ， ， z 在这三点的值依次为 16 68 7 ， ， 所以 z 的取值范围为 16 8 7 ， b a 2 1 2 4 O 46 77 A ， (4 2)C ， (2 2)B ，
