1、2007年普通高等学校招生全国统一考试 （重庆卷） 数学试题卷（文史类） 数学试题卷（文史类）共5页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色铅字笔，将答案书写在答案卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么)()()( BPAPBAP +=+ 如果事件A、B相
2、互独立，那么)()()( BPAPBAP = 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率 )2,1,0()1()( 1 nkppCkP knk n ，= 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）在等比数列a n 中，a 2 8，a 1 64，则公比q为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）8 （2）设全集U|a、b、c、d|，A|a、c|，B=|b|，则A（CuB） （A） （B）a （C）c （D）a,c （3）垂直于同一平面的两条直线 （A）平行 （B）垂直 （C）相交
3、（D）异面 （4）（2x-1） 2 展开式中x 2 的系数为 （A）15 （B）60 （C）120 （D）240 （5）“-1x1”是“x 2 1”的 （A）充分必要条件 （B）充分但不必要条件 （C）必要但不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）下列各式中，值为 2 3 的是 （A） 15cos15sin2 （B） 15sin15cos 22 （C）115sin2 2 （D）+ 15cos15sin 22 （7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3 张中至少有2张价格相同的概率为 （A） 4 1 （B） 120 79 （C） 4 3 （D） 24
4、 23 （8）若直线1+= kxy与圆1 22 =+ yx相交于P、Q两点，且POQ120（其中O 为原点），则k的值为 (A) - 3或3 （B）3 （C） 2或3 （D）2 （9）已知向量OA =（4，6），OB =（3，5），且OCOA，ACOB，则向量OC = （A） 7 2 , 7 3 （B） 21 4 , 7 2 （C） 7 2 , 7 3 （D） 21 4 , 7 2 （10）设P（3，1）为二次函数)1(2)( 2 + xbaxaxxf的图象与其反函数)( 1 xff = 的图象的一个交点，则 （A） 2 5 , 2 1 = ba （B） 2 5 , 2 1 = ba （C）
5、2 5 , 2 1 = ba （D） 2 5 , 2 1 = ba （11）设aab + 113和是的等比中项，则a+3b的最大值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （12）已知以F 1 （2,0），F 2 （2,0）为焦点的椭圆与直线043 =+ yx有且仅有一个交 点，则椭圆的长轴长为 （A）23 （B）62 （C）72 （D）24 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上。 （13）在ABC中，AB=1,BC=2,B=60，则AC 。 （14）已知yxz y yx yx += + 3 0 0- 632 则 ， 的最大值为 。 （15）要排出某班
6、一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表， 要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 。（以数字作 答） （16）函数 452 2 22)( + += xx xxxf的最小值为 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分13分，（）小问5分，（）小问8分） 设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为 5 4 4 3 和，且各次射击相互独立。 （）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； （）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率。 （18）（本小题满分13分，（）小问4分，（）
7、小问9分） 已知函数 ) 2 sin( 4 2cos2 + x x 。 （）求f(x)的定义域； （）若角a在第一象限且）。（求afa , 5 3 cos = （19）（本小题满分12分，（）小问6分，（）小问6分。） 如题（19）图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，ABC90，AB=1,BC= 2 3 ,AA 2 =2;点D 在棱BB 1 上，BD 3 1 BB 1 ；B 1 EA 1 D，垂足为E，求： 题（19）图 （）异面直线A 1 D与B 1 C 1 的距离； （）四棱锥C-ABDE的体积。 20.（本小题满分12分） 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要
8、求长方体的长与宽之比为2：1， 问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ （21）（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分） 如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线xy 8 2 =的焦点F，且与抛物线交于A、B 两点。 题（21）图 （）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定 值，并求此定值。 （22）（本小题满分12分，其中（）小问5分，（）小问7分） 已知各项均为正数的数列a n 的前n项和S n 满足S n 1，且 .N,1)2)(1(6 =+= naaS nnn
9、（）求a n 的通项公式； （）设数列b n 满足(),112 = n n a并记T n 为b n 的前n项和，求证： .N),3(log113 2 + naT n 2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题（文史类）答案 一、选择题：每小题5分，满分60分。 （1）A（2）D（3）A（4）B（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）C （11）B（12）C 二、填空题：每小题4分，满分16分。 （13）3（14）9（15）288（16）1+2 2 三、解答题：满分74分 解：（）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A） 5 4 )(, 4 3
10、=BP，从而甲命中但乙未命中目标的概率为 . 20 3 5 4 1 4 3 )()()( = = BPAPABP （）设A 1 表示甲在两次射击中恰好命中k次，B 1 表示乙有两次射击中恰好命中l次。 依题意有 .2,1,0, 5 1 5 4 )( .2,1,0, 4 1 4 3 )( 2 21 2 21 = = = = lCBP kCAP ll l kk k 由独立性知两人命中次数相等的概率为 .4825.0 400 193 25 16 16 9 25 4 4 3 25 1 16 1 5 4 4 3 5 1 5 4 4 1 4 3 5 1 4 1 )()()()()()( )()()( 2
11、2 2 2 2 2 2 3 1 2 22 221100 221100 + + += + CCCC BPAPBPAPBPAP BAPBAPBAP (18)（本小题13分） 解：（）由Z),( 2 , 2 0 2 sin + kkxkxx 即得 故f(x)的定义域为.Z, 2 |R kkxx （）由已知条件得. 5 4 5 3 1cos1sin 2 2 = aa 从而 ) 2 sin( ) 4 2cos(21 )( + + = a a af a aa cos 4 sin2sin 4 coscos21 + a aaa a aa cos cossin2cos2 cos sin2cos1 2 + = +
12、 . 5 14 )sin(cos2 =+ aa （19）（本小题12分） 解法一：（）由直三棱柱的定义知B 1 C 1 B 1 D，又因为ABC90，因此B 1 C 1 A 1 B 1 ， 从而B 1 C 1 平面A 1 B 1 D，得B 1 C 1 B 1 E。又B 1 EA 1 D， 故B 1 E是异面直线B 1 C 1 与A 1 D的公垂线 由 1 3 1 BBBD =知, 3 4 1 =DB 在RtA 1 B 1 D中，A 2 D. 3 5 3 4 1 2 2 1 2 11 = +=+ DBBA 又因. 2 1 2 1 11111 11 EBDADBBAS DBA = 故B 1 E=
13、. 5 4 3 5 3 4 1 1 111 = DA DBBA （）由（）知B 1 C 1 平面A 1 B 1 D，又BCB 1 C 1 ，故BC平面ABDE，即BC为四 棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为 VV C-ABDE ，BC 3 1 其中S为四边形ABDE的面积。如答（19）图1，过E作EFBD，垂足为F。 答（19）图1 在RtB 1 ED中，ED= , 15 16 5 4 3 4 22 2 1 2 1 = = EBDB 又因S B1ED = , 2 1 2 1 11 EFDBDEEB = 故EF= . 25 16E 1 1 = DB DEB 因A 1 AE的边A 1
14、A上的高, 25 9 25 16 1 11 = EFBAh故 S A1AE . 25 9 25 9 2 2 1 2 1 1 =hAA 又因为S A1BD , 3 2 3 4 2 2 1 2 1 111 =DBBA从而 SS A1AE -S A1AE -S A1B1D 2- . 75 73 3 2 25 9 = 所以. 150 73 2 3 75 73 3 1 3 1 = BCSV 解法二：（）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则 答（19）图2 A(0,1,0),A 1 (0,1,2),B(0,0,0). B 1 (0,0,2),C 1 ( 2 3 ,0,2),
15、D(0,0, 3 2 ) 因此 ). 3 4 ,1,0(),0,0, 3 2 ( ),0,1,0(),2,0,0( 112 1 = = DACB ABAA 设E（ 2 3 ，y 0 ，z 0 ），则)2,( 001 = zyEB， 因此.,0 111111 EBCBCBEB =从而 又由题设B 1 EA 1 D，故B 1 E是异面直线B 1 C 1 与A 1 D的公垂线。 下面求点E的坐标。 因B 1 EA 1 D，即从而,0 11 =DAEB )1(,0)2( 3 4 00 =+ zy 又得且,D),2,1,0( 11001 AEAzyEA = )2(, 3 4 2 1 1 00 = zy
16、联立（1）、（2）,解得 25 16 0 =y , 25 38 0 =z ,即 = 25 38 , 25 16 ,0E， = 25 12 , 25 16 ,0 1 EB。 所以 5 4 25 12 25 16 | 22 1 = + =EB . （）由BCAB，BCDB，故BC面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高. 下面求四边形ABDE的面积。 因为S ABCD S ABE + S ADE ， 3 2 |,1| = BDAB 而S ABE . 25 19 25 38 1 2 1 | 2 1 0 =zAB S BDE . 75 16 25 16 3 2 2 1 | 2 1 0 =yBD 故S
17、 ABCD . 75 73 75 16 25 19 =+ 所以. 150 73 2 3 75 73 3 1 | 3 1 = BCSV ABDECABCD （20）（本小题12分） 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 = = 2 3 0(m)35.4 4 1218 xx x h . 故长方体的体积为 ). 2 3 0()(m69)35.4(2)( 3322 xxxxxxV = 从而).1(18)35.4(1818)( 2 xxxxxxV = 令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0 x1时，V（x）0；当1x 3 2 时，V（x）0， 故在x=1处V（x）取得
18、极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 从而最大体积VV（x）91 2 -61 3 （m 3 ），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m 3 。 （21）（本小题12分） （）解：设抛物线的标准方程为pxy 2 2 =，则82 =p，从而.4=p 因此焦点)0, 2 ( p F的坐标为（2，0）. 又准线方程的一般式为 2 p x =。 从而所求准线l的方程为2=x。 答（21）图 （）解法一：如图（21）图作ACl，BDl，垂足为C、D，则由抛物线的定义知 |FA |=|FC|,|FB|=|BD|.
19、 记A、B的横坐标分别为x x x z ，则 |FA |AC|4cos| 22 cos| 2 +=+=+ aFA pp aFA p x x 解得 a FA cos1 4 | =， 类似地有aFBFB cos|4| =，解得 a FB cos1 4 | + =。 记直线m与AB的交点为E，则 a a aa FBFA FBFA FAAEFAFE 2 sin cos4 cos1 4 cos1 4 2 1 |)|(| 2 1 2 | | = + = + = 所以 a a FE FP 2 sin 4 cos | | =。 故8 sin sin24 )2cos1( sin 4 2cos| 2 2 2 =
20、a a a a aFPFP。 解法二：设),( AA yxA，),( BB yxB，直线AB的斜率为ak tan=，则直线方程为 )2( = xky。 将此式代入xy 8 2 = ,得04)2(4 2222 =+= kxkxk，故 2 2 )2( k kk xx BA + =+。 记直线m与AB的交点为),( EE yxE，则 2 2 )2(2 2 k kxx x BA E + = + =， k xky EE 4 )2( =， 故直线m的方程为 + = 2 2 4214 k k x kk y . 令y=0,得P的横坐标4 42 2 2 + + k k x P 故 ak k xFP P 22 2
21、 sin 4)1(4 2| = + =。 从而8 sin sin24 )2cos1( sin 4 2cos| 2 2 2 = a a a a aFPFP为定值。 （22）（本小题12分） （）解：由)2)(1( 6 1 1111 += aaSa，解得a 1 1或a 1 2，由假设a 1 S 1 1，因此 a 1 2。 又由a n+1 S n+1 - S n )2)(1( 6 1 )2)(1( 6 1 11 +=+ + nnnn aaaa， 得a n+1 - a n -30或a n+1 -a n 因a n 0，故a n+1 -a n 不成立，舍去。 因此a n+1 - a n -30。从而a n
22、 是公差为3，首项为2的等差数列，故a n 的通项为 a n 3n-2。 （）证法一：由1)12( = b n a可解得 13 3 log 1 1log = += n n a b z n zz ； 从而 =+= 13 3 5 6 2 3 log 21 n n bbbT znn 。 因此 23n 2 13 3 5 6 2 3 log)3(log13 3 + =+ n n aT znzn 。 令 23n 2 13 3 5 6 2 3 )( 3 + = n n xf,则 2 3 3 )23)(53( )33( 23n 33n 53 23 )( )1( + + = + + + + = + nn n n
23、 n nf nf 。 因079)23)(53()33( 22 +=+ nnnn，故 )()1( nfnf+ . 特别的1 20 27 )1()(= fnf。从而0)(log)3log(13nfaT nn =+， 即)3(log13 2 + nn aT。 证法二：同证法一求得b n 及T n 。 由二项式定理知当c0时，不等式 cc 31)1( 3 +成立。 由此不等式有 333 2 13 1 1 5 1 1 2 1 12log13 + + +=+ n T n + + + 13 3 1 5 3 1 2 3 12log 2 n )3(log)23(log 13 23 4 8 2 5 2log 222 +=+= + n an n n 。 证法三：同证法一求得b n 及T n 。 令A n n n 3 3 5 6 2 3 ，B n n n 3 13 6 7 4 3 + ，C n 13 23 7 8 4 5 + + n n 。 因 13 23 3 13 13 3 + + n n n n n n ，因此 2 23 3 + = n CBAA nnnn 。 从而 3 2 3 2 2log 13 3 5 6 3 2 2log13 xn A n n T = =+ )3(log)23(log2log 222 +=+= nnnn anCBA。
