1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国 卷) 理科数学（必修+选修 ） 注意事项： 1 本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页，总分 150 分， 考试时间 120 分钟 2 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的 位置上 3 选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上 4 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚 5 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答超出答题区域或
2、在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效 6 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回 第卷（选择题） 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=ii 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 4 3 VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示
3、球的半径 () (1 ) ( 012 ) kk nk nn Pk Cp p k n =， ， ， ， 一、选择题 1 sin 210 = null （ ） A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 2函数 sinyx= 的一个单调增区间是（ ） A 44 ， B 3 44 ， C 3 2 ， D 3 2 2 ， 3设复数 z 满足 12i i z + = ，则 z =（ ） A 2i+ B 2i C 2i D 2i+ 4下列四个数中最大的是（ ） A 2 (ln 2) B ln(ln 2) C ln 2 D ln 2 5 在 ABC 中， 已知 D 是 AB 边上一点， 若 1 2 3
4、ADDBCD CACB=+ nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull ， ， 则 =（ ） A 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 3 6不等式 2 1 0 4 x x 的解集是（ ） A (21) ， B (2 )+， C (21) (2 ) +， D (2)(1) +， 7已知正三棱柱 111 ABC A B C 的侧棱长与底面边长相等，则 1 AB 与侧面 11 ACC A 所成角的 正弦值等于（ ） A 6 4 B 10 4 C 2 2 D 3 2 8已知曲
5、线 2 3ln 4 x y x= 的一条切线的斜率为 1 2 ，则切点的横坐标为（ ） A 3 B 2 C 1 D 1 2 9把函数 e x y = 的图像按向量 (2 3)= ，a 平移，得到 ()y fx= 的图像，则 ()f x =（ ） A 3 e2 x + B 3 e2 x+ C 2 e3 x + D 2 e3 x+ 10从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求 星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ） A 40 种 B 60 种 C 100 种 D 120 种 11 设 12 FF， 分别是双曲线
6、22 22 x y ab 的左、 右焦点， 若双曲线上存在点 A ， 使 12 90FAF= null 且 12 3AFAF= ，则双曲线的离心率为（ ） A 5 2 B 10 2 C 15 2 D 5 12设 F 为抛物线 2 4y x= 的焦点， ABC， 为该抛物线上三点，若 FA FB FC+=0 nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull ， 则 FA FB FC+= nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull （ ） A 9 B 6 C 4 D 3 第卷（非选择题） 本卷
7、共 10 题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 8 2 1 (1 2 )xx x + 的展开式中常数项为 （用数字作答） 14在某项测量中，测量结果 服从正态分布 2 (1 )( 0)N ， 若 在 (0 1)， 内取值的概 率为 0.4，则 在 (0 2)， 内取值的概率为 15 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上 如果正四棱柱的底面边长为 1cm， 那么该棱柱的表面积为 cm 2 16已知数列的通项 52 n an= + ，其前 n 项和为 n S ，则 2 lim n n S n = 三、解答题：本大题共 6 小题，共 7
8、0 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在 ABC 中，已知内角 A = 3 ，边 23BC = 设内角 B x= ，周长为 y （ 1）求函数 ()yfx= 的解析式和定义域； （ 2）求 y 的最大值 18 （本小题满分 12 分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A ： “取出的 2 件产 品中至多有 1 件是二等品”的概率 ( ) 0.96PA= （ 1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ； （ 2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件， 表示取出的 2 件产品中二等品的件数， 求 的分布列
9、 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 侧棱 SD 底面 ABCD E F， 分别为 ABSC， 的中点 （ 1）证明 EF 平面 SAD ； （ 2）设 2SD DC= ，求二面角 A EF D 的大小 A E B C F S D 20 （本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 34xy = 相切 （ 1）求圆 O 的方程； （ 2）圆 O 与 x 轴相交于 AB， 两点，圆内的动点 P 使 PA PO PB， 成等比数列，求 PA PB nullnullnullnullnullnullnullnull
10、 i 的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 设数列 n a 的首项 1 1 3 (01) 234 2 n n a aa n = =， ， ， ， （ 1）求 n a 的通项公式； （ 2）设 32 nn n ba a=，证明 1nn bb + ，如果过点 ()ab， 可作曲线 ()yfx= 的三条切线，证明： ()ab fa 3 ， 得 2 0 B 3 应用正弦定理，知 23 sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A = 3 ， 2 sin 4sin sin BC AB C x A = 3 因为 yABBCAC=+， 所以 22 4sin 4sin 2 3 0
11、 3 yx x x =+ + 3 ， （ 2）因为 1 4sin cos sin 23 2 yx xx 3 =+ + 2 5 43sin 23xx =+ 6 666 ， 所以，当 x += 6 2 ，即 x = 3 时， y 取得最大值 63 18解： （ 1）记 0 A 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ， 1 A 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” 则 01 AA， 互斥，且 01 AA A=+，故 01 () ( )PA PA A=+ 01 21 2 2 () () (1 ) C (1 ) 1 PA PA p pp p =+ = + = 于是 2 0.96 1 p
12、= 解得 12 0.2 0.2pp=， （舍去） （ 2） 的可能取值为 012， ， 若该批产品共 100 件，由（ 1）知其二等品有 100 0.2 20 = 件，故 2 80 2 100 C 316 (0) C495 P = = 11 80 20 2 100 CC 160 (1) C 495 P = = 2 20 2 100 C 19 (2) C 495 P = = 所以 的分布列为 0 1 2 P 316 495 160 495 19 495 19解法一： （ 1）作 FGDC 交 SD 于点 G ，则 G 为 SD 的中点 连结 1 2 AGFG CD ， ，又 CD AB ， 故
13、FG AE AEFG ， 为平行四边形 EFAG ，又 AG 平面 SAD EF ， 平面 SAD 所以 EF 平面 SAD （ 2）不妨设 2DC = ，则 42SD DG ADG= =， 为等 腰直角三角形 取 AG 中点 H ，连结 DH ，则 DH AG 又 AB 平面 SAD ，所以 AB DH ，而 AB AG A= ， 所以 DH 面 AEF 取 EF 中点 M ，连结 MH ，则 HM EF 连结 DM ，则 DM EF 故 DMH 为二面角 A EF D的平面角 A E B C F S D H G M 2 tan 2 1 DH DMH HM = 所以二面角 A EF D 的大
14、小为 arctan 2 解法二： （ 1）如图，建立空间直角坐标系 Dxyz 设 (00) (00 )A aSb， ， ， ， ，则 (0)(00)B aa C a， ， 00 222 aab Ea F ， ， ， 0 2 b EF a = nullnullnullnull ， ， 取 SD 的中点 00 2 b G ， ， ，则 0 2 b AG a = nullnullnullnull ， ， EFAGEF AGAG= nullnullnullnull nullnullnullnull ， 平面 SAD EF ， 平面 SAD ， 所以 EF 平面 SAD （ 2）不妨设 (1 0 0)A
15、 ， ， ，则 11 (1 1 0) (0 1 0) (0 0 2) 1 0 0 1 22 BC S E F ， ， ， ， ， ， ， ， ， EF 中点 111 1 1 1 (101) 0 222 2 2 2 M MD EF MD EF MD EF = = = nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnull i， ， ， ， ， ， ， ， 又 1 00 2 EA = nullnullnullnull ， ， 0EA EF EA EF= nullnullnullnull nullnull
16、nullnull i ， ， 所以向量 MD nullnullnullnullnull 和 EA nullnullnullnull 的夹角等于二面角 A EF D 的平面角 3 cos 3 MD EA MD EA MD EA = = nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnull i nullnullnullnullnullnullnullnullnull i ， 所以二面角 AEFD 的大小为 3 arccos 3 20解： （ 1）依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 34xy
17、= 的距离， 即 4 2 13 r = + 得圆 O 的方程为 22 4xy+= A A E B C F S D G M y z x （ 2）不妨设 1212 (0) (0)Ax Bx x x， ， 由 2 4x = 即得 ( 2 0) (2 0)AB ， ， 设 ()Px y， ，由 PA PO PB， 成等比数列，得 22 22 22 (2) (2)x yx yxy+ +=+i ， 即 22 2xy= (2 )(2 )PA PB x y x y= nullnullnullnullnullnullnullnull ii， 22 2 4 2( 1). x y y =+ = 由于点 P 在圆 O
18、 内，故 22 22 4 2. xy xy + = ， 由此得 2 1y 所以 PA PB nullnullnullnullnullnullnullnull i 的取值范围为 20) ， 21解： （ 1）由 1 3 234 2 n n a an =， ， 整理得 1 1 1() 2 nn aa = 又 1 10a，所以 1 n a 是首项为 1 1 a ，公比为 1 2 的等比数列，得 1 1 1 1(1 ) 2 n n aa = （ 2）方法一： 由（ 1）可知 3 0 2 n a 那么， 22 1nn bb + 22 11 2 2 2 (3 2 ) (3 2 ) 33 32 (32) 2
19、2 9 (1). 4 nnnn nn n n aaaa aa a a + = = = 又由（ 1）知 0 n a 且 1 n a ，故 22 1 0 nn bb + ， 因此 1nn bb n + ， 为正整数 方法二： 由（ 1）可知 3 01 2 nn aa ， ， 因为 1 3 2 n n a a + = ， 所以 11 1 (3 ) 32 2 nn nn n aa ba a + + = 由 1 n a 可得 3 3 (3 2 ) 2 n nn a aa ， 即 2 2 3 (3 2 ) 2 n nn n a aa a i 两边开平方得 3 32 2 n nn n a aa a i 即
20、1nn bb n + ， 为正整数 22解： （ 1）求函数 ()f x 的导数； 2 () 3 1xxf = 曲线 ()yfx= 在点 ()M tft， 处的切线方程为： () ()( )yft ftxt= ， 即 23 (3 1) 2y txt= （ 2）如果有一条切线过点 ()ab， ，则存在 t ，使 23 (3 1) 2bt at= 于是，若过点 ()ab， 可作曲线 ()yfx= 的三条切线，则方程 32 23 0tatab+= 有三个相异的实数根 记 32 () 2 3gt t at a b= +， 则 2 () 6 6gt t at = 6( )tt a= 当 t 变化时， (
21、) ()gt g t， 变化情况如下表： t (0)， 0 (0 )a， a ()a +， ()gt + 0 0 + ()gt null 极大值 ab+ null 极小值 ()bfa null 由 ()gt的单调性，当极大值 0ab+ 时，方程 () 0gt = 最多有 一个实数根； 当 0ab+=时，解方程 () 0gt = 得 3 0 2 a tt=， ，即方程 () 0gt = 只有两个相异的实 数根； 当 () 0bfa=时，解方程 () 0gt = 得 2 a tta=， ，即方程 () 0gt = 只有两个相异 的实数根 综上，如果过 ()ab， 可作曲线 ()y fx= 三条切线，即 () 0gt = 有三个相异的实数根， 则 0 () 0. ab bfa + ， 即 ()ab fa
