1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利 ! 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘 贴考试用条形码 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 参考公式： 如果事件 AB， 互斥，那么 球的表面积公
2、式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 AB， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ()()()PAB PA PB= 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 i 是虚数单位， 3 2i 1i = （ ） 1i+ 1i+ 1i 1i 2设变量 x y， 满足约束条件 1 1 33 xy xy xy + ， 的离心率为 3 ，且它的一条准线与抛物线 2 4y x= 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） 22 1 12 24 xy = 22 1 48 96 xy = 22 2 1 33 xy = 22 1 36 xy = 5函数 2 lo
3、g ( 4 2)( 0)yxx=+的反函数是（ ） 1 42( 2) xx yx + = 1 42( 1) xx yx + = 2 42( 2) xx yx + = 2 42( 1) xx yx + = 6设 ab， 为两条直线， ， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） 若 ab， 与 所成的角相等，则 ab 若 ab ， ， ，则 ab 若 abab ， ，则 若 ab ， ， ，则 ab 7在 R 上定义的函数 ()f x 是偶函数，且 () (2 )f xf x= ，若 ()f x 在区间 1 2， 上是减函 数，则 ()f x （ ） 在区间 2 1， 上是增函数，在区间
4、3 4， 上是增函数 在区间 2 1， 上是增函数，在区间 3 4， 上是减函数 在区间 2 1， 上是减函数，在区间 3 4， 上是增函数 在区间 2 1， 上是减函数，在区间 3 4， 上是减函数 8设等差数列 n a 的公差 d 不为 0， 1 9ad= 若 k a 是 1 a 与 2k a 的等比中项，则 k =（ ） 2 4 6 8 9设 abc， 均为正数，且 1 2 2log a a= ， 1 2 1 log 2 b b = ， 2 1 log 2 c c = 则（ ） abc cba cab bac （）求数列 n a 的通项公式； （）求数列 n a 的前 n 项和 n S
5、； A B C D P E （）证明存在 k N ，使得 11nk nk aa aa + 对任意 n N 均成立 22 （本小题满分 14 分） 设椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab +=的左、右焦点分别为 12 FFA， 是椭圆上的一点， 212 AF F F ，原点 O 到直线 1 AF 的距离为 1 1 3 OF （）证明 2ab= ； （）设 12 QQ， 为椭圆上的两个动点， 12 OQ OQ ，过原点 O 作直线 12 QQ 的垂线 OD ， 垂足为 D ，求点 D 的轨迹方程 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答 一、选择题：本题
6、考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分 11 2 12 14 13 3 14 30 xy+= 15 8 3 16 390 三、解答题 17本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数 sin( )yA x =+的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12 分 （）解： ( ) 2cos (sin cos ) 1 sin 2 cos 2 2 sin 2 4 fx x x x x x x =+= 因此，函数 ()f x 的最小正周期为 （）
7、解法一： 因为 () 2sin2 4 fx x = 在区间 3 88 ， 上为增函数， 在区间 3 3 84 ， 上为减函数， 又 0 8 f = ， 3 2 8 f = ， 3 3 2sin 2cos 1 4244 f = = = ， 故函数 ()f x 在区间 3 84 ， 上的最大值为 2 ，最小值为 1 解法二：作函数 () 2sin2 4 fx x = 在长度为一个周期的区间 9 84 ， 上的图象如下： y x O 2 2 8 3 8 5 8 3 4 7 8 9 8 由图象得函数 ()f x 在区间 3 84 ， 上的最大值为 2 ，最小值为 3 1 4 f = 18本小题主要考查
8、互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础 知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分 （）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A ， “从乙盒内取出的 2 个球均为 黑球”为事件 B 由于事件 AB， 相互独立，且 2 3 2 4 1 () 2 C PA C = = ， 2 4 2 6 2 () 5 C PB C = 故取出的 4 个球均为黑球的概率为 12 1 ()()() 25 5 PAB PA PB= = （）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是黑球”为事件 C ， “从甲盒内取出
9、的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是黑球；从乙盒内取 出的 2 个球均为黑球”为事件 D 由于事件 CD， 互斥， 且 2 11 3 24 22 46 4 () 15 C CC PC CC = ， 1 2 3 4 22 46 1 () 5 C C PD CC = = 故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 417 ()()() 15 5 15 PC D PC PD+ =+=+= （）解： 可能的取值为 0123， ， ， 由（） ， （）得 1 (0) 5 P = = ， 7 (1) 15 P = ， 1 3 22 46 11 (3) 30 C P CC = = 从而 3 (2)1
10、(0)(1)(3) 10 PPPP= = = = = = 的分布列为 0 1 2 3 P 1 5 7 15 3 10 1 30 的数学期望 17 3 17 01 2 3 515 10 306 E =+ + + = 19本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力满分 12 分 （）证明：在四棱锥 P ABCD 中，因 PA 底面 ABCD ， CD 平面 ABCD ，故 PA CD AC CD PA AC A=， ， CD 平面 PAC 而 AE 平面 PAC ， CD AE （）证明：由 PA AB BC= = ， 60ABC = ，
11、可得 AC PA= E 是 PC 的中点， AE PC 由（）知， AECD ，且 PC CD C= ，所以 AE 平面 PCD 而 PD 平面 PCD ， AE PD PA 底面 ABCD PD， 在底面 ABCD 内的射影是 AD ， ABAD ， ABPD 又 AB AE A= ，综上得 PD 平面 ABE （） 解法一： 过点 A 作 AMPD ， 垂足为 M ， 连结 EM 则 （） 知， AE 平面 PCD ， AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ，则 EMPD 因此 AME 是二面角 A PD C的平面角 由已知，得 30CAD= 设 ACa= ， 可得 23 21 2 33
12、 PA a AD a PD a AE a= = =， 在 ADPRt 中， AMPD ， AMPD PAAD= ， 则 23 27 3 7 21 3 aa PA AD AM a PD a = = 在 AEMRt 中， 14 sin 4 AE AME AM = 所以二面角 APDC的大小是 14 arcsin 4 解法二：由题设 PA 底面 ABCD ， PA平面 PAD ，则平面 PAD 平面 ACD ，交线 为 AD 过点 C 作 CF AD ，垂足为 F ，故 CF 平面 PAD 过点 F 作 FM PD ，垂足为 M ， 连结 CM ，故 CM PD 因此 CMP 是二面角 A PD C
13、 的平面角 由已知，可得 30CAD= ，设 ACa= ， 可得 23 21 1 3 3326 PAaAD aPD aCF aFD a= = = =， FMD PAD ， FM FD PA PD = 于是， 3 7 6 14 21 3 aa FD PA FM a PD a = 在 CMFRt 中， 1 2 tan 7 7 14 a CF CMF FM a = = 所以二面角 APDC的大小是 arctan 7 20本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的 单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法满分 12 分 （）解：当 1a = 时， 2
14、2 () 1 x fx x = + ， 4 (2) 5 f = ， A B C D P E F M A B C D P E M 又 22 22 22 2( 1) 2 2 2 2 () (1) (1) x xx x fx xx + = + ， 6 (2) 25 f = 所以，曲线 ()y fx= 在点 (2 (2)f， 处的切线方程为 46 (2) 525 yx = ， 即 62320 xy+= （）解： 22 22 22 2( 1) 2(2 1) 2( )( 1) () (1) (1) ax xaxa xaax fx xx + + + = + 由于 0a ，以下分两种情况讨论 （ 1）当 0a
15、 时，令 () 0fx = ，得到 1 1 x a = ， 2 x a= 当 x 变化时， () ()f xfx ， 的变 化情况如下表： x 1 a ， 1 a 1 a a ， a ()a +， ()f x 0 + 0 ()f x + 极小值 null 极大值 null 所以 ()f x 在区间 1 a ， ， ()a +， 内为减函数，在区间 1 a a ， 内为增函数 函数 ()f x 在 1 1 x a = 处取得极小值 1 f a ，且 2 1 f a a = ， 函数 ()f x 在 2 1 x a = 处取得极大值 ()f a ，且 () 1fa= （ 2）当 0a ， 可得 1
16、 1 1 22 1 nn aa + + + =+ ， 所以 2 n n n a 为等差数列， 其公差为 1， 首项为 0， 故 2 1 n n n a n = ， 所以数列 n a 的通项公式为 (1) 2 nn n an= + （）解：设 234 1 23 (2) (1) nn n Tnn =+ + + +null ， 345 1 23 (2)(1) nn n + =+ + + +null 当 1 时，式减去式， 得 21 23 1 1 (1 ) ( 1) ( 1) 1 n nn n n Tn + + + =+ = null ， 21 1 2 12 22 (1) (1) (1 ) 1 (1
17、) nn nn n nn T + = = 这时数列 n a 的前 n 项和 212 1 2 (1) 22 (1 ) nn n n nn S + + + =+ 当 1 = 时， (1) 2 n nn T = 这时数列 n a 的前 n 项和 1 (1) 22 2 n n nn S + = + （）证明：通过分析，推测数列 1n n a a + 的第一项 2 1 a a 最大，下面证明： 2 1 2 1 4 ,2 2 n n a a n aa + + 知 0 n a ，要使式成立，只要 2 1 2(4)(2) nn aan + += 12 1 222 2 nn n na + + +=， 所以式成立
18、 因此，存在 1k = ，使得 112 1 nk nk aaa aaa + = 对任意 n N 均成立 22 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线方程、 求曲线的方程等基础知识， 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分 14 分 （）证法一：由题设 212 AF F F 及 1 (0)Fc ， ， 2 (0)Fc， ，不妨设点 ()A cy， ，其中 0y 由于点 A 在椭圆上，有 22 22 1 cy ab + = ，即 22 2 22 1 ab y ab + = 解得 2 b y a = ，从而得到 2 b Ac a ， 直线 1 AF 的方程为 2 (
19、) 2 b y xc ac =+，整理得 22 20bx acy bc += 由题设，原点 O 到直线 1 AF 的距离为 1 1 3 OF ，即 2 422 3 4 cbc bac = + ， 将 222 cab=代入上式并化简得 22 2ab= ，即 2ab= 证法二：同证法一，得到点 A 的坐标为 2 b c a ， 过点 O 作 1 OB AF ，垂足为 B ，易知 1 FBO 12 FF A ，故 2 11 BOFA OF F A = 由椭圆定义得 12 2AF AF a+=，又 1 1 3 BOOF= ， 所以 22 12 1 32 FA FA FA a FA = ， 解得 2 2
20、 a FA= ，而 2 2 b FA a = ，得 2 2 ba a = ，即 2ab= （）解法一：设点 D 的坐标为 00 ()x y， 当 0 0y 时，由 12 OD Q Q 知，直线 12 QQ 的斜率为 0 0 x y ，所以直线 12 QQ 的方程为 0 00 0 () x y xx y y = + ，或 ykxm=+，其中 0 0 x k y = ， 2 0 0 0 x my y =+ 点 11 1 2 2 2 ()( )Qx y Qx y， ， 的坐标满足方程组 222 22 ykxm x yb =+ += ， 将式代入式，得 222 2( ) 2x kx m b+=， 整理
21、得 22 2 2 (1 2 ) 4 2 2 0kx kmx m b+=， 于是 12 2 4 12 km xx k += + ， 2 12 2 22 12 mb xx k = + 由式得 22 12 1 2 12 1 2 ()() ()yy kx m kx m k xx kmx x k= +=+ 22 222 22 4 2 12 12 12 mb km mbk kkm kk =+= + + 由 12 OQ OQ 知 12 12 0 xx yy+=将式和式代入得 2222 2 322 0 12 mbbk k = + ， 22 2 32(1)mbk=+ 将 2 00 0 x x kmy y y =
22、 = +， 代入上式，整理得 22 2 00 2 3 x yb+= A O 1 F 2 F B x y 当 0 0y = 时，直线 12 QQ 的方程为 0 x x= ， 11 1 2 2 2 ()( )Qx y Qx y， ， 的坐标满足方程组 0 222 22 xx x yb = += ， 所以 120 x xx=， 22 0 12 2 2 bx y = ， 由 12 OQ OQ 知 12 12 0 xx yy+=，即 22 2 0 0 2 0 2 bx x = ， 解得 22 0 2 3 x b= 这时，点 D 的坐标仍满足 22 2 00 2 3 x yb+= 综上，点 D 的轨迹方程
23、为 22 2 2 3 x yb+= 解法二： 设点 D 的坐标为 00 ()x y， ， 直线 OD 的方程为 00 0yx xy = ， 由 12 OD Q Q ， 垂足为 D ，可知直线 12 QQ 的方程为 22 00 00 x xyyx y+ =+ 记 22 00 mx y=+（显然 0m ） ，点 11 1 2 2 2 ()( )Qx y Qx y， ， 的坐标满足方程组 00 222 22 xx yy m xyb += += ， 由式得 00 y ymxx= 由式得 22 22 22 00 0 22yx yy yb+= 将式代入式得 22 2 22 000 2( ) 2yx m x
24、x yb+ = 整理得 222 2 22 00 0 0 (2 ) 4 2 2 0 xyx mxxm by+=， 于是 222 0 12 22 00 22 2 mby xx x y = + 由式得 00 x xmyy= 由式得 22 22 22 00 0 22x xxyxb+= 将式代入式得 222 22 000 ()2myy xy xb+=， 整理得 222 2 22 00 0 0 (2 ) 2 2 0 xyy myym bx+=， 于是 222 0 12 22 00 2 2 mbx yy x y = + 由 12 OQ OQ 知 12 12 0 xx yy+=将式和式代入得 222222 00 22 22 00 00 22 2 0 mbymbx xy xy + = + ， 2222 00 32( )0mbxy+= 将 22 00 mx y=+代入上式，得 22 2 00 2 3 x yb+= 所以，点 D 的轨迹方程为 22 2 2 3 x yb+=
