1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷） 理科数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 II 卷第 22 题为选考题， 其他题为必考题考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准 考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上 2选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚 3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作
2、答，超出答题区域书写的答案无效 4保持卡面清洁，不折叠，不破损 5作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 标号涂黑 参考公式： 样本数据 1 x ， 2 x ， null ， n x 的标准差 锥体体积公式 22 2 12 1 ( ) ( ) ( ) n sxxxx xx n =+null 1 3 VSh= 其中 x为样本平均数 其中 S 为底面面积、 h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 VSh= 2 4SR= ， 3 4 3 VR= 其中 S 为底面面积， h为高 其中 R为球的半径 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，
3、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1已知命题 :pxR ， sin 1x ，则（ ） :pxR ， sin 1x :px R ， sin 1x :pxR ， sin 1x :px R ， sin 1x 2已知平面向量 (1 1) (1 1)= =， ，ab，则向量 13 22 =ab（ ） (2 1)， (21) ， (10) ， (12) ， 3函数 sin 2 3 yx = 在区间 2 ， 的简图是（ ） 4已知 n a 是等差数列， 10 10a = ，其前 10 项和 10 70S = ，则 其公差 d =（ ） 2 3 1 3 1 3 2 3 5如果执行右面的程序
4、框图，那么输出的 S =（ ） 2450 2500 2550 2652 6已知抛物线 2 2( 0)ypxp=的焦点为 F ， 点 11 1 2 2 2 ()( )Px y Px y， ， ， 33 3 ()Px y， 在抛物线上， 且 213 2x xx=+， 则有（ ） 12 3 FP FP FP+= 22 2 12 3 FP FP FP+= 213 2 FP FP FP=+ 2 213 FP FP FP= 7已知 0 x ， 0y ， x aby， 成等差数列， x cdy， 成等比数列，则 2 ()ab cd + 的 最小值是（ ） 0 1 2 4 y x 1 1 2 3 O 6 y
5、x 1 1 2 3 O 6 y x 1 1 2 3 O 6 y x 2 6 1 O 1 3 开始 1k = 0S = 50?k 是 2SS k=+ 1kk=+ 否 输出 S 结束 8已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出 的尺寸（单位： cm） ，可得这个几何体的体积是 （ ） 3 4000 cm 3 3 8000 cm 3 3 2000cm 3 4000cm 9若 cos 2 2 2 sin 4 = ，则 cos sin + 的 值为（ ） 7 2 1 2 1 2 7 2 10曲线 1 2 e x y = 在点 2 (4 e )， 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） 2 9 e 2
6、2 4e 2 2e 2 e 11甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表 123 sss， 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） 312 sss 213 sss 123 sss 231 sss 12一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且 底面边长与各侧棱长相等， 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等 设四棱锥、 三棱锥、 三棱柱的高分别为 1 h ， 2 h ， h，则 12 :hhh=（ ） 3:1:1 3:2:2 3:2: 2 3:2: 3 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5
7、5 乙的成绩 环数 78910 频数 644 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 做答，第 22 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心 率为 14设函数 (1)( ) () x xa fx x + = 为奇函数，则 a = 15 i是虚数单位， 510 34 i i + = + （用 abi
8、+ 的形式表示， abR， ） 16某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个 班，不同的安排方法共有 种 （用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 如图，测量河对岸的塔高 AB时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C 与 D现 测得 BCD BDC CD s = =， ，并在点 C 测得塔顶 A的仰角为 ，求塔高 AB 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 S ABC 中，侧面 SAB与侧面 SAC 均为等边 三角形， 90BAC= ， O为 BC中点 （）证明： SO 平面
9、 ABC ； （）求二面角 A SC B 的余弦值 19 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy中，经过点 (0 2)， 且斜率为 k 的直线 l与椭圆 2 2 1 2 x y+=有两个不 同的交点 P和 Q （ I）求 k 的取值范围； （ II）设椭圆与 x轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 AB， ，是否存在常数 k ，使得向量 OP OQ+ nullnullnullnull nullnullnullnull 与 AB nullnullnullnull 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由 O S B A C 20 （本小题满分 12 分） 如图，面积为 S
10、的正方形 ABCD中有一个不规则的图形 M ，可按下面方法估计 M 的面积： 在正方形 ABCD中随机投掷 n个点，若 n个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计 值为 m S n ，假设正方形 ABCD的边长为 2， M 的面积为 1，并向正方形 ABCD中随机投 掷 10000个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目 （ I）求 X 的均值 EX ； （ II）求用以上方法估计 M 的面积时， M 的面积的估计值与实际 值之差在区间 (0.03 )0.03， 内的概率 附表： 10000 10000 0 ( ) 0.25 0.75 k tt t t Pk C = = k 242
11、4 2425 2574 2575 ()Pk 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590 21 （本小题满分 12 分） 设函数 2 () ln( )f xxax=+ （ I）若当 1x = 时， ()f x 取得极值，求 a的值，并讨论 ()f x 的单调性； （ II）若 ()f x 存在极值，求 a的取值范围，并证明所有极值之和大于 e ln 2 22 请考生在 ABC， 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时， 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22（本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图，已知 AP是 Onull 的切线，
12、P为切点， AC 是 Onull 的割线，与 Onull 交于 B C， 两点，圆心 O在 PAC 的 内部，点 M 是 BC的中点 （）证明 APOM， 四点共圆； （）求 OAM APM+的大小 22（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 1 Onull 和 2 Onull 的极坐标方程分别为 4cos 4sin = =， （）把 1 Onull 和 2 Onull 的极坐标方程化为直角坐标方程； （）求经过 1 Onull ， 2 Onull 交点的直线的直角坐标方程 22（本小题满分 10 分）选修 45 ；不等式选讲 D C BA M A P O M C B 设函数
13、() 2 1 4fx x x=+ （ I）解不等式 () 2fx ； （ II）求函数 ()yfx= 的最小值 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案（宁夏） 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题 13 3 14 1 15 12i+ 16 240 三、解答题 17解：在 BCD 中， CBD = 由正弦定理得 sin sin BC CD BDC CBD = 所以 sin sin sin sin( ) CD BDC s BC CBD = + 在 ABCRt 中， tan sin tan sin( ) s AB BC ACB = +
14、18证明： （）由题设 ABACSBSC= SA，连结 OA， ABC 为等腰直角三角形，所以 2 2 OA OB OC SA= ，且 AOBC ，又 SBC 为等腰三角形，故 SO BC ，且 2 2 SO SA= ，从而 222 OA SO SA+ 所以 SOA 为直角三角形， SO AO 又 AO BO O= 所以 SO 平面 ABC （）解法一： 取 SC 中点 M ，连结 AM OM， ，由（）知 SO OC SA AC= =， ，得 OM SC AM SC， OMA 为二面角 A SC B的平面角 由 AO BC AO SO SO BC O =， 得 AO 平面 SBC 所以 AO
15、 OM ，又 3 2 AM SA= ， 故 26 sin 3 3 AO AMO AM = O S B A C M 所以二面角 ASCB的余弦值为 3 3 解法二： 以 O为坐标原点，射线 OB OA， 分别为 x轴、 y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系 Oxyz 设 (1 0 0)B ， ， ，则 ( 100) (010) (001)CAS ， ， ， ， ， ， SC 的中点 11 0 22 M ， ， ， 11 11 01(10) 22 22 MO MA SC = = = nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull ，
16、 ， ， ， ， ， 00MO SC MA SC= nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull ， 故 ,MOSCMASC MOMA nullnullnullnullnull nullnullnullnull ， 等于二面角 A SC B的平面角 3 cos 3 MO MA MO MA MO MA = = nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnull n
17、ullnullnullnull， ， 所以二面角 ASCB的余弦值为 3 3 19解： （）由已知条件，直线 l的方程为 2ykx=+ ， 代入椭圆方程得 2 2 (2)1 2 x kx+ += 整理得 22 1 22 1 0 2 kx kx += 直线 l与椭圆有两个不同的交点 P和 Q等价于 222 1 84 420 2 kkk = += ， 解得 2 2 k 即 k 的取值范围为 22 22 + ， （）设 11 2 2 ()( )Px y Qx y， ， ，则 1212 ()OP OQ x x y y+=+ + nullnullnullnull nullnullnullnull ， ，
18、 由方程， 12 2 42 12 k xx k += + 又 12 12 ()22yykxx+= + O S B A C M x z y 而 (20) (01) ( 21)ABAB= nullnullnullnull ， ， ， 所以 OP OQ+ nullnullnullnull nullnullnullnull 与 AB nullnullnullnull 共线等价于 12 12 2( )x xyy+= + ， 将代入上式，解得 2 2 k = 由（）知 2 2 k ，故没有符合题意的常数 k 20解： 每个点落入 M 中的概率均为 1 4 p = 依题意知 1 10000 4 XB ， （
19、） 1 10000 2500 4 EX = （）依题意所求概率为 0.03 4 1 0.03 10000 X P ， 0.03 4 1 0.03 (2425 2575) 10000 X PP = 2574 10000 10000 2426 0.25 0.75 tt t t C = = 2574 2425 10000 10000 1 10000 10000 2426 0 0.25 0.75 0.25 0.75 tt ttt CC = = 0.9570 0.0423 0.9147= 21解： （） 1 () 2f xx xa =+ + ， 依题意有 (1) 0f =，故 3 2 a = 从而 2
20、231(21)(1) () 33 22 xx xx fx + + + = ()f x 的定义域为 3 2 + ， ，当 3 1 2 x ； 当 1 1 2 x 时， () 0fx 时， () 0fx 从而， ()f x 分别在区间 31 1 22 + ， ， 单调增加，在区间 1 1 2 ， 单调减少 （） ()f x 的定义域为 ()a+， ， 2 221 () x ax fx xa + + = + 方程 2 2210 xax+=的判别式 2 48a= （）若 0 ，即 22a ，故 ()f x 的极值 （）若 0= ，则 2a 或 2a = 若 2a = ， (2 )x +， ， 2 (2
21、 1) () 2 x fx x = + 当 2 2 x= 时， () 0fx = ， 当 22 2 22 x + ，时， () 0fx ， 所以 ()f x 无极值 若 2a = ， (2 )x+， ， 2 (2 1) () 0 2 x fx x = ， ()f x 也无极值 （）若 0 ，即 2a 或 2a ，则 2 2210 xax+ += 有两个不同的实根 2 1 2 2 aa x = ， 2 2 2 2 aa x + = 当 2a 时， 12 x ax a 时， 1 x a ， 2 x a ， ()f x 在 ()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值 判别方法知 ()f x 在
22、12 x xxx=， 取得极值 综上， ()f x 存在极值时， a的取值范围为 (2 )+， ()f x 的极值之和为 222 12 1 12 2 1 ( ) ( ) ln( ) ln( ) ln 1 1 ln 2 ln 22 e fx fx x a x x a x a+ = + + + + + = + = 22 （）证明：连结 OP OM， 因为 AP与 Onull 相切于点 P，所以 OP AP 因为 M 是 Onull 的弦 BC的中点，所以 OM BC 于是 180OPA OMA+ = 由圆心 O在 PAC 的内部， 可知四边形 APOM 的对角 互补，所以 APOM， 四点共圆 （
23、）解：由（）得 APOM， 四点共圆，所以 OAM OPM = 由（）得 OP AP 由圆心 O在 PAC 的内部，可知 90OPM APM+= 所以 90OAM APM+= 22 解：以极点为原点，极轴为 x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单 位 （） cosx = ， siny = ，由 4cos = 得 2 4cos = 所以 22 4x yx+= 即 22 40 xy x+=为 1 Onull 的直角坐标方程 同理 22 40 xy y+=为 2 Onull 的直角坐标方程 （）由 22 22 40 40 xy x xy y += += ， 解得 1 1 0 0 x y = = ， ， 2 2 2 2 x y = = 即 1 Onull ， 2 Onull 交于点 (0 0)， 和 (2 2)， 过交点的直线的直角坐标方程为 yx= 22解： （）令 21 4yx x=+，则 1 5 2 1 33 4 2 54 xx yx x xx =的解集为 5 (7) 3 x x + ， A P O M C B 1 2 O 2y = 4 x y （）由函数 21 4yx x=+的图像可知，当 1 2 x= 时， 21 4yx x= +取得最小 值 9 2
