1、 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 第I卷 一选择题 （1）复数 2 3 1 i i = + （A） 34i （B） 34i+ （C） 34i （D） 34i+ （2）函数 1ln( 1) (1) 2 x yx + =的反函数是 （A） 21 1( 0) x ye x + = （B） 21 1( 0) x ye x + = + （C） 21 1( R) x ye x + = （D） 21 1( R) x ye x + =+ （3）若变量 ,x y满足约束条件 1, , 325 x yx xy + ， 则 2zxy= + 的最大值为 （A）1 （B）2 （C
2、）3 （D）4 （4）如果等差数列 n a 中， 345 12aaa+=，那么 12 7 .aa a+ + = （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 （5）不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 （A） 2, 3xx x或 （B） 21 3xx x，或 （C） 21 3xx x ，或 （D） 2113xx x ，或 （6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张， 其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种 （7）为了得到函数 sin(2 ) 3 yx
3、 =的图像，只需把函数 sin(2 ) 6 yx =+的图像 （A）向左平移 4 个长度单位 （B）向右平移 4 个长度单位 （C）向左平移 2 个长度单位 （D）向右平移 2 个长度单位 （8） ABCV 中，点 D在 AB 上， CD平方 ACB 若 CB a= uur ， CA b= uur ， 1a = ， 2b = ， 则 CD = uuur （A） 12 33 ab+ （B） 21 33 ab+ （C） 34 55 ab+ （D） 43 55 ab+ （9）已知正四棱锥 SABCD 中， 23SA= ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A）1 （B） 3 （C）2 （D）3 （
4、10） 若曲线 1 2 yx = 在点 1 2 ,aa 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18， 则 a =来 （A）64 （B）32 （C）16 （D）8 （11）与正方体 111 1 ABCD ABC D 的三条棱 AB 、 1 CC 、 11 AD所在直线的距离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 （12） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab += 的离心率为 3 2 ， 过右焦点 F 且斜率为 (0)kk 的 直线与 C 相交于 A B、 两点若 3AFFB= uuur uuur ，则 k = （A）1
5、 （B） 2 （C） 3 （D）2 第卷 二 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 （13）已知 a是第二象限的角， 4 tan( 2 ) 3 a + = ，则 tana = （14）若 9 () a x x 的展开式中 3 x 的系数是 84 ，则 a = （15）已知抛物线 2 :2(0)Cy pxp= 的准线为 l，过 (1, 0)M 且斜率为 3 的直线与 l相交 于点 A，与 C 的一个交点为 B 若 AMMB= uuuur uuur ，则 p = （16）已知球 O的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆， AB 为圆 M 与圆 N 的公共 弦， 4AB
6、= 若 3OM ON=，则两圆圆心的距离 MN = 三 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分 10 分） ABC 中， D为边 BC 上的一点， 33BD = ， 5 sin 13 B = ， 3 cos 5 ADC=，求 AD （18） （本小题满分 12 分）已知数列 n a 的前 n项和 2 ()3 n n Snn=+null （）求 lim n n n a S ； （）证明： 12 22 2 3 12 nn aaa n + （19） （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 111 ABC ABC 中， AC BC= ，
7、 1 AA AB= ， D为 1 BB 的中点， E 为 1 AB 上的一点， 1 3AE EB= （）证明： DE 为异面直线 1 AB 与 CD的公垂线； （）设异面直线 1 AB 与 CD的夹角为 45，求二面角 111 AACB 的大小 （20） （本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1， T2， T3， T4，电流能通过 T1， T2， T3的概率都是 p，电流能通过 T4的概率是 0.9电流能否通过各元 件相互独立已知 T1， T2， T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 （）求 p； （）求电流能在 M 与 N 之间通过的概
8、率； （） 表示 T1， T2， T3， T4中能通过电流的元件个数，求 的期望 （21） （本小题满分 12 分） 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： () 22 22 10 0 xy ab ab =， 相交于 B、 D 两点，且 BD 的中点为 ( )1, 3M （）求 C 的离心率； （）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F， 17DF BF =null ，证明：过 A、 B、 D 三点的圆与 x 轴相切 （22） （本小题满分 12 分）设函数 ( ) 1 x f xe = （）证明：当 x-1 时， () 1 x fx x + ； （）设当 0 x 时， () 1 x fx ax + ，求 a 的取值范围
