1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文 科） 本试题共 4 页， 21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、 座位号，填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（ A） 填涂在答题卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” . 2、 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。答案不能答在试卷上。 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
2、 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 4、 作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、 错涂、多涂的，答案无效。 5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 锥 体的体积公式 13V Sh ， 其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高 . 球的体积 343VR ，其中 R 为球的半径。 一组数据 12, , , nx x x 的标准差 2 2 2 121 ( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn ， 其中 x 表示这组数据的平均
3、数。 一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符合题目要求的。 1. 设 i 为虚数单位，则复数 34ii =( ) ()A 43i ()B 43i ()C i ()D i 【解析】选 D 依题意： 23 4 (3 4 ) 43i i i iii 2 设集合 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1, 3 , 5UM；则 UCM ( ) ()A , , ()B 1,3,5 ()C , , ()D U 【解析】选 A UCM , , 3. 若向量 (1, 2), (3, 4)AB BC ；则 AC ( ) ()A (4,
4、6) ()B ( 4, 6) ()C ( , ) ()D (, ) 【解析】选 A (4, 6)AC AB BC 4. 下列函数为偶函数的是 ( ) ()A sinyx ()B 3yx ()C xye ()D lnyx 【解析】选 D sinyx 与 3yx 是奇函数 ,， xye 是非奇非 偶函数 5. 已知变量 ,xy满足约束条件 110 1 xy x xy ，则 2z x y 的最小值为 ( ) ()A 3 ()B 1 ()C 5 ()D 6 【解析】选 C 约束条件对应 ABC 边际及内的区域： (1, 0 ), ( 1, 2 ), 1, 2 )A B C 则 2 5,3z x y 6
5、. 在 ABC 中，若 6 0 , 4 5 , 3 2A B B C ，则 AC ( ) ()A 43 ()B 23 ()C ()D 【解析】选 B 由正弦定理得： 32 23s i n s i n s i n 6 0 s i n 4 5B C A C A C ACAB 7 某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为 ( ) ()A 72 ()B 48 ()C ()D 【解析】选 C 几何体是半球与圆锥叠加而成 它的体积为 32 221 4 13 3 5 3 3 02 3 3V 8. 在 平面直角坐标系 xOy 中，直线 3 4 5 0 xy 与圆 224xy相交于 ,AB两点， 则弦 AB
6、的长等于 ( ) ()A 33 ()B 23 ()C ()D 【解析】选 B 圆 224xy的圆心 (0,0)O 到直线 3 4 5 0 xy 的距离 5 15d 弦 AB 的长 222 2 3AB r d 9. 执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n 的值为 6，则输出 s 的值为 ()A 105 ()B 16 ()C ()D 【解析】选 C s 1 1 3 15 i 1 3 5 7 8. .对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ；若两个非零的平面向量 ,ab满 足， a 与 b 的夹角 ( , )42 ，且 ,a bb a 都在 集合 2nnZ 中，则 ab ( ) ()A 12 ()B
7、 1 ()C ()D 【解析】选 A 2 1c o s 0 , c o s 0 ( ) ( ) c o s ( 0 , )2aba b b a a b b aba ,a bb a 都在集合 2nnZ 中得： *12 12 1( ) ( ) ( , )42nna b b a n n N a b 二 、 填空 题： 本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 (一）必 做题（ 11-13 题） 9. 函数 1xy x 的定义域为 _ 【解析】 定义域为 _ 1,0) (0, ) 1xy x 中的 x 满足： 10 10 0 x xx 或 0 x 10. 等比数列 na
8、 满足 2412aa ，则 21 3 5aaa _ 【解析】 21 3 5aaa _ 14 2 2 4 2 4 3 1 3 5 31 1 1,2 2 4a a a a a a a 11. 由正整数组成的一组数据 1 2 3 4, , ,x x x x ，其平均数和中位数都是 2 ，且标准差等于 1， 则这组数据为 _。（从小到大排列） 【解析】 这组数据为 _1,1,3,3 不妨设 1 2 3 4x x x x 得： 2 3 1 2 3 4 1 44 , 8 4x x x x x x x x 2 2 2 2 21 2 3 41 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 4 2 0 ,1
9、, 2is x x x x x 如果有一个数 为 0 或 4 ；则其余数为 2 ，不合题意 只能取 21ix；得：这组数据为 1,1,3,3 （二） 选做题（ 14 - 15 题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 和 2C 的参数方程 分别 为 2 5 cos:( 5 sin xC y 是参数， 0 2 ） 和 2 21 2:( 2 2 xt Ct yt 是参数） ，它们的交点坐 标为 _. 【解析】 它们的交点坐标为 _(2,1) 2212: 5 ( , 0 ) , : 1C x y x y C y x 解得： 交点坐标为
10、 (2,1) 15.(几何证明选讲选做题） 如图 3 所示，直线 PB 与圆 O 想切于点 B ， D 是弦 AC 上的点， PBA DBA ，若 ,AD m AC n， 则 AB _。 【解析】 AB _ mn ,P B A D B A A C B B A D C A B B A D C A B 得： 2A B A D A B A C A D m n A B m nA C A B 三 、 解答 题： 本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分 ) 已知函数 ( ) c o s ( )( )46xf x A x R ，且 ( )
11、 23f 。 （ 1）求 A 的值； （ 2）设 , 0, 2 ， 4 3 0 2 8( 4 ) , ( 4 )3 1 7 3 5ff ；求 cos( ) 的值 【解析】（ 1） ( ) 2 c o s 2 234f A A （ 2） 4 3 0 1 5 1 5 8( 4 ) c o s ( ) s i n , c o s3 1 7 2 1 7 1 7 1 7f 2 8 4 3( 4 ) c o s , s i n3 5 5 5f 4 8 3 1 5 1 3c o s ( ) c o s c o s s i n s i n 5 1 7 5 1 7 8 5 17. (本小题满分 13 分 ) 某
12、校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图 4 所示，其中成绩分组区间是： 50,6060,7070,8080,9090,100。 （ 1）求图中 a 的值； （ 2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （ 3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ x ）与数学成绩 相应分数段的人数（ y ）之比如下表所示，求数学成绩在 50， 90）之外的人数。 【解析】（ 1） ( 2 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4 ) 1 0 1 0 .0 0 5aa （ 2）平均分为 5 5 0 .0 5 6 5 0 .4 7 5 0 .3 8 5 0 .2
13、 9 5 0 .0 5 7 3 （ 3 ） 数 学 成 绩 在 50,90) 内 的 人 数 为 1 4 5(0 . 0 0 5 0 . 0 4 0 . 0 3 0 . 0 2 ) 1 0 1 0 0 9 02 3 4 人 数学成绩在 50,90) 外的人数为 100 90 10人 答：（ 1） 0.005a （ 2）这 100 名学生语文成绩的平均分为 73 （ 3）数学成绩在 50,90) 外的人 数为 10人。 18.(本小题满分 13 分 ) 如图 5 所示，在四棱锥 P ABCD 中， AB 平面 PAD ， / / ,AB CD PD AD， E 是 PB 中点， F 是 DC 上
14、的点，且 12DF AB ， PH 为 PAD 中 AD 边上的高。 （ 1）证明： PH 平面 ABCD ； （ 2）若 1, 2, 1PH AD FC ，求三棱锥 E BCF 的体积； （ 3）证明： EF 平面 PAB 【解析】（ 1） AB 平面 PAD ， PH 面 PAD PH AB 又 ,P H A D A D A B A P H 面 ABCD （ 2） E 是 PB 中点 点 E 到面 BCF 的距离 1122h PH 三棱锥 EBCF 的 体 积 1 1 1 1 1 2123 3 2 6 2 1 2B C FV S h F C A D h （ 3）取 PA 的中点为 G ，连
15、接 ,DGEG PD AD DG PA ，又 AB 平面 PAD 面 PAD 面 PAB DG面 PAB 点 ,EG 是棱 ,PBPA的 中 点 11/ / , / / / / / /22E G A B D F A B E G D F D G E F 得： EF 平面 PAB 19.(本小题满分 14 分 ) 设数列 na 的前 n 项和为 nS ，数列 nS 的前 n 项和为 nT ，满足 2*2nnT S n n N ， （ 1）求 1a 的值；（ 2）求数列 na 的通项公式。 【解析】（ 1）在 2*2nnT S n n N ， 中，令 1 1 11 2 1 1n a a a （ 2）
16、 22112 2 ( 1 )n n n nT S n T S n ， ，相减得： 1 2 (2 1)nnS S n 1 2 (2 1)nnS S n ， 212 (2 3)nnS S n ，相减得： 2122nnaa 1 2 1 21 2 3 4a S S a ，得 1 22nnaa 112 2 2 2 ( 2 )n n n na a a a 得：数列 2na 是以 1 23a 为首项， 公比为 2 的等比数列 112 3 2 3 2 2nnnnaa 20.(本小题满分 14 分 ) 在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 22 1 : 1 ( 0 )xyC a bab 的左焦点 1( 1 0
17、)F， ， 且在 (01)P ， 在 1C 上。 （ 1）求 1C 的方程； （ 2）设直线 l 同时与椭圆 1C 和抛物线 22 :4C y x 相切，求直线 l 的方程 【解析】（ 1）由题意得： 221 , 1 2 , 1b c a b a b c 故椭圆 1C 的方程为： 2 2 12x y （ 2） 设直线 :l x m ，直线 l 与椭圆 1C 相切 2m 直线与抛物线 22 :4C y x 相切 0m，得： m 不存在 设直线 :l y kx m 直线 l 与椭圆 1C 相切 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m 两根相等 221 0 2 1mk 直线与抛
18、物线 22 :4C y x 相切 2 2 22 ( 2 ) 0k x km x m 两根相等 2 01km 解得： 2 ,22km或 22, 2 : ( 2 )k m l y x 21.（本小题满分 14 分） 设 01a ， 集 合 | 0A x R x ， 2 | 2 3 (1 ) 6 0 B x R x a x a ， D A B 。 （ 1）求集合 D （用区间表示） （ 2）求函数 32( ) 2 3 (1 ) 6f x x a x a x 在 D 内的极值点。 【解析】（ 1） 对于方程 22 3(1 ) 6 0 x a x a 判别式 29 (1 ) 4 8 3 ( 3 ) (
19、3 1 )a a a a 因为 1a ，所以 30a 当 11 3a时， 0 ，此时 BR ，所以 DA ； 当 13a 时， 0 ，此时 | 1B x x，所以 (0,1) (1, )D ； 当 13a 时， 0 ， 设方程 22 3(1 ) 6 0 x a x a 的两根为 12,xx且 12xx ，则 1 3 (1 ) 3 ( 3 )(3 1 )4a a ax ， 2 3 (1 ) 3 ( 3 )(3 1 )4a a ax 12 | B x x x x x 或 当 10 3a 时， 12 3 (1 ) 02x x a ， 12 30 xx a，所以 120, 0 xx 此时， 12( , ) ( , )D x x x 3 ( 1 ) 3 ( 3 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) 3 ( 3 ) ( 3 1 )(0 , ) ( , )44a a a a a a （ 2） 2( ) 6 6 (1 ) 6 6 ( 1 ) ( )f x x a x a x x a ， 1a 所以函数 ()fx在区间 ,1a 上为减函数，在区 间 ( , a 和 1, ) 上为增函数 1x 是极点 1113Ba xa 是极点 , 0 1a A a B a 得： 10 3a 时， 函数 ()fx极值点 为 a ， 1 13 a时， 函数 ()fx极值点 为 1与 a
